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安徽省马鞍山市第二十二中学等校2022-2023学年高二上学期阶段联考数学试题
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这是一份安徽省马鞍山市第二十二中学等校2022-2023学年高二上学期阶段联考数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在长方体中，（ ）
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是（ ）
A.在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率
B.掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件
C.甲､乙两人对同一个靶各射击一次，记事件“甲中靶”，“乙中靶”，则“恰有一人中靶”
D.抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于
3.已知直线的方向向量分别为，若，则（ ）
A.1 B.2 C.0 D.3
4.“事件与事件相互独立”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（ ）
A.是对立事件 B.都是不可能事件
C.是互斥事件但不是对立事件 D.不是互斥事件
6.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点在侧棱上，且，若，则（ ）
A. B.
C. D.
7.编号为的三位学生随意坐人编号为的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为上一点，且，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表：
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
没投中
100
55
18
10.已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（ ）
A.不是空间的一组基底全科试题免费下载公众号《高中僧试题下载》
B.不是空间的一组基底
C.向量的模是2
D.向量和的夹角为
11.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为；乙罐中有五个相同的小球，标号为.现从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ）
A.事件发生的概率为
B.事件发生的概率为
C.事件发生的概率为
D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
12.已知空间中不共面的四点，则（ ）
A.直线与所成角的余弦值是
B.二面角的正弦值是
C.点到平面的距离是
D.四面体的体积是
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：
①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；
②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；
③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；
④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，
其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）
14.已知甲､乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲､乙两球都落入盒子的概率为__________.
15.在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，若四点共面，则__________.
16.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱于点，若，则__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
18.（本小题满分12分）
某校有甲､乙两个数学兴趣小组，甲组有男生3名，女生2名，乙组有男生2名，女生2名.
（1）若从甲数学兴趣小组任选2人参加学校数学竞赛，求参赛学生恰好有1名男生的概率；
（2）若从甲､乙数学兴趣小组各选1人参加市级数学竞赛，求参赛学生至少有1名男生的概率.
19.（本小题满分12分）
已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
某班级需要从甲､乙两名学生中选一人参加学校数学竞赛，抽取了近期两人6次数学考试的成绩，统计结果如下表：
（1）若从甲､乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；
（2）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：
方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.
方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.
已知学生甲､乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.
21.（本小题满分12分）
甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
22.（本小题满分12分）
如图，四棱柱的底面为矩形，为中点，平面平面.第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲的成绩（分）
79
86
71
93
87
82
乙的成绩（分）
89
77
75
92
82
83
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
2022~2023学年高二年级上学期阶段检测联考-数学
参考答案､提示及评分细则
1.B ，故选B.
2.A 根据题意，依次分析选项：对于A，在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率，A正确；对于B，掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，B错误；对于“靶被击中”，C错误；对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等于错误.故选A.
3.D 若，则，所以，所以，解得.故选D.
4.C 由两事件相互独立的概念可知“事件相互独立”是“”的充要条件.故选C.
5.D 事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.故选D.
6.A 因为，所以，根据空间向量的运算法则，可得
，所以.故选A.
7.B 编号为的三位学生随意坐人编号为的三个座位时，1号学生有3种坐法，2号学生有2种坐法，3号学生只有1种坐法，所以一共有6种坐法，其中座位号与学生的编号恰好都不同的坐法只有2种，所以所求的概率.故选.
8.A 因为底面，底面为正方形，所以两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.由，得，所以，设异面直线与所成的角为，则，又，所以异面直线与所成的角为.故选.
9.AC 由题意可知，，事件与事件为对立事件，且事件互斥，所以.故选AC.
10.BD 因为空间向量不共面，所以是空间的一组基底，A错误；假设共面，则，即，解得，所以三个向量共面，不是空间的一组基底，B正确；由题意，得，所以，C错误；，设向量和的夹角为，则，又，所以，D正确.故选BD.
11.BC 由题意，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，，共11个基本事件；“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：，，共8个基本事件；即事件是事件的子事件；因此事件发生的概率为，故错；事件包含的基本事件个数为11个，所以事件发生的概率为；故正确；事件包含的基本事件个数为8个，所以事件发生的概率为，故正确；从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：共5个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，即错误.故选.
12.ACD ，所以直线与所成角的余弦值是正确；，设是平面的一个法向量，则令，得，所以，设是平面的一个法向量，则令，得，所以，所以，所以二面角的正弦值是，B错误；点到平面的距离，C正确；，所以，所以的面积，所以四面体的体积，D正确.故选ACD.
13.①③ ②是不可能事件；④是必然事件；①③是随机事件.
14. 设甲､乙两球落入盒子分别为事件，因为两球是否落入盒子互不影响，所以相互独立，所以甲､乙两球都落入盒子的概率为.
15.6 ，又四点共面，则存在，使得，即，即解得
16. 由题意可知，
，因为四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以所以.
17.解：（1）若，则存在实数，使，即，
所以解得所以
所以，所以.
（2）因为，所以，解得.
因为，所以，所以.
当时，，
所以.
当时，，
所以.
18.解：（1）记“参赛学生恰好有1名男生”是事件.记甲组的3名男生分别为名女生分别是，则基本事件有，共10种.
事件发生的有，共6种.
因此由古典概型的概率计算公式可得.
（2）记“参赛学生至少有1名男生”是事件.记甲组的3名男生分别为名女生分别是，乙组的2名男生分别为名女生分别是，
则基本事件有，，共20种.
事件不发生的有，共4种.
因此由古典概型的概率计算公式可得，
所以.
19.（1）证明：取的中点为，连接，因为分别是的中点，所以，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
（2）解：因为底面，所以两两互相垂直，
以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系如图所示，则，
，则，
设平面的一个法向量为，所以
即令，则.
设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）选派乙参加数学竞赛较合适.
由题意得，
甲，
，
，
由，可知甲､乙的平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，故选派乙参加数学竞赛较合适.
（2）5道备选题中学生会的3道分别记为，不会的2道分别记为，
方案一：学生从5道备选题中任意抽出1道的结果有：，共5种，
抽中会的备选题的结果有，共3种，所以此方案学生可参加复赛的概率.
方案二：学生从5道备选题中任意抽出3道的结果有：，，共10种，
抽中至少2道会的备选题的结果有：，共7种，
所以此方案学生可参加复赛的概率.
因为，所以推荐的选手选择方案二进入复赛的可能性更大.
21.解：设分别表示甲､乙在第次投篮时投中，则.
（1）记“甲获胜”为事件，
则
.
（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件，
则
22.（1）证明：因为底面是矩形，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，
因为，所以，所以，
又平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，因为，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，连接，又底面为矩形，
所以，所以两两互相垂直，以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，
所以.
由（1）知平面，所以是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，则即令，则.
设二面角的平面角为，则，
由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为.
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在长方体中，（ ）
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是（ ）
A.在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率
B.掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件
C.甲､乙两人对同一个靶各射击一次，记事件“甲中靶”，“乙中靶”，则“恰有一人中靶”
D.抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于
3.已知直线的方向向量分别为，若，则（ ）
A.1 B.2 C.0 D.3
4.“事件与事件相互独立”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（ ）
A.是对立事件 B.都是不可能事件
C.是互斥事件但不是对立事件 D.不是互斥事件
6.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点在侧棱上，且，若，则（ ）
A. B.
C. D.
7.编号为的三位学生随意坐人编号为的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为上一点，且，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表：
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
没投中
100
55
18
10.已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（ ）
A.不是空间的一组基底全科试题免费下载公众号《高中僧试题下载》
B.不是空间的一组基底
C.向量的模是2
D.向量和的夹角为
11.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为；乙罐中有五个相同的小球，标号为.现从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ）
A.事件发生的概率为
B.事件发生的概率为
C.事件发生的概率为
D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
12.已知空间中不共面的四点，则（ ）
A.直线与所成角的余弦值是
B.二面角的正弦值是
C.点到平面的距离是
D.四面体的体积是
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：
①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；
②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；
③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；
④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，
其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）
14.已知甲､乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲､乙两球都落入盒子的概率为__________.
15.在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，若四点共面，则__________.
16.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱于点，若，则__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
18.（本小题满分12分）
某校有甲､乙两个数学兴趣小组，甲组有男生3名，女生2名，乙组有男生2名，女生2名.
（1）若从甲数学兴趣小组任选2人参加学校数学竞赛，求参赛学生恰好有1名男生的概率；
（2）若从甲､乙数学兴趣小组各选1人参加市级数学竞赛，求参赛学生至少有1名男生的概率.
19.（本小题满分12分）
已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
某班级需要从甲､乙两名学生中选一人参加学校数学竞赛，抽取了近期两人6次数学考试的成绩，统计结果如下表：
（1）若从甲､乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；
（2）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：
方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.
方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.
已知学生甲､乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.
21.（本小题满分12分）
甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
22.（本小题满分12分）
如图，四棱柱的底面为矩形，为中点，平面平面.第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲的成绩（分）
79
86
71
93
87
82
乙的成绩（分）
89
77
75
92
82
83
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
2022~2023学年高二年级上学期阶段检测联考-数学
参考答案､提示及评分细则
1.B ，故选B.
2.A 根据题意，依次分析选项：对于A，在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率，A正确；对于B，掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，B错误；对于“靶被击中”，C错误；对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等于错误.故选A.
3.D 若，则，所以，所以，解得.故选D.
4.C 由两事件相互独立的概念可知“事件相互独立”是“”的充要条件.故选C.
5.D 事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.故选D.
6.A 因为，所以，根据空间向量的运算法则，可得
，所以.故选A.
7.B 编号为的三位学生随意坐人编号为的三个座位时，1号学生有3种坐法，2号学生有2种坐法，3号学生只有1种坐法，所以一共有6种坐法，其中座位号与学生的编号恰好都不同的坐法只有2种，所以所求的概率.故选.
8.A 因为底面，底面为正方形，所以两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.由，得，所以，设异面直线与所成的角为，则，又，所以异面直线与所成的角为.故选.
9.AC 由题意可知，，事件与事件为对立事件，且事件互斥，所以.故选AC.
10.BD 因为空间向量不共面，所以是空间的一组基底，A错误；假设共面，则，即，解得，所以三个向量共面，不是空间的一组基底，B正确；由题意，得，所以，C错误；，设向量和的夹角为，则，又，所以，D正确.故选BD.
11.BC 由题意，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，，共11个基本事件；“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：，，共8个基本事件；即事件是事件的子事件；因此事件发生的概率为，故错；事件包含的基本事件个数为11个，所以事件发生的概率为；故正确；事件包含的基本事件个数为8个，所以事件发生的概率为，故正确；从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：共5个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，即错误.故选.
12.ACD ，所以直线与所成角的余弦值是正确；，设是平面的一个法向量，则令，得，所以，设是平面的一个法向量，则令，得，所以，所以，所以二面角的正弦值是，B错误；点到平面的距离，C正确；，所以，所以的面积，所以四面体的体积，D正确.故选ACD.
13.①③ ②是不可能事件；④是必然事件；①③是随机事件.
14. 设甲､乙两球落入盒子分别为事件，因为两球是否落入盒子互不影响，所以相互独立，所以甲､乙两球都落入盒子的概率为.
15.6 ，又四点共面，则存在，使得，即，即解得
16. 由题意可知，
，因为四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以所以.
17.解：（1）若，则存在实数，使，即，
所以解得所以
所以，所以.
（2）因为，所以，解得.
因为，所以，所以.
当时，，
所以.
当时，，
所以.
18.解：（1）记“参赛学生恰好有1名男生”是事件.记甲组的3名男生分别为名女生分别是，则基本事件有，共10种.
事件发生的有，共6种.
因此由古典概型的概率计算公式可得.
（2）记“参赛学生至少有1名男生”是事件.记甲组的3名男生分别为名女生分别是，乙组的2名男生分别为名女生分别是，
则基本事件有，，共20种.
事件不发生的有，共4种.
因此由古典概型的概率计算公式可得，
所以.
19.（1）证明：取的中点为，连接，因为分别是的中点，所以，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
（2）解：因为底面，所以两两互相垂直，
以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系如图所示，则，
，则，
设平面的一个法向量为，所以
即令，则.
设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）选派乙参加数学竞赛较合适.
由题意得，
甲，
，
，
由，可知甲､乙的平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，故选派乙参加数学竞赛较合适.
（2）5道备选题中学生会的3道分别记为，不会的2道分别记为，
方案一：学生从5道备选题中任意抽出1道的结果有：，共5种，
抽中会的备选题的结果有，共3种，所以此方案学生可参加复赛的概率.
方案二：学生从5道备选题中任意抽出3道的结果有：，，共10种，
抽中至少2道会的备选题的结果有：，共7种，
所以此方案学生可参加复赛的概率.
因为，所以推荐的选手选择方案二进入复赛的可能性更大.
21.解：设分别表示甲､乙在第次投篮时投中，则.
（1）记“甲获胜”为事件，
则
.
（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件，
则
22.（1）证明：因为底面是矩形，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，
因为，所以，所以，
又平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，因为，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，连接，又底面为矩形，
所以，所以两两互相垂直，以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，
所以.
由（1）知平面，所以是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，则即令，则.
设二面角的平面角为，则，
由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为.
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