新高考数学一轮复习百题刷过关专题38 导数的隐零点问题必刷100题（2份打包，原卷版+解析版）

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（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】
（1）答案见解析；
（2）
【分析】
（1）计算，分别讨论、、、时，解不等式和可得单调增区间和单调减区间即可求解；
（2）已知不等式可转化为对恒成立，分离可得，令，利用导数求的最大值即可求解.
（1）
由可得
，
当时，，当时，；当时，，
此时的单调递增区间为，单调递减区间为
当时，由得，，，
①若，即时，恒成立，故在上单调递增；
②若，即时，
由可得：或；令可得：
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，即时，
由可得：或；由可得：
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述：
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为.
（2）
由可得对恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
则，
令，则，则在上单调递减，
又，，故在上有唯一的实根，
不妨设该实根为，
故当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
故，
又因为，所以，，，
所以，故的取值范围为．
2．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若不等式恒成立，求整数a的最小值．
【答案】（1），无极大值；（2）2.
【分析】
（1）将代入，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，进而求出极值.
（2）不等式等价于在上恒成立，设，利用导数求出的最大值即可求解.
【详解】
解：（1）当时，，
令得（或舍去），
∵当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴，无极大值．
（2），即，
即，
∴，即，
∴原问题等价于在上恒成立，
设，则只需．
由，令，
∵，∴在上单调递增，
∵，
∴存在唯一的，使得，
∵当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
∴，
∴即可．
∴，∴，故整数a的最小值为2
3．已知函数，．
（1）当时，求过点（0，0）且与曲线相切的直线方程；
（2）当时，不等式在上恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求出函数的导函数，设切点坐标为，利用导数的几何意义得到切线方程，再根据切线过点，求出参数，再代入计算可得；
（2）依题意参变分离可得在恒成立，令，则，，利用导数研究函数的单调性与最小值，即可求出参数的取值范围，从而求出的最大值．
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，，设切点坐标为，则切线的斜率，故切线方程为，因为切线过点，所以，即，所以，故切线方程为
（2）当时恒成立，即在时恒成立，因为，所以，所以在恒成立，令，，即，，
所以，令，，则，所以在上单调递增，由，，所以存在，使得，所以当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，即，即，所以，所以，因为，，所以，所以的最大值为；
4．已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值．
【答案】(1) 在上单调递减，在上单调递增, 当时，有极小值，无极大值. (2) 1
【分析】
(1) 求出，得到，从而可得在上单调递增，且，得出函数的单的区间和极值.
(2)由题意即存在实数，使得成立，设，即，求出函数的导数，得出其单调区间，结合隐零点的代换，可得答案.
【详解】
（1）由，可得
又恒成立，则在上单调递增，且
所以当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，有极小值，无极大值.
(2) 存在实数，使得成立
即存在实数，使得，即成立
设，即
，
所以在上单调递增. ,
所以存在，使得，即，也即
所以当时，，单调递减.
当时，,单调递增.
所以

当时，
所以，由题意，
所以整数的最小值为1.
5．已知函数
（1）证明：在区间上存在唯一的零点
（2）证明：对任意，都有
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，令，再求，确定的单调性后结合零点存在定理可证；
（2）题设不等式化为，令，求导函数，令，再求导得，利用确定的单调性结合零点存在定理确定在唯一零点，也是的最小值值点，说明这个最小值大于0，即证结论成立．
【详解】
证明：设，
，即
故在区间上单调递减
又
所以在区间上存在唯一零点
（2）要证，
即证
，所以存在唯一的
当，当
故
因为，综上所述对任意，都有．
6．已知函数，(为自然对数的底数).
（1）记，求函数在区间上的最大值与最小值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，根据导数的方法研究其在上的单调性，进而可得出最值；
（2）先将不等式恒成立转化为对任意恒成立，令，根据导数的方法求出最值，即可得出结果.
【详解】
（1）∵，∴，
令，则，，
当时，，则函数在区间上单调递减；
当时，，则函数在区间上单调递增；
∴，
又，所以；
（2）∵对任意恒成立，
∴对任意恒成立，
∴对任意恒成立.
令，则.
由于，所以在上单调递增.
又，，，，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，时，.
即在单调递减，在上单调递增.
∴.
又，即，∴.
∴.
∵，∴.
又∵对任意恒成立，∴，
又，∴.
7．已知函数．
（Ⅰ）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；
（Ⅱ）若时，，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线在处的切线方程的斜率就是，写出方程即可求得；
（Ⅱ），令因为，所以在内单调递增，，根据与分类讨论，当时，只需即可，解得；当时，存在唯一使得=0，有，分析函数在零点两侧的单调性知，要，只需，解得，又，得.
【详解】
（Ⅰ）
的图象在处的切线与轴平行，
，解得.
（Ⅱ），令，
则，
所以在内单调递增，，
（i）当时，即，
在内单调的增，要使，
只需要，解得，
从而
（ii）当时，即时，
由在内单调递增知，
存在唯一使得，
有，单调递减，
单调递增，
只需，即，解得
又，得，
综上，．
8．已知函数
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）取得极小值，无极大值；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求得，利用导数分析函数单调性，即可求得函数极值；
（Ⅱ）根据不等式恒成立，分离参数，构造函数，利用导数研究的单调性，以及最值，即可求得参数范围.
【详解】
（Ⅰ）因为，
所以函数的定义域为，.
令，故可得在恒成立，
故在上单调递增，故，故.
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极小值，无极大值.
（Ⅱ）恒成立等价于恒成立.
因为，所以.
令，则.
令，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以使得，即.
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
由可得，
而在上单调递增，所以，即，
所以，
所以.
9．函数，（）．
（Ⅰ）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】
（1）先求函数导数，得函数单调递减，则零点至多一个；再根据零点存在定理说明至少一个零点，两者结合得结论，最后根据函数单调性求最值;
（2）先变量分离得，再利用导数研究函数单调性，结合图像可得有且只有两个整数的条件，即为实数的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）证明：由题知，
于是，
令，则（），
∴在上单调递减．
又，，
所以存在，使得，
综上存在唯一零点．
当，，于是，在单调递增；
当，，于是，在单调递减．
故，
又，，，
故．
（Ⅱ）
令，则，
令，则在上单调递增．
又，，
∴存在，使得．
∴当，，即，在单调递减；
当，，即 ，在单调递增.
∵，，，
且当时，，
又，，，
故要使不等式式解集中有且只有两个整数，
的取值范围应为：．
10．已知函数，．
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）若对任意的成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由即得，验证知，符合题设，即得解；
（2）由题得，令，求出，再分析得到，即得实数的取值范围．
【详解】
解：（1）因为，
所以
又因为函数在处取得极值，
所以，
解得．
验证知，符合题设，
故．
（2）据题意得，
所以
令，则．
令，则在区间上单调递增，
且当时，，，
所以存在，使得，
所以当时，，当时，，
即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，．
因为，
所以．
令，得．
又当时，，
所以，，
所以．
所以，即所求实数的取值范围是．
11．已知函数，，.
（1）讨论的单调区间；
（2）若，，且恒成立，求的最大值.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）6
【分析】
（1）求导，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）利用参数分离法，将问题转化为，，令，利用导数求的最小值，从而确定的最大值即可.
【详解】
（1）由，得，，
当时，即时，在上恒成立，
所以的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，即时，由，得，
由，得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
综上，当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2），，，
由，得,，
令,，
则，，
令，，则，
所以，在递增，，，
存在，使，
且，，，单调递减，
，，，单调递增，
，
，所以，
所以，
令，，，
，，
又，，
综上，的最大值为6.
12．设函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，若对，都有（）成立，求的最大值.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）0
【分析】
（1），．对分类讨论，可得其单调区间．
（2）当时，对，都有恒成立， ，令，只需，利用导数研究其单调性即可得出．
【详解】
解：（1），.
当时，在恒成立，在是单减函数.
当时，令，解之得.
从而，当变化时，，随的变化情况如下表：
由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数.
综上，当时，的单减区间为；
当时，的单减区间为，单增区间为.
（2）当，为整数，且当时，恒成立
.
令，只需；
又，
由（1）得在单调递增，且，
所以存在唯一的，使得，
当，即单调递减，
当，即单调递增，
所以时，取得极小值，也是最小值，当时，
而在为增函数，，
即.而，
，即所求的最大值为0.
13．已知函数.
（1）若是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求出函数的导数，问题转化为，根据函数的单调性求出的范围即可；
（2）令（），问题等价于.求导数，判断的单调性，求最值即可.
【详解】
（1）定义域，，
因为是单调递增函数，故对恒成立，
即对恒成立.
记，则，
由，令得，
当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
所以，
从而.
（2）令（），问题等价于.
由，，
∴函数在上是增函数，
容易证明时，，，
则，
由得，（舍负）
从而取，；
另外，容易证明，取正数x满足
从而取c满足，有.
（注：这里也可以这样处理：当时，，，
故；
当时，，，）
所以存在唯一的，使得，当时，；
当时，；
从而在区间上递减，在上递增，
，
由，得：，
∴，
∴，即.
设，则为增函数，
，，则有唯一零点，设为t，
则，则，即，
令，则单调递增，且，
则，即，
∵在为增函数，
则当时，a有最大值，，
∴，即a的取值范围是.
14．已知函数，其中，.
（1）求的单调区间；
（2）设当时，若对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调性；（2）不等式转化为，设函数，利用导数求函数的最大值，即可求得的取值范围.
【详解】
（1）由题意，可得.
因为，所以当时，
当时，，函数在上为单调递增函数；
当时，.函数在上为单调递减函数.
当时，
当时，，函数在上为单调递㖅函数；
当时，.函数在上为单调递增函数.
（2）由题意可得，
设.则，
当时，.
设，则，所以在上单调递增.
又，
所以，使得.即，.
当时，，；
当时，.
所以函数在上单调递增，住上单调递減，
所以，
因为函数在上单调递增，所以.
因为对任意的垣成立，且.
