新高考数学一轮复习讲与练第06讲 指数函数与对数函数（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较。
通过解决简单的实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律。
考点一 指数与指数函数
1.根式
(1)概念：式子 SKIPIF 1 < 0 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：( SKIPIF 1 < 0 )n＝a(a使 SKIPIF 1 < 0 有意义)；当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ＝a，当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ＝|a|＝ SKIPIF 1 < 0
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
4.常用结论
（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， SKIPIF 1 < 0 .
（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
考点二 对数与对数函数
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lga SKIPIF 1 < 0 ＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝ SKIPIF 1 < 0 lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：lgbN＝ SKIPIF 1 < 0 (a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
5.常用结论
①.换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝ SKIPIF 1 < 0 ；(2)lgambn＝ SKIPIF 1 < 0 lgab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
③.对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)， SKIPIF 1 < 0 ，函数图象只在第一、四象限.
考点三 函数的应用（二）
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数图象与零点的关系
3．几类函数模型
4.三种函数模型的性质
高频考点一 指数与指数函数
例1、计算下列各式的值：
(1)(2 SKIPIF 1 < 0 )0＋22· SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 lg23·(lg32＋lg92)＋( SKIPIF 1 < 0 )2＋ln SKIPIF 1 < 0 －lg1.
例2、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【变式训练】
1、计算：
(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
2、已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
高频考点二 对数与对数函数
例1、化简 SKIPIF 1 < 0 ___________.
例2、已知图中曲线 SKIPIF 1 < 0 分别是函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图像，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式训练】
1、若函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
2、关于函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性的说法正确的是（ ）
A．在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数B．在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数
C．在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数D．在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数
高频考点三 函数的零点与方程的解
例1、设 SKIPIF 1 < 0 依次表示函数 SKIPIF 1 < 0 的零点，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为______．
【变式训练】
1、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c且不等式f（x）<2x的解集为（1，3），对任意的x∈R都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
(1)求f（x）的解析式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恰有两个零点，求m的值.
高频考点四 函数模型的应用
例1、叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料，有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它有微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此是除甲醛的一种新材料，用来除甲醛基本上立竿见影．经研究发现，叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是 SKIPIF 1 < 0 ，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m为多少个单位（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．160D．6
【变式训练】
1、某厂准备投资100万元生产A､B两种新产品，据测算，投产后的年收益：A产品是投资额的 SKIPIF 1 < 0 ，B产品是其投资额的开平方后的2倍.
(1)若投资x万元生产B产品，分别求出A产品､B产品的年利润f（x）､g（x）与x的函数关系式；
(2)当B产品的投资额为多少时，两种产品的年总收益h（x）最大？
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无
零点个数
2
1
0
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
“对勾”函数模型
y＝x＋ SKIPIF 1 < 0 (a>0)
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgax