新高考数学一轮复习考点过关练习 双曲线与平面向量的综合问题（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点过关练习 双曲线与平面向量的综合问题（含解析），共32页。
双曲线的综合问题难度一般不大，此例体现了新高考“四翼”中“综合性”的要求，这类问题常与其他知识综合在一起考查，如向量等，要求灵活应用相关知识解题.
【典例剖析】
典例1．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．2D．3
典例2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
典例3．在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，直线 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线C上，设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线上的动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线 SKIPIF 1 < 0 与y轴相交于点Q.
（1）求双曲线C的方程；
（2）在x轴上是否存在一点T？使得 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求M点的坐标，使得 SKIPIF 1 < 0 的面积最小.
典例4．设双曲线C： SKIPIF 1 < 0 －y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且 SKIPIF 1 < 0 ，求a的值．
典例5．已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 依次为双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为方向向量的直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离；
（2）若双曲线 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【双基达标】
6．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线的右支于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于坐标原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
8．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 轴，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为坐标原点)，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为_____．
9．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为__________.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 左、右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率是______．
11．已知曲线E：ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)，经过点M SKIPIF 1 < 0 的直线l与曲线E交于点A，B，且 SKIPIF 1 < 0 ＝－2 SKIPIF 1 < 0 .若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程．
12．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 第一象限 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上取满足 SKIPIF 1 < 0 的部分．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求b的值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与x轴交点记作点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，P是曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点，且在第一象限，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）过点 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与曲线 SKIPIF 1 < 0 只有两个交点，记为M、N，用b表示 SKIPIF 1 < 0 ，并求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
13．已知：双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的离心率为 SKIPIF 1 < 0 且点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，P为双曲线右支上任意一点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（3）若M是双曲线左支上任意一点， SKIPIF 1 < 0 为左焦点，写出 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
14．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点P(0,1)在短轴CD上，且 SKIPIF 1 < 0 .
（I）求椭圆E的方程；
（II）过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的方程.
15．如图，已知双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离为1．M、N两动点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P是直线MN与双曲线右支的一个公共点， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)当λ＝1时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)试用λ表示 SKIPIF 1 < 0 MON的面积S，设双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ∈ SKIPIF 1 < 0 ，求S的取值范围．
16．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的左、右两支分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积为5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
17．已知双曲线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，中心在原点，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线的标准方程；
(2)双曲线的左右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
18．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上．

（1）求双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0
（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
19．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右两焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）与 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且它的虚轴的端点与焦点的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)设点 SKIPIF 1 < 0 关于坐标原点 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 的值.
20．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，双曲线C上除顶点外任一点 SKIPIF 1 < 0 满足直线RM与QM的斜率之积为4.
(1)求C的方程；
(2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【高分突破】
单选题
21．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆锥曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且满足 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)已知直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
22．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围（ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）.
23．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 满足方程 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴左､右两侧的交点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
24．已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
25．已知椭圆E： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 .直线l： SKIPIF 1 < 0 与y轴交于点P，与椭圆交于M，N两点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数m的值.
26．设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求动点C的轨迹E；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
27．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，点P为圆O上的动点， SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为D，若 SKIPIF 1 < 0 ，设点M的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线E交于A，B两点，N为曲线E上任意一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值.
28．如图，曲线τ的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，其中A、B为曲线τ与x轴的交点，A点在B点的左边，曲线τ与y轴的交点为D．已知F1（﹣c，0），F2（c，0），c SKIPIF 1 < 0 0， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）过点B作斜率为k的直线l交曲线τ于P、Q两点（异于B点），点P在第一象限，设点P的横坐标为xP、Q的横坐标为xQ，求证：xP•xQ是定值；
（2）过点F2的直线n与曲线τ有且仅有一个公共点，求直线n的倾斜角范围；
（3）过点B作斜率为k的直线l交曲线τ于P、Q两点（异于B点），点P在第一象限，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 成立时λ的值．
29．已知P是平面上的动点，且点P与 SKIPIF 1 < 0 的距离之差的绝对值为 SKIPIF 1 < 0 ．设点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设不与y轴垂直的直线l过点 SKIPIF 1 < 0 且交曲线E于M，N两点，曲线E与x轴的交点为A，B，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
30．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且当l垂直于x轴时， SKIPIF 1 < 0 ；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】根据双曲线性质,结合 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ,即可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
由双曲线性质可知 SKIPIF 1 < 0
过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 点,且 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为2,代入双曲线 SKIPIF 1 < 0
可得P点的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故选:D
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质的简单应用,双曲线中通径的求法,属于基础题.
2．A
【分析】由共线向量可确定 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由此构造关于 SKIPIF 1 < 0 的齐次方程求得离心率.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由渐近线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，再由顶点坐标可得 SKIPIF 1 < 0 ，得双曲线方程；
（2）假设 SKIPIF 1 < 0 ，由直线 SKIPIF 1 < 0 方程和是 SKIPIF 1 < 0 坐标，由向量的数量积运算可得 SKIPIF 1 < 0 ，用坐标表示这个结论可得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关系，再由点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线可得结论；
（3）直接计算 SKIPIF 1 < 0 的面积，用基本不等式可得最小值，从而得点坐标．
【详解】（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，平方可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取得最小值，
此时M的坐标是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线有方程，双曲线中存在性问题，三角形面积的最值问题，解题方法是解析几何的基本方程，设出点的坐标，写出直线方程，求出交点坐标，由交点坐标表示数量积或三角形面积，然后根据定值或最值求解．
4．（1）e> SKIPIF 1 < 0 且e≠ SKIPIF 1 < 0 ；（2）a＝ SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由直线与双曲线联立得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，结合条件得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得离心率范围；
（2）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 SKIPIF 1 < 0 可得x1＝ SKIPIF 1 < 0 x2，由根与系数的关系可得－ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，从而得解.
【详解】(1)将y＝－x＋1代入双曲线 SKIPIF 1 < 0 －y2＝1中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①
∴ SKIPIF 1 < 0 解得0 SKIPIF 1 < 0 且e≠ SKIPIF 1 < 0 .
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．有P(0,1)．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴(x1，y1－1)＝ SKIPIF 1 < 0 (x2，y2－1)．
由此得x1＝ SKIPIF 1 < 0 x2.由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，因此由根与系数的关系，得 SKIPIF 1 < 0 x2＝－ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＝－ SKIPIF 1 < 0 .
消去x2，得－ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 .由a>0，得a＝ SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题.
5．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的关系求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量的共线定理设出直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，再代入点 SKIPIF 1 < 0 ，求出直线方程，根据点到直线的距离公式计算距离；（2）设出点 SKIPIF 1 < 0 ，根据数量积公式得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上得 SKIPIF 1 < 0 ，联立求解以后根据 SKIPIF 1 < 0 代入不等式求范围即可.
【详解】（1）依题意， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入解得： SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） 设双曲线上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系或者不等关系求解.
6．C
【分析】设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，推导出四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后在 SKIPIF 1 < 0 中利用勾股定理可得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的等量关系，由此可求得双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率.
【详解】设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用双曲线的定义解决双曲线的焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题.
7．B
【分析】根据题意，判断△ SKIPIF 1 < 0 的形状，结合双曲线定义，求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用离心率公式即可求得结果.
【详解】根据题意，作图如下：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点；
又 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 既是三角形 SKIPIF 1 < 0 的中线又是角平分线，
故可得 SKIPIF 1 < 0 ；又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，由对称性可知： SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴.
故△ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线定义可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】本题考察双曲线离心率的求解，核心步骤在于根据向量关系，判断三角形形状，以及双曲线定义的利用，属中档题.
8．3
【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用 SKIPIF 1 < 0 的关系建立方程进行求解即可．
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 轴，所以设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
AE的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
则AE的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
BN的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则BN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．
9． SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的关系，再利用勾股定理确定 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的关系，即可求出双曲线的离心率．
【详解】解：由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10． SKIPIF 1 < 0
【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，从而 SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理即可得到答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，从而 SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．x2＋ SKIPIF 1 < 0 ＝1.
【解析】设A(x0，y0)，由已知得出 SKIPIF 1 < 0 ＝－2 SKIPIF 1 < 0 .求得x0＝ SKIPIF 1 < 0 ，y0＝－1，再由A，B都在曲线E上，代入可得方程.
