辽宁省大连市2023-2024学年下学期九年级学期初调研数学试题（解析版）

这是一份辽宁省大连市2023-2024学年下学期九年级学期初调研数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了 抛物线y=-的图像一定经过， 下列事件中属于必然事件的是， 如图， ，，，则的值为等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、不是中心对称图形，故选项错误；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、是中心对称图形，故选项正确．
故选：D．
2. 抛物线y=-(x-1)的图像一定经过（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由函数解析式可知，抛物线开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标（1，0），与y轴交于负半轴，画出函数大致图象，判断不经过的象限．
【详解】解：如图，
∵a=1＞0，抛物线开口向下，顶点坐标（1，0），对称轴为x=1，与y轴交于（0，-1），
∴抛物线经过三、四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限是解决问题的关键．
3. 下列事件中属于必然事件的是（ ）
A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数
B. 在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球
C. 抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上
D. 九年级 370名学生中至少有2名学生生日是同一天
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A、随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数，是随机事件；
B、在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球，是不可能事件；
C、抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上，是随机事件；
D、一年365天， 370名学生中至少有2名学生生日是同一天，是必然事件；
故选：D．
4. 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A. 115°B. 105°C. 100°D. 95°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．
【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选：B．
5. 如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴．
∵点A，B，C，P均在圆O上，
∴四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查正多边形和圆、圆内接四边形的性质．解题的关键是掌握正n边形的内角为 ．
6. 如图， ，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据可证，，利用相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选C．
7. 如图，ΔABC和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的下列说法正确的是（ ）
A. 旋转中心是点B. 旋转角是
C. 既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转D. 旋转角是
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质和直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：A、△ABC通过旋转可得到△DCE，它的旋转中心是点C，错误；
B、AC⊥CD旋转的旋转角为90°，错误；
C、既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转，正确；
D、旋转角是∠ACD或者是360°−∠ACD，错误．
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点−−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
8. 如图，中，点D在线段上，连接，要使与相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：添加，结合条件∠A=∠A，不能证明两个三角形相似，故A符合题意；
添加，结合条件∠A=∠A，能证明两个三角形相似，故B不符合题意；
添加，结合条件∠A=∠A，能证明两个三角形相似，故C不符合题意；
添加，即，，结合条件∠A=∠A，能证明两个三角形相似，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
9. 一个扇形的半径为3，圆心角为40°，则该扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意，S扇形==π．
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：．
10. 初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，x轴表示级部参赛人数，y轴表示竞赛成绩的优秀率（该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是（ ）
A. 甲乙丙丁B. 丙甲丁乙C. 甲丁乙丙D. 乙甲丁丙
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定各级部人数的大小关系．
【详解】解：根据题意，可知的值即为该级部的优秀人数，
∵描述甲、丁两级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴甲、丁两级部的优秀人数相同，
∵点乙反比例函数图象上面，
∴乙级部的的值最大，即优秀人数最多，
∵点丙在反比例函数图象下面，
∴丙级部的的值最小，即优秀人数最少，
∴乙甲丁丙，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是 ________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象性质，解一元一次不等式，利用反比例函数的性质求解是解题的关键，解题时注意：当时，反比例函数图象位于第一、三象限，当时，反比例函数图象位于第二、四象限，根据反比例函数的性质列不等式求解，即可解题．
【详解】解：反比例函数图象的一支在第三象限，
，
解得，
故答案为：．
12. 若点，，都在二次函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是__________．
【答案】
【解析】
【分析】比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解．
【详解】对于二次函数，
∵，
∴开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线的点离对称轴直线的距离越远，其函数值越大，
，即点A到对称轴直线的距离为，
，即点B为顶点，
，即点C到对称轴直线的距离为，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
13. 把点绕原点旋转后得到点，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于原点对称的特点，根据关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均为原坐标的横坐标、纵坐标的相反数即可求解，掌握关于原点对称点的特点是解题的关键．
【详解】解：根据题意，点绕原点旋转后的得到点，即关于原点对称，
∴，
故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，中，点在反比例函数的图象上，点在轴上，，于点，若，则的值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据AO=AB，AC⊥OB，得出OC=OB，得出，即可得出k的值．
【详解】解：∵AO=AB，AC⊥OB，
∴OC=OB，
，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考出来等腰三角形的性质和反比函数中k的意义，根据题意求出是解题的关键．
15. 如图，矩形中，，，P是线段上一动点，连接并将绕P顺时针旋转得到线段．连接，直线交于F．设，则y与x之间的函数关系式为 ____________________．

【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质证明即可得到答案．
【详解】解：当点E在矩形里面时，如图，过点E作于H，
将绕P顺时针旋转得到线段，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．

②当点E在矩形外面时，如图，过点E作于H，

同理可证，
，
，
，即，
解得，
，
．
故答案为：或．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为－4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）当0＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围；
（3）直线x＝m与抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和直线y＝x－3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由已知可设二次函数的顶点式，再把点(3，0)的坐标代入顶点式中即可求得a的值，从而求得解析式；根据解析式画出函数图象即可；
（2）求出当x=0及x=4时的函数值，考虑抛物线的性质，结合函数图象即可完成；
（3）观察图象知，抛物线与直线y＝x－3的交点坐标分别为(0，−3)及(3，0)，即当m=0或m=3时，点C与点D重合，结合图象即可求得m的取值范围．
【小问1详解】
∵当x＝1时，函数的最小值为－4，即抛物线的顶点坐标为(1，−4)
∴设函数解析式为
∵（3，0）点在抛物线上
∴
∴
∴
即
其图象如下：
【小问2详解】
当x=0时，y=−3；当x=4时，y=5
由图象知，当0＜x＜4时，
【小问3详解】
如图所示，抛物线与直线y＝x－3的交点坐标分别为(0，−3)及(3，0)
由图知，当或时，满足题目要求
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，二次函数与一次函数的关系等知识，数形结合是解题的关键．
17. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一干多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小：以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锡口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形离寸，（注：1尺寸）问这块圆柱形木材的直径是多少寸？
【答案】26寸
【解析】
【分析】根据题中给出的条件可以得出BD=5，设半径为r，则：OD=r-1，根据勾股定理即可解出半径，半径的2倍即为直径．
【详解】解：由题意得：CD=1寸，AB=1尺=10寸，
∴BD=AB=5寸，
设圆形木材半径为r，则OD=r-1，OB=r ，
∵在Rt 中，
∴
解得：r=13，
所以 的直径为26寸．
【点睛】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧以及勾股定理是解题的关键．
18. “清远市2023年的首场马拉松比赛”共设两个项目，分别是“半程马拉松”（21.0975公里）和“迷你马拉松”（约5公里）．
（1）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，组委对部分参赛选手作如下调查：
请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为____．（精确到0.1）
（2）小明（来自北京市），小军（来自长沙市）、小红（来自清远市）、小丽（来自广州市）四人报名参加“迷你马拉松”志愿者遴选，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率、用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）利用表格中的数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率；
（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由表格中的数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表得：
由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中恰好录取两名来自广东省外的志愿者的情况有种，
恰好录取两名来自广东省外的志愿者的概率．
19. 如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝40m，DC＝20m，EC＝24m，求河宽AB．
【答案】48米
【解析】
【分析】求出△ABD和△ECD相似，根据相似三角形对应边成比例列方程即可得解．
【详解】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴∠ABD＝∠ECD＝90°，
又∵∠ADB＝∠EDC（对顶角相等），
∴△ABD∽△ECD，
∴，
即，
解得AB＝48．
答：河的宽度AB为48米．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键.
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点

（1）求这两个函数表达式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象，即可进行解答．
【小问1详解】
∵反比例的图象过点，即，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
又∵点在函数的图象上，
∴，，
∴
又∵一次函数过、两点，
即，
解之得，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
由图像可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
21. 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上的一点，D为⊙O上一点，OF⊥AD于点E，交CD于点F，且∠ADC＝∠AOF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，BD＝8，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可证得∠DAB+∠DBA=90°，根据平行线的性质和判定∠AOF=∠B=∠ADC，由等腰三角形的性质得到∠DAB=∠ADO，即可得到∠ADC+∠ADO=90°，根据切线的判定即可证得结论；
（2）根据三角形中位线定理得到OE=BD=×8=4，设OD=x，OC=3x，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴∠AOF=∠B，
∵∠ADC=∠AOF，
∴∠ADC=∠B，
∵AO=OB，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠ADC+∠ADO=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD⊥OD
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
【小问2详解】
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∵AO=OB，
∴AE=DE，
∴OE=BD=×8=4，
∵sin∠C=，
∴，
设OD=x，OC=3x，
∴OB=x，
∴CB=4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴，
∴，
∴OF=6，
∴EF=OF-OE=6-4=2，
∴OE=4，
∵∠ODF=∠DEO=∠DEF=90°，
∴∠DOE+∠ODE=∠ODE+∠EDF=90°，
∴∠DOE=∠EDF，
∴△ODE∽△OFD，
∴，
∴
∴（负值舍去），
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22. 小蕾家与外婆家相距270km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家．两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60km/h的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y（km）和时间x（h）之间的关系大致如图所示．
（1）求小蕾从外婆家到A服务区的过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
【答案】（1）y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；（2）4小时
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解答即可；
（2）根据“时间＝路程÷速度”，求出从A服务区到家的时间即可解答．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；
（2）把x＝2代入y＝﹣90x+270，得y＝﹣180+270＝90，
从A服务区到家的时间为：90÷60＝1.5（小时），
2.5+1.5＝4（小时），
答：小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时．
【点睛】本题考查一次函数的解析式，及函数值问题，掌握函数的待定系数法求解析式，会用解析式求函数值，掌握路程速度与时间的关系，会用路程与速度求时间解决问题是关键．
23. 如图，正方形ABCD边长为a，射线AM是∠A外角的平分线，点E在边AB上运动(不与点A、B重合)，点F在射线AM上，且AF=√2BE，CF与AD相交于点G，连结EC、EF、EG．
（1）求证：CE=EF；
（2）求△AEG的周长(用含a的代数式表示)
（3）试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大?
【答案】（1）见解析；（2）2a；（3）点在边中点时，最大，最大值为
【解析】
【分析】（1）过点作于点，依据SAS证明，即可求证；
（2）先在（1）的基础上继续证明是等腰直角三角；把绕点逆时针旋转至位置，即可证明（SAS），从而得到，继而得到△AEG的周长；
（3）设，由（1）得，建立二次函数，即可求出最值.
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则
平分，
是等腰直角三角形，
，，
，
又
（2）
又在中，
由（1）知，
是等腰三角形，
把绕点逆时针旋转至位置，如图所示．
，，
，
又
（SAS）
（3）设，由（1）得
则
当，即点在边中点时，最大，最大值．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，通过旋转构造全等图形，通过全等的性质转化线段求三角形的周长；二次函数在几何动点问题中求最值；识别基础模型、构造熟悉图形是解题的关键.
调查总人数
20
50
100
200
500
参加“迷你马拉松”人数
15
33
72
139
356
参加“迷你马拉松”频率
0.750
0.660
0.720
0.695
0712
小明
小军
小红
小丽
小明
小军，小明
小红，小明
小丽，小明
小军
小明，小军
小红，小军
小丽，小军
小红
小明，小红
小军，小红
小丽，小红
小丽
小明，小丽
小军，小丽
小红，小丽