新高考数学一轮复习讲与练第02讲等式性质与不等式（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

2024精品成套高中数学一轮复习资料 2021-2024年高考数学一轮复习知识练习（含答案解析）

2024-08-25 16:43
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这是一份新高考数学一轮复习讲与练第02讲等式性质与不等式（讲）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习讲与练第02讲等式性质与不等式讲原卷版doc、新高考数学一轮复习讲与练第02讲等式性质与不等式讲解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页，欢迎下载使用。

本讲为高考重要知识点，题型主要和其他知识结合考察，属于工具型知识点，梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式-基本不等式。体会函数观点统一方程和不等式的数学思想。
考点一等式性质与不等式的性质
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒ SKIPIF 1 < 0 ＞ SKIPIF 1 < 0 (n∈N，n≥2).
考点二基本不等式
1.基本不等式： SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中 SKIPIF 1 < 0 称为正数a，b的算术平均数， SKIPIF 1 < 0 称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤ SKIPIF 1 < 0 (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 SKIPIF 1 < 0 (简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是 SKIPIF 1 < 0 (简记：和定积最大).
注意：
1. SKIPIF 1 < 0 ≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤ SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 .
3. SKIPIF 1 < 0 (a>0，b>0).
高频考点一等式性质与不等式性质
例1、已知，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
【解答】
解：对于：当时，根式无意义，选项错误；
对于：在一个不等式两边同时加上一个实数，不等式仍成立，故B正确；
对于：，当时，不成立；
对于：当，时，，但不成立．
故选：．
【变式训练】
1．若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式正确的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以A错误，
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确，
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误，
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以D错误，
故选：B
高频考点二 “1”的代换型
例2、已知x，y均为正实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则x+3y的最小值为__________
【详解】x，y均为正实数, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.故答案为：2.
【变式训练】
1.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A．20B．24C．25D．28
【答案】C
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立．故选：C．
2.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A．13B．19C．21D．27
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，b＝6时，等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为27。故选：D
3.已知正实数 SKIPIF 1 < 0 ，b满足 SKIPIF 1 < 0 ＋b＝1，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_____
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 都是正实数.所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【做题技巧】
1.基本公式 SKIPIF 1 < 0
2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。
高频考点三 “和”与“积”互消型
例3、已知x、y都是正数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_________．
【答案】18.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号）
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故答案为：18.
【变式训练】
1.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，乘“ SKIPIF 1 < 0 ”得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
2.已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________．
【答案】6
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号．故答案为：6．
【基本规律】
1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1；
2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析；
3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2。
高频考点四以分母为主元构造型
例4、已知非负数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（）
A．3B．4C．10D．16
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号，故选：B
【变式训练】
1.已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A．9B．10C．11D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为9．故选：A．
2.已知正数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】已知正数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，因此， SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
3.设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时取等号故选：A
【基本规律】
构造分母型：
1.以分母为主元构造，可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如典例分析
2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如变式2
3.变式3是三项构造，且无条件等式。
高频考点五构造分母：待定系数
例5、已知正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8.
所求 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以答案为 SKIPIF 1 < 0 .故选:A.
【变式训练】
1.知正实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因此， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
2.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取到最小值为．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】试题分析：令 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
【基本规律】
特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致”
方法：直观凑配或者分母换元
高频考点六分子含参型：分离分子型
例6、若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因此， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式训练】
1.已知正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是正实数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号），故选：A
2.若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合基本不等式可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
3.若正实数x，y满足2x+y=2，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【方法总结】
1.分离分子原理题，如典例分析
2.分子二次型换元分离，如变式2
3.分子二次型凑配构造分离，如变式3
高频考点七反解代入型:消元法
例7、已知正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，、
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式训练】
1.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 等号成立，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
2.若正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______，此时 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】2 2
解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故答案为：2；2．
3.若正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.故答案为： SKIPIF 1 < 0
【方法总结】
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。
高频考点八反解代入型:消元法
例8、非负实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意，非负实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ,
又由 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式训练】
1.已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是___．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】原式可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，两边同时乘以2，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即x+2y SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立。填 SKIPIF 1 < 0
2.已知，且，则的最小值等于_______．
【答案】
【详解】，且，即有，
即，可得，
当且仅当时，上式取得等号，即有的最小值为.故答案为：
【方法总结】
特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
高频考点九均值用两次
例9、 SKIPIF 1 < 0 是不同时为0的实数，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为a，b均为正实数，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 取等，即 SKIPIF 1 < 0 取等号，
即则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
【变式训练】
1.设正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【详解】．A
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选A
2.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】2
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 最小值为2.故答案为：2.
3.已知正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，上述两个不等式均是当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【方法总结】
两次均值，逐次消去，取等条件一致