【详解】设A(x0，y0)，因为B(0，2)，M SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ＝－2 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ＝－2 SKIPIF 1 < 0 .
所以x0＝ SKIPIF 1 < 0 ，y0＝－1，即A SKIPIF 1 < 0 .
因为A，B都在曲线E上，
所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
所以曲线E的方程为x2＋ SKIPIF 1 < 0 ＝1.
12．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）联立曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程，以及 SKIPIF 1 < 0 ，解方程可得b；
（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；
（3）设直线 SKIPIF 1 < 0 ，求得O到直线l的距离，判断直线l与圆的关系：相切，可设切点为M，考虑双曲线的渐近线方程，只有当 SKIPIF 1 < 0 时，直线l才能与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定义求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到所求范围．
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，点A为曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的交点，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设直线 SKIPIF 1 < 0 ，可得原点O到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l是圆的切线，设切点为M，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，并设 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 联立，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当 SKIPIF 1 < 0 时，直线l才能与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 舍去 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
13．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）-4；（3） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据离心率及双曲线上的点联立方程求a,b即可求标准方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，写出向量 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数求最值；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线左支上任意一点，求 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数求最值.
【详解】（1）由题意有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，且最小值为-4.
（3）设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线左支上任意一点，
因为左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 知，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
14．（1） SKIPIF 1 < 0 .
（2）y= SKIPIF 1 < 0 x+1.
【分析】（1）通过椭圆的离心率和向量的数量积的坐标表示，计算即得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而得结论；（2）设直线l为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可求斜率k，进而得到所求直线方程．
【详解】（1）由题意，e= SKIPIF 1 < 0 ，得a= SKIPIF 1 < 0
又C(0,b)，D(0,-b). ∴ SKIPIF 1 < 0 =(b-1)(-b-1)=-1， ∴b2=2
∴a=2, 所以椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线l的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
不符合题意，不存在这样的直线.
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1. A(x1,y1) , B(x2,y2).
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,
由韦达定理得x1+x2= SKIPIF 1 < 0 ，x1x2= SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得，(x2,y2-1)= SKIPIF 1 < 0 (-x1,1-y1), ∴x2=- SKIPIF 1 < 0 x1,
∴x1 = SKIPIF 1 < 0 ，x12 = SKIPIF 1 < 0 ， 解得k2= SKIPIF 1 < 0 ， ∴k= SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为y= SKIPIF 1 < 0 x+1.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，向量共线和数量积运算，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题．
15．(1) SKIPIF 1 < 0 －y2＝1
(2)(－∞，－1]
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即得解；
（2）设M(2m，m)，N(2n，－n)，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线可得mn＝1，坐标表示 SKIPIF 1 < 0 ，结合均值不等式即得解；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 ＝λ SKIPIF 1 < 0 可得P SKIPIF 1 < 0 ，代入双曲线可得mn＝ SKIPIF 1 < 0 ，利用M，N坐标表示MN方程可得(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0，从而表示出 SKIPIF 1 < 0 MON的面积 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，即可得出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，结合单调性即得解.
(1)
双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0．故 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ＝1⇒b＝1⇒a2＝4，所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 －y2＝1．
(2)
由题意，设M(2m，m)，N(2n，－n)，m＞0，n＞0，
当λ＝1时， SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝1，
整理得mn＝1．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 mn≤－ SKIPIF 1 < 0 ·2mn＋ SKIPIF 1 < 0 ＝－1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∈(－∞，－1]．
(3)
设M(2m，m)，N(2n，－n)，m＞0，n＞0，
由 SKIPIF 1 < 0 ＝λ SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ＝λ( SKIPIF 1 < 0 )，
即(1＋λ) SKIPIF 1 < 0 ＋λ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 ．
所以P SKIPIF 1 < 0 ．
把点P的坐标代入双曲线的方程得 SKIPIF 1 < 0 ＝1，
即(m＋λn)2－(m－λn)2＝(1＋λ)2，
所以mn＝ SKIPIF 1 < 0 ．
当直线MN的斜率不存在时，其方程为x＝2m．
当直线MN的斜率存在时，kMN＝ SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线MN的方程为y－m＝ SKIPIF 1 < 0 (x－2m)，即(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0，
经检验，斜率不存在时，直线方程也满足上式，所以直线MN的方程为(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0，
所以点O到直线(m＋n)x－(2m－2n)y－4mn＝0的距离
d＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
又|MN|＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以S＝ SKIPIF 1 < 0 ·|MN|·d＝2mn＝ SKIPIF 1 < 0 ＋1．
记双曲线的左、右焦点分别为F1(－ SKIPIF 1 < 0 ，0)，P(x，y)(x≥2)，
则|PF1|＞|PF2|，
又|PF2|＝ SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 x－2，
所以|PF2|∈ SKIPIF 1 < 0
即双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ∈Ω，所以λ∈[5 SKIPIF 1 < 0 －10，＋∞)，
令f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ＋1，x∈[5 SKIPIF 1 < 0 －10，＋∞)，
任取x1，x2∈[5 SKIPIF 1 < 0 －10，＋∞)，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则f(x1)－f(x2)＝ SKIPIF 1 < 0 ＜0，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在x∈[5 SKIPIF 1 < 0 －10，＋∞)上单调递增，
因此f(x)min＝f(5 SKIPIF 1 < 0 ，
即Smin＝ SKIPIF 1 < 0 ．
所以S∈ SKIPIF 1 < 0 ．
16．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【分析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，由勾股定理和三角形面积公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由双曲线定义，即可得出结果.
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，点 SKIPIF 1 < 0 与原点 SKIPIF 1 < 0 重合,求出定值；
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由渐近线可得 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与双曲线方程，由韦达定理结合向量知识，即可得出定值.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ．
由双曲线的定义可知， SKIPIF 1 < 0 ，
两边同时平方可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．①
又双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．②
由①②可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，点 SKIPIF 1 < 0 与原点 SKIPIF 1 < 0 重合，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与双曲线方程联立，消去 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
易知点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
综上， SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】易错点点睛：直线与双曲线左、右分支各交于一点，直线斜率的取值范围容易忽略.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
17．(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）利用离心率，点在双曲线上以及 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的关系，联立方程即可求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，从而求得双曲线的标准方程；
（2）将直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的方程分别用点斜式表示出来，并联立求得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，易知 SKIPIF 1 < 0 ，再由点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，可知 SKIPIF 1 < 0 的范围，从而求解.
(1)
解：设双曲线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，动点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立两直线方程得 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
18．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）24.
【解析】（1）由条件可知 SKIPIF 1 < 0 ，再代入点求双曲线方程；（2）设直线OP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线OQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线方程联立，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，并求 SKIPIF 1 < 0 ，再将 SKIPIF 1 < 0 换为 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 是定值，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值再表示
【详解】 SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以所求双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 设直线OP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线OQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号 SKIPIF 1 < 0 ．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值24．
【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是利用直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 垂直，利用斜率的关系求 SKIPIF 1 < 0 ，第二个关键是注意隐含条件 SKIPIF 1 < 0
19．(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；
（2）由点在直线上求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 与等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 底边 SKIPIF 1 < 0 上的高相等，列方程求参数m；
（3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由向量的数量关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据对称点、三角形面积公式 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 面积.
（1）
由 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且它的虚轴的端点与焦点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则所求的双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
因为直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得：等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 底边 SKIPIF 1 < 0 上的高的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于等腰三角形 SKIPIF 1 < 0 底边上的高，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
（3）
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 关于坐标原点 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
则所求的 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 .
20．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)1
【分析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得答案，
（2）求出渐近线方程，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后表示 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本不等式可得答案
(1)
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线的顶点坐标满足上式，
所以C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
由（1）可知，曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，
把①代入 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ②，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是1.
21．(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)根据已知求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，消去 SKIPIF 1 < 0 可得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，再利用根与系数关系求出两根之和、两根之积，再结合 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而可将 SKIPIF 1 < 0 表示为关于 SKIPIF 1 < 0 的函数，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 并与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程联立消去 SKIPIF 1 < 0 可得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，再利用根与系数关系求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【详解】(1)将 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，求得点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得到， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，
由分点的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(3)设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 (1)
而由 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 (2)
又 SKIPIF 1 < 0 (3)
由(1)(2)(3)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 也满足要求，
所以在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，根与系数关系的运用，考查运算求解能力，属于中档题.
22．(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）解方程 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 即得解；
（2）设过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线和双曲线方程得到韦达定理，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 的范围求解.
(1)
解：双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0
∵双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与双曲线方程联立可得 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
① SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，舍去；
② SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
23．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)8
【分析】（1）根据双曲线的定义即可得出答案；
（2）可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，同理求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，再结合基本不等式即可得出答案.
(1)
解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 为以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
故曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解：由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值8.
24．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)24
【分析】（1）待定系数法去求双曲线C的方程；
（2）联立直线PQ的方程与双曲线C的方程，以设而不求的方法得到 SKIPIF 1 < 0 的表达式，再对其求最小值即可解决.
(1)
双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的方程可设为 SKIPIF 1 < 0 ．
因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，可解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
当直线PQ不垂直与x轴时，设其方程为y＝kx＋m，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 （当k=0时等号成立）且满足①，
又因为当直线PQ垂直x轴时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是24．
25．（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）根据离心率和过点 SKIPIF 1 < 0 代入计算得到答案.
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立方程，利用韦达定理得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，计算得到答案.
【详解】（1）离心率 SKIPIF 1 < 0 且E过点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故所求椭圆E的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 联立化简得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
与 SKIPIF 1 < 0 联立解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
代入 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
验证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立，符合题意
故所求 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系求参数，意在考查学生的综合应用能力.
26．(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 ，由重心坐标和外心坐标，结合圆的几何性质及 SKIPIF 1 < 0 列方程，化简求得轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程.
（2）联立直线 SKIPIF 1 < 0 的方程和轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程，化简后写出判别式和韦达定理，根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量的坐标运算进行化简，求得 SKIPIF 1 < 0 的等量关系式，并由此求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则△ABC的重心 SKIPIF 1 < 0 ，
又△ABC是不等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，设△ABC的外心 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理得：轨迹 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0
（2）将直线 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，化简得： SKIPIF 1 < 0
依题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，化简得： SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，写出重心坐标，再由向量数乘的几何意义确定外心坐标，进而应用两点距离公式列方程求轨迹；
（2）根据直线与椭圆关系，结合判别式求k、b不等关系，再应用向量数量积的坐标表示及韦达定理求k、b的等量关系，结合（1）椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ，求参数范围.
27．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【分析】（1）设点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，进而可得结果；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程可得关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，由根与系数关系可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将向量式化为坐标表示，再代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，即可证得结果.
【详解】（1）设点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为点P在圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 .
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线E的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又点N在曲线E上，则
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值.
【点睛】关键点点睛：联立直线与椭圆方程利用根与系数关系，证明 SKIPIF 1 < 0 是解题的关键点和难点.
28．（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）答案见解析.
【分析】（1）求出点P，点Q的坐标，计算即可得证；
（2）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，设直线n的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由直线n与曲线τ有且仅有一个公共点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，显然直线n的方程为 SKIPIF 1 < 0 时也符合题意，进而得出结论；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，利用数量积公式建立关于k的方程，解出k，进而得出答案．
【详解】（1）设直线方程 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设过点F2，直线n的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，
故方程 SKIPIF 1 < 0 只有一个解，亦即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然直线n的方程为 SKIPIF 1 < 0 时也符合题意，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线 SKIPIF 1 < 0 平行时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时仅有一个交点，
所以直线n的倾斜角的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
29．(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合双曲线的定义，即可求解；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用弦长公式和 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，结合向量的数量积的运算公式，化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得其范围，即可求解．
(1)
解：依题意，P是平面上的动点，且点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离之差的绝对值为 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据双曲线的定义，可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹E是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
解：设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
由弦长公式，可得 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
30．(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据通径 SKIPIF 1 < 0 ，直接求得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；
（2）通过对 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.
(1)
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，当l垂直于x轴时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
设 SKIPIF 1 < 0 ，联立双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线右支相交，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
分离参数得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .