2021-2022学年北京二中教育集团八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京二中教育集团八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办．以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3﹣a2＝aB．（a2）3＝a5C．a6÷a2＝a3D．a2•a3＝a5
3．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mbB．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3D．
4．（3分）如果（2x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，那么m的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．0D．1
5．（3分）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM＝BMB．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM
6．（3分）要使16x2﹣bx+1成为完全平方式，那么常数b的值是（ ）
A．4B．﹣8C．±4D．±8
7．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
8．（3分）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
9．（3分）平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4B．6C．7D．8
10．（3分）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）当 x≠4时，（x﹣4）0等于 ．
12．（2分）若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
13．（2分）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为 ．
14．（2分）若a2+b2＝19，ab＝5，则a﹣b＝ ．
15．（2分）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是 ．
16．（2分）如图，点P为∠AOB内任一点，E，F分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠AOB＝30°，则∠E+∠F＝ °．
17．（2分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 °．
18．（2分）如图，在等边△ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于点M．下列结论正确的有 ．（把所有正确的序号写在横线上）
①
②BM＝EM
③2CD＝3DM
④BM＝3CM
三、解答题（共54分）
19．（6分）因式分解；
（1）ax2+2a2x+a3；
（2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）．
20．（4分）计解：．
21．（4分）计算：[7m•m4﹣（﹣3m2）2]÷2m2．
22．（5分）已知4a2+2b2﹣1＝0，求代数式（2a+b）2﹣b（4a﹣b）+2的值．
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，0），B（5，3），C（6，1）．
（1）若△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，画出△A'B'C'；
（2）若直线l上存在点P，使AP+BP最小，则点P的坐标为 ，AP+BP的最小值为 ．
24．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．
（1）画图：
①作AB的垂直平分线，分别与AB交于点D，与BC交于点E；（要求尺规作图，保留作图痕迹）
②连接AE；
③过点B作BF垂直AE，垂足为F．
（2）求证：AC＝BF．
25．（6分）如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明．
26．（6分）老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝ +b2；
再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣ ）2+ ；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是 ．
（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．
27．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当C，D两点重合时（如图1）
直接写出∠EBF＝ °；
直接写出线段BE与FD之间的数量关系 ；
（2）当C，D不重合时（如图2），写出线段BE与FD的数量关系，并证明．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，经过点M（0，m），且平行于x轴的直线记作直线y＝m．我们给出如下定义：点P（x，y）先关于x轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y＝m对称得到点P'，则称点P'称为点P关于x轴和直线y＝m的二次反射点．
（1）点A（5，3）关于x轴和直线y＝1的二次反射点A'的坐标是 ；
（2）点B（2，﹣1）关于x轴和直线y＝m的二次反射点B'的坐标是（2，﹣5），m＝ ；
（3）若点C的坐标是（0，m），其中m＞0，点C关于x轴和直线y＝m的二次反射点是C'，求线段CC'的长（用含m的式子表示）；
（4）如图，正方形的四个顶点坐标分别为（0，0）、（2，0）、（2，2）、（0，2），若点P（1，4），Q（1，5）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P'，Q'，且线段P'Q'与正方形的边没有公共点，直接写出m的取值范围．
2021-2022学年北京二中教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办．以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3﹣a2＝aB．（a2）3＝a5C．a6÷a2＝a3D．a2•a3＝a5
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）a3与a2不是同类项，不能合并，故A错误．
（B）原式＝a6，故B错误．
（C）原式＝a4，故C错误．
故选：D．
【点评】本题考查整式运算，解题的关键是熟练整式的运算法则，本题属于基础题型．
3．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mbB．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3D．
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式的右边是一个整式和一个分式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4．（3分）如果（2x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，那么m的值为（ ）
A．﹣6B．﹣3C．0D．1
【分析】先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据乘积不含x的一次项得出6+m＝0，再求出m即可．
【解答】解：（2x+m）（x+3）
＝2x2+6x+mx+3m
＝2x2+（6+m）x+3m，
∵（2x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴6+m＝0，
解得：m＝﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．
5．（3分）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM＝BMB．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，
∵点P时直线MN上的点，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
6．（3分）要使16x2﹣bx+1成为完全平方式，那么常数b的值是（ ）
A．4B．﹣8C．±4D．±8
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定b的值．
【解答】解：16x2﹣bx+1＝（4x）2﹣bx+1，
∴bx＝±2×4x×1，
解得b＝±8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
7．（3分）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EBA＝∠A＝40°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（3分）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
【分析】由等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠CAD＝30°，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ADE的度数，进而可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键．
9．（3分）平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4B．6C．7D．8
【分析】分为AB＝AC、BC＝BA，CB＝CA三种情况画图判断即可．
【解答】解：如图所示：
当AB＝AC时，符合条件的点有3个；
当BA＝BC时，符合条件的点有3个；
当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．
故符合条件的点C共有7个．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．无数个
【分析】如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可得结论
【解答】解：如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP＝∠POF＝60°，
∵OP＝OE＝OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，
∴∠EPM＝∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON（ASA）．
∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）当 x≠4时，（x﹣4）0等于 1 ．
【分析】根据零指数幂的定义：a0＝1（a≠0），求解即可．
【解答】解：∵x≠4，
∴x﹣4≠0，
∴（x﹣4）0＝1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了零指数幂，掌握运算法则是解答本题的关键．
12．（2分）若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 40°或100° ．
【分析】由等腰三角形中有一个角等于40°，可分别从①若40°为顶角与②若40°为底角去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形中有一个角等于40°，
∴①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；
②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2＝100°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．
故答案为：40°或100°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．
13．（2分）已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为 12 ．
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．
【解答】解：x2m﹣n＝（xm）2÷xn＝36÷3＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了同底数幂的除法运算及幂的乘方的知识，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．
14．（2分）若a2+b2＝19，ab＝5，则a﹣b＝ ±3 ．
【分析】根据完全平方公式先求得（a﹣b）2的值，然后根据平方根的概念进行计算求解．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，且a2+b2＝19，ab＝5，
∴（a﹣b）2＝19﹣2×5＝19﹣10＝9，
∴a﹣b＝±3，
故答案为：±3．
【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构是解题关键．
15．（2分）如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
【分析】首先分别求出甲乙两图阴影部分的面积，然后根据面积相等可直接求得等式．
【解答】解：∵S甲＝（a2﹣b2），S乙＝（a+b）（a﹣b）
又∵S甲＝S乙
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【点评】本题考查的重点是平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
16．（2分）如图，点P为∠AOB内任一点，E，F分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠AOB＝30°，则∠E+∠F＝ 150 °．
【分析】连接OP，根据轴对称的性质解答即可．
【解答】解：连接OP，
∵E，F分别为点P关于OA，OB的对称点，
∴∠EOA＝∠AOP，∠POB＝∠BOF，
∵∠AOB＝∠AOP+∠POB，
∴∠EOF＝2∠AOB＝60°，
∵E，F分别为点P关于OA，OB的对称点，
∴PE⊥OA，PF⊥OB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠EPF＝150°，
∴∠E+∠F＝360°﹣60°﹣150°＝150°，
故答案为：150．
【点评】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称中对应角相等．
17．（2分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 72 °．
【分析】先设∠ABC＝∠C＝2α，然后用含有α的式子表示∠A，∠ADE，∠BED，进而得到∠AED，最后利用三角形的外角性质列出方程求得α，即可求得∠ABC的大小．
【解答】解：设∠ABC＝∠C＝2α，则∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣4α，
由折叠得，∠BED＝∠C＝2α，∠ADE＝∠A＝180°﹣4α，
∵∠BED是△AED的外角，
∴∠BED＝∠A+∠ADE，
∴2α＝180°﹣4α+180°﹣4α，
解得：α＝36°，
∴∠ABC＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是学会利用折叠的性质将其他角的度数用代数式表示．
18．（2分）如图，在等边△ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，CE＝CD，DM⊥BC于点M．下列结论正确的有 ①②④ ．（把所有正确的序号写在横线上）
①
②BM＝EM
③2CD＝3DM
④BM＝3CM
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝60°，求得∠E＝∠ACB＝30°，连接BD，得到∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，根据等腰三角形的性质得到DM⊥BC，求得BM＝EM，故B正确；于是得到CM＝CD＝CE，故C正确；故D错误，BM＝3CM，故A正确；
【解答】解：∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°，
∴DM＝DE，故①正确，
连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴DB＝DE，
又∵DM⊥BC，
∴BM＝EM，故②正确；
∵＝sin60°，
∴＝，故③错误，
∵CM＝CD＝CE，
∴ME＝3CM，
∴BM＝3CM，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（共54分）
19．（6分）因式分解；
（1）ax2+2a2x+a3；
（2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）．
【分析】（1）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式（a﹣b），进而分解因式即可．
【解答】解：（1）ax2+2a2x+a3
＝a（x2+2ax+a2）
＝a（x+a）2；
（2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）
＝（a﹣b）（x﹣y+x+y）
＝2x（a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
20．（4分）计解：．
【分析】把原式化为（60﹣）×（60+），然后根据平方差公式计算即可．
【解答】解：原式＝（60﹣）×（60+）
＝602﹣（）2
＝3600﹣
＝3599．
【点评】此题考查的是平方差公式，掌握平方差公式的公式结构是解决此题关键．
21．（4分）计算：[7m•m4﹣（﹣3m2）2]÷2m2．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，整式的除法计算即可．
【解答】解：原式＝（7m5﹣9m4）÷2m2
＝7m5÷2m2﹣9m4÷2m2
＝m3﹣m2．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，整式的除法，掌握（ab）n＝anbn是解题的关键．
22．（5分）已知4a2+2b2﹣1＝0，求代数式（2a+b）2﹣b（4a﹣b）+2的值．
【分析】先化简代数式，再根据化简结果整体代入可得答案．
【解答】解：原式＝4a2+4ab+b2﹣4ab+b2+2＝4a2+2b2+2．
由4a2+2b2﹣1＝0可得4a2+2b2＝1，
∴4a2+2b2+2＝1+2＝3．
【点评】本题考查整式的混合运算，应用整体代入是解题关键．
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，0），B（5，3），C（6，1）．
（1）若△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，画出△A'B'C'；
（2）若直线l上存在点P，使AP+BP最小，则点P的坐标为 （3，3） ，AP+BP的最小值为 5 ．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）作点B关于直线l的对称点B″，连接AB″交直线l于点P，连接PB，此时PA+PB的值最小，最小值为线段AB″的长．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，点P即为所求．P（3，3），最小值为5，
故答案为：（3，3），5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
24．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．
（1）画图：
①作AB的垂直平分线，分别与AB交于点D，与BC交于点E；（要求尺规作图，保留作图痕迹）
②连接AE；
③过点B作BF垂直AE，垂足为F．
（2）求证：AC＝BF．
【分析】（1）利用基本作图作出AB的垂直平分线，然后连接AE，过B点作AE的垂线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，然后证明△ACE≌△BFE，从而得到AC＝BF．
【解答】（1）解：如图，DE为所作；
如图，BF为所作；
（2）证明：∵ED垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵BF⊥AE，
∴∠BFE＝90°，
在△ACE和△BFE中，
，
∴△ACE≌△BFE（AAS），
∴AC＝BF．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
25．（6分）如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明．
【分析】结论：AE与AF的位置关系是垂直．想办法证明∠CAF+∠CAE＝90°即可．
【解答】解：结论：AE与AF的位置关系是垂直．
证明：∵AE是△ACD的角平分线，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
又∵F为BC中点，
∴，
∵∠CAB+∠CAD＝180°，
∴∠CAF+∠CAE＝90°，
∴AE⊥AF．
【点评】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（6分）老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝ （2﹣b）2 +b2；
再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣ 1 ）2+ 2 ；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是 2 ．
（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．
【分析】（1）根据小明的思路得到关于b的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值；
（2）根据小明的思路得到关于x的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值．
【解答】解：（1）∵a+b＝2，
∴a＝2﹣b；
代入a2+b2得到：
a2+b2
＝（2﹣b）2+b2
＝4﹣4b+b2+b2
＝2b2﹣4b+4
＝2（b﹣1）2+2；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是2；
故答案为：（2﹣b）2，1，2，2；
（2）∵x+y＝10，
∴y＝10﹣x；
∴x2+y2
＝x2+（10﹣x）2
＝2x2﹣20x+100
＝2（x﹣5）2+50；
根据完全平方式的非负性，就得到了x2+y2的最小值是50．
根据小明的方法，当x+y＝10时，x2+y2的最小值是50．
【点评】本题考查了配方法的应用和完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
27．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当C，D两点重合时（如图1）
直接写出∠EBF＝ 22.5 °；
直接写出线段BE与FD之间的数量关系 BE＝DF ；
（2）当C，D不重合时（如图2），写出线段BE与FD的数量关系，并证明．
【分析】（1）作DG∥AC交BE的延长线于G，根据全等三角形的性质即可得到结论；根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝45°，根据题意求出∠EDB，计算即可；
（2）如图2，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，得到∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB，根据全等三角形的性质得到BE＝GE＝GB，求得HB＝HD，根据全等三角形的性质得到GB＝FD，于是得到结论
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠EDB＝∠ACB＝22.5°，
又BE⊥DE，
∴∠EBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠EBF＝67.5°﹣45°＝22.5°，
延长BE，CA交于G，
∵∠EDB＝∠ACB，
∴CE平分∠ACB，
∴∠GCE＝∠BCE，
∵BE⊥DE，
∴∠BEC＝∠CEG＝90°，
在△BCE与△GCE中，
，
∴△BCE≌△GCE（ASA），
∴BE＝EG＝BG，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，∠BFE＝∠AFC，
∴∠ABG＝∠ACF，
在△ABG与△ACF中，
，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴BG＝CF，
∴BE＝DF；
故答案为：BE＝DF；
故答案为：22.5，BE＝DF；
（2）结论：BE＝FD，
证明：如图2，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，
则∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB，
∵∠EDB＝∠C＝∠GDB＝∠EDG，
又DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°，
∴△DEB≌△DEG（ASA），
∴BE＝GE＝GB，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝∠GDB，
∴HB＝HD，
∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH，
∴∠EBF＝∠HDF，
∴△GBH≌△FDH（ASA），
∴GB＝FD，
∴BE＝FD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，经过点M（0，m），且平行于x轴的直线记作直线y＝m．我们给出如下定义：点P（x，y）先关于x轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y＝m对称得到点P'，则称点P'称为点P关于x轴和直线y＝m的二次反射点．
（1）点A（5，3）关于x轴和直线y＝1的二次反射点A'的坐标是 （5，5） ；
（2）点B（2，﹣1）关于x轴和直线y＝m的二次反射点B'的坐标是（2，﹣5），m＝ ﹣2 ；
（3）若点C的坐标是（0，m），其中m＞0，点C关于x轴和直线y＝m的二次反射点是C'，求线段CC'的长（用含m的式子表示）；
（4）如图，正方形的四个顶点坐标分别为（0，0）、（2，0）、（2，2）、（0，2），若点P（1，4），Q（1，5）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P'，Q'，且线段P'Q'与正方形的边没有公共点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出B′（2，2m﹣1），则2m﹣1＝﹣5，由此可得m的值；
（3）根据二次反射点的定义得出C′（0，m），则可得出答案；
（4）根据二次反射点的定义得出P'（1，2m+4），Q'（1，2m+5），由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（5，3），
∴点A关于x轴对称得到点A1（5，﹣3），
∴点A1关于直线y＝m对称得到点A'（5，5）．
故答案为：（5，5）．
（2）∵点B（2，﹣1），
∴点B关于x轴对称得到点B1（2，1），
∴点B1关于直线y＝m对称得到点B'（2，2m﹣1），
∴2m﹣1＝﹣5，解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
（3）∵点C的坐标是（0，m），
∴点C关于x轴对称得到点C1（0，﹣m），
∴点C1关于直线y＝m对称得到点C'（0，2m+m），即C'（0，m），
∴CC′＝m﹣m＝2m．
（4）由题意可知，点P（1，4），Q（1，5）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P'（1，2m+4），Q'（1，2m+5），
∴P′Q′∥y轴，P′Q′＝1，且2m+5＞2m+4，
∴线段P'Q'与正方形的边没有公共点，有三种情况：
①2m+4＞2，解得m＞﹣1；
②，解得﹣2＜m＜﹣；
③2m+5＜0，解得m＜﹣．
综上，若线段P'Q'与正方形的边没有公共点，则m的取值范围m＞﹣1或﹣2＜m＜﹣或m＜﹣．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化，考查了正方形的性质，轴对称性质，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．
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