所以的最小值是.
15．已知函数，其中为常数.
（1）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求值；
（2）若存在极大值点，求的取值范围，并比较与的大小.
【答案】（1）；（2）的取值范围是，.
【分析】
（1）求导得，求解出和，根据导数的几何意义写出切线方程，再利用切线在轴上的截距为，得；
（2）求导，设，由题意可判断得是函数在区间内的一个变号零点，列不等式组求解的取值范围，表示出，设函数，求导判断单调性，从而得，即可判断得.
【详解】
解：（1），所以.
又，所以切线方程为，即.
由已知，，解得.
（2），设函数，
所以函数的减区间为，增区间为，
因为是极大值点，所以在的左右两侧，的值先正后负，
即 的值也是先正后负，故，所以是函数在区间内的一个变号零点.
于是.
解得，故所求的取值范围是.
因为是的极大值点，所以，于是，其中.
所以.
设函数，则.
所以在区间内单调递减，故.
又，所以，且，于是，
故.
16．已知函数，，直线分别与函数，的图象交于，两点，为坐标原点．
（1）求长度的最小值；
（2）求最大整数，使得对恒成立．
【答案】（1）1；（2）-1．
【分析】
（1）利用函数把AB的长度表示出来，借助函数导数求得最小值.
（2）把向量点积转化为函数问题，借助导数解决隐零点问题，求得最小值的函数表达式，再求得最小值函数的最小值即可.
【详解】
直线分别与函数，交于，两点，
则，．
（1），
记，，
当，，单调递减；当，，单调递增；
所以，即长度最小值为1；
（2）由，记，
所以，显然单调递增，
而，，
所以存在唯一，使得，即，
当，，单调递减；当，，单调递增；
时，，又，
所以，
又，所以，
所以要使得整数恒成立，只需即的最大整数为-1．
17．已知函数，.
（1）证明：；
（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1.
【分析】
（1）由条件转化为证明，即证明，构造函数，利用导数证明恒成立；（2）不等式转化为，根据（1）可知时，不等式成立，当时，不成立，即不等式不恒成立，即可得结论；（3）先求，再设函数，利用导数，判断函数的单调性，求函数的最小值.
【详解】
（1）∵，∴证明即证明即证明.
设，∴，
∴时，单调递增；时，单调递减.
∴，
∴即成立.
（2）时，即，
由（1）知，当时，成立，
当时，显然时不成立，
综上，.
（3）.
设，，
∴在上单调递增，
∵，，
∴存在使，且时即，递减；
时即，递增，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵在是单调递增，
∴，
∴，
∴.
18．已知函数在点处的切线为.
（1）求函数的解析式；
（2）若，且存在，使得成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）5．
【详解】
试题分析：（1）由已知可得，；（2）原不等式化为，令，，使得，则，．令，利用导数工具判断有一零点，进而求出是极小值点，从而求出 最小值为，又．的最小值为．
试题解析：解：（1）的定义域为，
，
．
（2）可化为，
令，，使得，
则，
．
令，则，
在上为增函数．
又，
故存在唯一的使得，即．
当时，，
，在上为减函数；
当时，，
，在上为增函数．
，
．
．
的最小值为5．
19．已知函数.
（1）求证：函数存在极小值点且；
（2）令，求的最小值.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）求出函数导数，构造函数，利用导数判断的单调性，利用零点存在性定理可得；
（2）求出导数，构造函数，利用导数判断单调性，进一步得出的单调性可求解.
（1）
函数的定义域是，
，
令，则在上恒成立，
所以单调递增，即单调递增.
又，，
所以存在，使得，
且当时，；当时，；
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，
即函数存在极小值点且；
（2）
，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
因为，，
所以存在使得，
当时，，当时，，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以当时，，
因为，，即，
所以，
故令，，函数为的单调递增函数，
所以，所以，
故.
20．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数的最小值为，求参数a的值．
【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，然后说明每个区间导数的符号，进而求出函数的单调区间；
（2）求导，判断函数的单调性可知存在唯一根，进而知，即，结合已知，令，判断函数的单调性且，即可得解.
【详解】
（1）当时， ，求导
令，即，则（舍）；.
∴当，，在区间单调递减；当，，在区间单调递增；
∴函数的单调减区间为，单调增区间为；
（2），求导得：，
令，则，且开口向上，，
∴存在，使得，
当，，在区间单调递减；当，，在区间单调递增；
，即，
又，两式相减得：，
令，求导，
∴函数在区间单调递增，且
∴函数有唯一解，
∴，解得.
21．已知函数，（其中为常数，是自然对数的底数）．
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据导函数的几何意义，先求斜率，再带入化简整理即可；
（2）方法一：不等式恒成立可等价转化为，构造函数，然后通过函数单调性，求最值即可；
方法二： 恒成立，即，进行同构变形，则构造函数，利用函数单调性求解不等式，进而转化为，接下来参变分离即得出结果.
【详解】
（1）根据题意可知：
，，
所以，，
所求的直线方程为，
即．
（2）方法一：，，
故不等式恒成立可等价转化为：
在上恒成立，
记，，
当时，，不合题意；
当时，．
记，，
则，
所以在上是增函数，又，，
所以使得，即①，
则当时，，即，
当时，，即，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以②，
由①式可得，，
代入②式得，
因为，即，
故，，即，
所以时，恒成立，故的取值范围为．
方法二：根据已知条件可得：，，
且恒成立；
故可等价转化为：恒成立．
设，则，单调递增，
因而恒成立，即恒成立．
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，从而即为所求．
22．已知函数.
（1）讨论的极值情况；
（2）若时，，求证：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导，对参数分类讨论，根据导数与0的关系，判断函数的单调性，从而判断极值情况；
（2）先讨论a=0，然后a>0时，由（1）中的导数求得函数的最小值，使其大于等于0，从而找到参数a和b的关系，把问题转化为函数问题，构造新的函数，通过导数来研究函数的最值，从而证明结论.
【详解】
（1）定义域为，求导得，
①当时，，为上增函数，无极值，
②当时，，得，
时，，为减函数；时，，为增函数，
所以时，有极小值，无极大值.
（2）①当时，，使，则，，
此时成立，
②当时，由（1）得时，有最小值，
，则，解得，
所以，
设，则，
因为为上减函数，且，，
则存在唯一实数，使，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时有最大值，
为上增函数，时，，则，
所以，
综上所述，.
23．设函数，（e为自然对数的底数）
（1）若函数有两个极值点，求a的取值范围；
（2）设函数，其中为的导函数，求证：的极小值不大于1.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求得，根据有两个极值点，转化为与的图象的交点有两个，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解.
（2）根据题意得到，求得，得到，进而求得的单调性与极值，再分和两种情况，结合函数的单调性和极值的运算，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，可得，
因为有两个极值点，
即方程在有两个不同的解，
即与的图象的交点有两个.
由，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，有极大值.
又因为时，；时，，
当时，即时有两个解，所以
（2）由函数
可得，则，所以在单调递增，
若时，
当时，.在上单调递减；
当时，.在上单调递增；
所以在处取得极小值
若，令，则；
令，则
所以在，有唯一解；
若，令，则，
令，则，所以在，有唯一解；
所以在有唯一解，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以，
令，则，
由，可得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，即的极小值不大于1.
24．已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，函数的最小值为，求的值域.
【答案】（1）单调增区间为；无单调减区间；（2）.
【分析】
（1）由题意对函数求导得，令，通过导数可证明，进而可得，即可得解；
（2）由题意结合导数可得且，令，由导数结合可得，进而可得，令，，结合导数求得的值域即可得解.
【详解】
（1）当时，函数，定义域为，
则，
令，则恒成立；
∴在上单调递增，，
∴恒成立，
故的单调增区间为；无单调减区间.
（2）∵，
令，显然在单调递增，
又，，
∴据零点存在定理，存在，使即，
∴当时，即，在上单调递减；
当时，即，在上单调递增；
∴①，
又，∴；
令，则，
∴当时，，在上单调递减；
又，∴即，
将代入①得
，
令，，
∴，
∴在上单调递减，
又，，
∴，故的值域为.
25．设函数，，
（1）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围：
（2）若函数在定义城内不单调，求的取值范围：
（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立?若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【分析】
（1）根据题意，得到，再由函数单调性，即可得出结果；
（2）先由题意，得到定义域，再对函数求导，根据其不单调，得到的最小值为负，进而可得出结果；
（3）先令，对其求导，用导数的方法求出最大值，再结合题中条件，即可得出结果.
【详解】
（1）当时，，
在上单调递增，
而函数可由平移后得到，函数单调递增，
所以只需，所以；
（2）易知函数的定义域为，而，
因为函数在定义城内不单调，
所以，只需的最小值为负，即，所以.
（3）令，其中，.
则，令，
则在上恒成立，
则在上单调递减，
又时，；时，；
所以在区间上必存在实根，
不妨设，即，
即，（*）
所以当时，；当时，，
即在区间上单调递增，在上单调递减，所以.
而，代人（ * ）式得.
根据题意知恒成立.
又根据不等式，当且仅当时等式成立，
所以，即，
将代入（*）式得，即，.
26．已知函数．
（1），求函数的单调区间：
（2）对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】
（1）求导后，按照、、与分类，分别解出不等式，即可得解；
（2）转化条件得对于任意，不等式恒成立，设，则，设，求导后可得在上单调递增，进而可得，使得，即，则，设，求导后可得在上单调递增，即可证，代入求出后，即可得解.
【详解】
（1）由题意，
则，
（i）当时，的解集为，则的单调增区间为和，单调减区间为；
（ii）当时，，则的单调增区间为，无单调减区间；
（iii）当时，的解集为，则的单调增区间为和，单调减区间为；
（iiii）当时，的解集为，则的单调增区间为，单调减区间为.
（2）由已知，问题等价于对于任意，不等式恒成立，
设，则，
设，则，
在上，，单调递增，
又，，所以，
所以，使得，即，
在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
所以，
又有，
设，则有和，
所以在上，单调递增，所以，
所以，
故实数的取值范围为.
27．已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数，求的单调区间；并证明：当时，；
（3）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域．
【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，；证明见解析；（3）证明见解析；.
【分析】
（1）由导数的几何意义可得切线斜率为1，利用点斜式即可得解；
（2）由题意，求导后可得，即可得的单调区间；由时，即，即可得证；
（3）求出函数的导数，令，由（2）知的单调性，可得存在唯一实数使得，则，令，求导后即可得解.
【详解】
（1），，，
故所求直线方程为即；
（2）由题意，
则，
的单调递增区间为，；
当时，即，
由可得即，
，得证.
（3）由题意，
则，
设，
由（2）知，在上单调递增，
又，，存在唯一实数使得，
当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增；
在上有最小值即，
又即，
，
令，
则，函数在上单调递增，
即，
函数的值域为.
28．已知函数.
（1）若是函数的极值点，求的单调区间；
（2）当时，证明：
【答案】（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析
【分析】
（1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.
（2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证.
【详解】
（1）函数
可求得，则
解得
所以，定义域为
，
在单调递增，而，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时是函数的极小值点，
的递减区间为，递增区间为
（2）证明：当时，
，
因此要证当时，，
只需证明，
即
令，
则，
在是单调递增，
而，
∴存在唯一的，使得，
当，单调递减，当，单调递增，
因此当时，函数取得最小值，
，
，
故，
从而，即，结论成立.
29．已知函数
（1）若，，若的单调区间；
（2）当时，若存在唯一的零点，且，其中，求.
（参考数据：，）
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2） .
【分析】
（1）将，代入函数解析式，求得并令，即可由导函数的符号判断单调区间.
（2）将代入函数解析式，求得.结合定义域及二次函数性质可知的单调区间，并根据零点意义代入方程和函数，可得零点的函数表达式.构造函数，并求得可证明的单调性，结合零点存在定理及所给参考数据，即可求得的值.
【详解】
（1）将，代入函数解析式可得，定义域为，
则
令，解得，（舍），
所以当时，；
当时，；
故的单调递减区间为；的单调递增区间为.
（2）将代入函数解析式可得，
则
因为，且对于来说，，
所以有两个不等式实数根，
且，
所以两根异号，不妨设则，
则由定义域为可得在内递减，在内递增，
因为，
要存在唯一的零点，且，则，
所以，化简可得.
令，
则
所以在时单调递减，
由题可知，，
而，
所以
即
30．已知函数.
（1）若在上存在极小值，求的取值范围；
（2）设（为的导函数），的最小值为，且，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）对求导，研究单调性，求出极小值点为，依题意知，求解即可;
（2）对求导，令，二次求导可得，所以在上单调递增，所以是即的唯一实根， 由求解的取值范围即可.
【详解】
（1）函数的定义域为.
.
令，解得.
因为在上，；在上，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以的极小值为.
依题意知，即，所以.
解得.
即的取值范围为.
（2），所以.
令，则，所以在上单调递增.
所以是即的唯一实根.
令，得，即.
所以
.
由题意得，解得.
所以的取值范围为.
31．已知函数，其图象的一条切线为.
（1）求实数的值；
（2）求证:若，则.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】
（1）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，以及已知的切线方程，可得，然后研究可得，最后代值计算，可得结果.
（2）构建函数，计算，并利用二阶导判断的单调性，根据的值域来判断的单调性，进一步求得，可得结果.
【详解】
（1）函数定义域为
∵,∴.
由题可知：
在点处的切线为,
则且,
∴,即.
令,
则.
当时,
,在单调递增;
当时,
,在单调递减.
当时,;
当时,.
∴,.故实数的值为.
（2）令
即
则.
即
令,
则,
∵恒成立,
∴在单调递减,即在单调递减.
又,
,
∴,使得.
∴当时,;
当时,,
故在单调递增,在单调递减.
∴.
又,即,
∴,
.
令,.
则.
∵恒成立,
∴,故在单调递增.
∴,
故,
即.
∴当时,.
32．已知函数，.
（1）若不等式对恒成立，求的最小值；
（2）证明：.
（3）设方程的实根为.令若存在，，，使得，证明：.
【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
【分析】
（1）由题意可得，，令，利用导数得在上单调递减，进而可得结论；
（2）不等式转化为，令，，利用导数得单调性即可得到答案；
（3）由题意可得，进而可将不等式转化为，再利用单调性可得，记，，再利用导数研究单调性可得在上单调递增，即，即，即可得到结论.
【详解】
（1），即，化简可得.
令，，因为，所以，.
所以，在上单调递减，.
所以的最小值为.
（2）要证，即.
两边同除以可得.
设，则.
在上，，所以在上单调递减.
在上，，所以在上单调递增，所以.
设，因为在上是减函数，所以.
所以，即.
（3）证明：方程在区间上的实根为，即，要证
，由可知，即要证.
当时，，，因而在上单调递增.
当时，，，因而在上单调递减.
因为，所以，要证.
即要证.
记，.
因为，所以，则.
.
设，，当时，.
时，，故.
且，故，因为，所以.
因此，即在上单调递增.
所以，即.
故得证.
33．已知函数，.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）若时，，求整数的最小值.
【答案】（1）详见解析（2）
【分析】
（1）分别在、和三种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调区间；
（2）将问题转化为在上恒成立，则，结合零点存在定理可确定的最大值为，，利用导数可求得其值域，进而得到整数的最小值.
【详解】
（1）由题意得：，
令，则，
当，即时，，，在上单调递增；
当，即或时，
令，解得：，，
当时，，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
当时，，
当时，；当和时，，
在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由得：在上恒成立，
令，则，
令，则，，
，在区间上存在零点，
设零点为，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
设，则，
上单调递增，，即，
整数的最小值为.
34．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若当时，总有，求的最大值．
【答案】（1）（2）最大值为5．
【分析】
（1）对函数进行求导，根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）对不等式进行常变量分离，构造新函数，求导，判断新函数的单调性，最后利用新函数的单调性进行求解即可.
【详解】
（1）当时，，，
则可知，
所以切线方程为，化简可得切线方程为；
（2）由题当时，恒成立，即在时恒成立，
即在时恒成立，
令，则，
令，则在时恒成立．
所以在上单调递增，又知，，
所以在上存在唯一实数，满足，即，
当时，，即；当时，，即．
所以函数在上单调递减；在上单调递增．
即．
由在时恒成立，
所以，又知，所以整数的最大值为5．
35．设，
（1）求的单调区间；
（2）设恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）
【分析】
（1），令，解不等式即可；
（2），令得，即，且的最小值为，令，结合即可解决.
【详解】
（1），
当时，，递增，
当时，，递减.
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），
，
，设的根为，即有可得，
，当时，，递减，
当时，，递增.
，
所以，
①当；
②当时，设，
递增，，所以.
综上，.
36．已知函数，.
（1）若在处的切线也是的切线，求的值；
（2）若，恒成立，求的最小整数值.
【答案】
（1）
（2）7
【分析】
（1）先用导数法求得在处的切线，再根据在处的切线也是的切线，将切线方程与联立，利用判别式法求解；
（2）令，将，恒成立，转化为，对恒成立，利用导数法求解.
（1）
因为函数，
所以，
则，
所以在处的切线方程为，
由，得，
因为在处的切线也是的切线，
所以，解得；
（2）
令，
因为，恒成立，
所以，对恒成立，
令，
则，
令，
则，
所以在上递减，
又，
所以存在，有，即，
因为在递增，在上递减，
所以，
又，
所以，
令，由，得，
所以，
所以
故的最小整数值是7.
37．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）设，若对都有成立，求a的最大值．
【答案】
（1）极大值为，无极小值
（2）1
【分析】
（1）求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，从而可得出答案；
（2）由题意知，，即对恒成立，令，求出函数的最小值，即可得出答案.
（1）
解：函数的定义域为，
因为，令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值；
（2）
解：由题意知，，
即对恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
又因为，
所以在内必存在，使得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
因为，即，
所以，
因为在上单调递增，所以，
又因为，所以，所以，
所以a的最大值为1．
38．已知函数．
（1）求函数在处的切线方程
（2）证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】
（1）y＝－1；
（2）见解析；
（3）3﹒
【分析】
(1)根据导数的几何意义即可切线；
(2)先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；
(3)参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合(2)中结论和隐零点的思维，即可得解．
（1）
，
，，
，
在处的切线为；
（2）
证明：，
，
当时，，
在上单调递增，
（3），（4），
在区间内存在唯一的零点．
（3）
，且，
，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当，时，，即，在，上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
39．已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.
【答案】
（1）答案见解析
（2）
【分析】
（1）求出函数的导函数，分，讨论研究的正负情况即可；
（2）将原不等式转化为对任意的恒成立，令，利用导数的知识求出的最小值即可，这个过程中需要二次求导，估算的导函数的零点，求出的单调性，进而计算的最小值.
（1）
由已知
当时，恒成立，此时函数在上单调递增；
当时，令，得，
若，，若，，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
综合得：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）
，即
对任意的恒成立，
令
则
令，则
在上单调递增，
又，，
，使，
在上单调递减，在上单调递增，
由得
，
设，，
即在上单调递增，
由得，
，即有
，
.
40．已知函数．
（1）若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，若，求的最小值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）已知当时，不满足；进而讨论当 时，存在唯一零点，当 时，单调递增，当 时， 单调递减，故，解得 ，最后利用求解；
（2）由题知，再令 得，故研究函数 性质得 在上有唯一的零点 ，且满足，进而得答案.
（1）
解：当时，，不满足对任意实数，都有恒成立；
当时，，
令，则
所以函数单调递减，
由于，，
所以存在唯一零点，使得 ，
所以当时，单调递增，当 时，单调递减，
所以
令， ，
故在定义域内是的单调函数，
由于，
所以的解集为 ，
所以，即实数a的取值范围是
（2）
解：当时，，
由，
所以，
所以，
令，则，即 ，
令
令
所以时，， 单调递减，时， ， 单调递增，
由于，
所以在上有唯一的零点 ，且满足 ，
所以，
所以，当且仅当 时等号成立.
41．已知函数，.
（1）讨论在内的零点个数.
（2）若存在，使得成立，证明：.
【答案】（1）一个；（2）证明见解析.
【分析】
（1）分、两种情况讨论，在时，分析得出，可得出在上无零点，在时，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论；
（2）利用参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，分析得出，即可证得结论成立.
【详解】
（1）当时，，，此时函数无零点；
当时，，
令，其中，则，
所以，函数在单调递减，所以，，
所以，对任意的，，则，
所以，函数在上为减函数，
因为，，
所以，函数在上只有一个零点.
综上所述，函数在上只有一个零点；
（2）由得，
令，，，
令，则，
当时，，所以，函数在上单调递增，
当时，，此时，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
因为，，
所以，存在，使得，
变形可得，
当时，，当时，.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
，其中，
对于函数，，，
所以在递减，则，
故，所以成立.
42．已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若，当时，恒成立，且有且只有一个实数解，证明：.
【答案】（1）得极大值为，无极小值；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求出函数的定义域，对函数求导，再由导函数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，
（2）由，得，由，可得在上有唯一零点，再结函数的单调性可得，而恒成立，且有且只有一个实数解，所以可得消去并整理得，构造函数，利用导数可求得，而，从而可求出的范围
【详解】
的定义域为
（1）当时，，
则，（）
所以当时，，
当时，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以当时，取得极大值为.无极小值.
（2）由题意可得，，令，
解得.
因为，所以，，
所以在上有唯一零点.
当时，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以.
因为在上恒成立，且有且只有一个实数解，
所以即
消去并整理得.
令，则，，
在上恒成立，所以在上单调递增，
又，，所以.
又，且函数在上单调递增，
所以.
43．已知，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求导以后，分和两种情况，然后分别解含参数不等式即可求出单调区间；
（2）当时，若对任意，恒成立等价于恒成立，进而构造函数，求出其最小值，进而解关于的不等式即可求出结果.
【详解】
（1）
①当时，恒成立，故函数在递增
②当时，令，解得；令，解得
函数在上单调递增，在上单调递减
综上可知：当时，在递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）当且时，恒成立，即恒成立
设，，则在上是增函数
又当时，；当时，
在内有唯一零点
设的零点为，则
当时，，单调递减；当时，，单调递增
由得：，取对数得：
代入上式得：，当且仅当时取等号
当时必须且只需，解得
的取值范围为.
44．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导函数，根据导函数的符号即可得出函数的单调区间；
（2）求得，易知，可得在上单调递增，设，判断函数的单调性，即可得出有唯一一个，使得，从而得出函数的单调区间，要使，只需即可，从而可得出答案.
【详解】
解：（1）函数的定义域为.
当时，，.
易知在上单调递增，且，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
（2），
由题意，；易知在上单调递增，
由，得，
设，则，
在上单调递增，
则当时，有唯一一个，使得.
当时，；当时，，
总有唯一的极小值点，
由，得.
由，
得，
令，则，设，.
则，在上单调递减，又，.
，
.
45．已知函数f（x）＝﹣αx2+（α﹣2）x+lnx.
（1）当α＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若在当x∈（0，+∞）时恒成立，求实数α的取值范围.
【答案】（1）f（x）的增区间为，减区间为；（2）（﹣∞，1].
【分析】
（1）求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间，
（2）在当x∈（0，+∞）时恒成立，得α⩽ex−−在 （0，+∞） 上恒成立，构造函数g（x）＝ex−−，则，再构造函数h（x）＝x2ex+lnx，利用导数可判断出h（x）在（0，+∞）上单调递增，再由零点存在性定理可得存在x0∈（，1），使得h（x0）＝0，从而可判断出当x＝x0时，g（x）取得极小值，也是最小值，进而可求出实数α的取值范围
【详解】
（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
当α＝1时，f（x）＝﹣x2﹣x+lnx，＝﹣2x﹣1+＝，
令＞0，解得：0＜x＜，令＜0，解得：x＞，
故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，
即f（x）的增区间为，减区间为；
（2）f（x）⩽x（ex−αx−2−）恒成立，
即xex﹣1⩾lnx+αx 在 （0，+∞） 上恒成立，
即α⩽ex−−在 （0，+∞） 上恒成立.
令g（x）＝ex−−，则，
令h（x）＝x2ex+lnx，则 h′（x）＝2xex+x2ex+＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＝e＞0，h（）＝−1＜0，
故存在x0∈（，1），使得h（x0）＝0，即ex0+lnx0＝0，
所以x0ex0＝−lnx0＝ln＝ln•，
令λ（x）＝xex，x∈（0，+∞），λ′（x）＝（x+1）ex＞0，
所以λ（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x0＝ln＝−lnx0，
当x∈（0，x0） 时，h（x）＜0，即 g′（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递减，
当x∈（x0，+∞） 时，h（x）＞0，即 g′（x）＞0，故 g（x） 在 （x0，+∞）上单调递增，
所以当x＝x0时，g（x）取得极小值，也是最小值，
所以
故α⩽1，
所以α的取值范围为（﹣∞，1].
46．设函数．
（Ⅰ）若，求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的，恒有成立．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义计算即可得出结果；
（Ⅱ）当时不等式成立；当时，对进行分区间讨论，求出的最大值，令最大值小于，解不等式求出的范围.
【详解】
解：（Ⅰ），，
，
切线方程为：；
（Ⅱ）①当时，对于任意的实数a，恒有成立
②当时，由题意，首先有，
解得
由（Ⅰ）知，
令，则，，且
又在内单调递增，
所以函数在内有唯一零点，记此零点为
则，，从而，当时，，
当时，，
当时，，即在内是增函数，
在内是减函数，在内是增函数．
所以要使得对任意的，恒有成立，
只要有
有得，
将它代入得
又，注意到函数在上是增函数故，
再由，及函数在上是增函数，可得，
由解得，
所以．
综上，a的取值范围为．
47．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）函数的增区间为，减区间为；（2）．
【分析】
（1）求得，分别解不等式、可得出函数的增区间和减区间；
（2）由参变量分离法可知，即在上恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）因为，所以，
令，得，所以在单调递增，
令，得，所以在单调递减；
（2）由题意，对任意的，不等式恒成立，即在上恒成立，
令，则，
令，则，所以在上为增函数，
又因为，，
所以，使得，即，
当时，，可得，所以在上单调递减；
当时，，可得，所以在上单调递增，
所以，
由，可得，
令，则，又由，
所以在上单调递增，所以，可得，
所以，即，
所以，所以，
综上所述，满足条件的的取值范围是．
48．已知函数．
（1）证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【分析】
（1）先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；
（2）参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合（1）中结论和隐零点的思维，即可得解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
当时，，
∴在上单调递增，
∵，，
∴在区间内存在唯一的零点．
（2）解：∵，且，
∴，
令，则，，
由（1）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
∴，
∴，
故整数的最大值为3．
49．已知函数.
（1）若求的单调区间；
（2）若恒成立，求整数a的最大值.
【答案】（1）答案见解析；（2）－1.
【分析】
（1）求出函数导数，根据a分类讨论，即可求解；
（2）由原不等式恒成立，分离参数可得，利用导数求的最小值即可求解.
【详解】
（1）f（x）的定义域为，
，
①当－1＜a＜0时，，由，得0＜x＜1或，由，得，
∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为（0，1）和；
②当a＝－1时，在上恒成立，
∴f（x）的单调增区间为，无减区间；
③当a＜－1时，，由，得或x＞1，由，得，
∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为和；
综上所述，当a＜－1时，f（x）的单调减区间为，单调増区间为和；
当a＝－1时，f（x）的单调增区间为，无减区间；
当－1＜a＜0时，f（x）的单调减区间为，单调增区间为（0，1）和.
（2），故，
设，则，
设，则恒成立，
∴h（x）在（0，＋∞）上单调递增，
∵h（1）＝－1＜0，，
，使得，
时，，从而，
时，在上为减函数，
时，，从而，
时，在上为増函数，
，把代入得：
，
令，则p（x）为增函数，
，，，
整数a的最大值为－1.
50．已知函数.
（1）讨论在区间上的最小值;
（2）若在上恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底）
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求导，分类讨论函数的单调区间，进而求出函数在上的最小值；
（2）由题意得到，构造函数， 利用导数研究函数的最值，由于导函数的正负不易判断，所以设设，通过研究函数的图象与性质，进而可以求出，从而可以求出结果.
【详解】
（1）
①当时，，在上单调递增，
所以，
②当时，，，单调递增;
，，单调递减，
故在上的最小值必在区间端点或处取得，
所以，
又，，，
当，，
当，，
当，，
综上知，.
（2），得到，
设，，
设，，
所以在上单调递增，
又，，
所以在上存在唯一零点，
且，
在区间上，，故，单调递减;
在区间上，，故，单调递增，
所以.
又，即，
设，因为在上单调递增，
故，即，，
所以，即.
51．已知函数．
（1）若函数在定义域上的最大值为，求实数的值；
（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用到导数分析函数在定义域上的单调性，可得出，结合已知条件可求得实数的值；
（2）当时，可得，分析可知不等式对任意的，利用导数求出函数在时的最大值，即可得出实数的最小整数值.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域为，.
①当时，对任意的恒成立，
函数在区间上单调递增，
此时，函数在定义域上无最大值；
②当时，令，得，
由，得，由，得，
此时，函数的单调递增区间为，单调减区间为．
所以函数，得．
综上所述，；
（2）当时，，
由题意可知，对任意的恒成立．
，
，，，则单调递增，
，，
所以，存在唯一的，使得，即，，
且当时，，即，
当时，，即．
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
，设，则，
故函数在时单调递增，则，
即，则，因此的最小整数值为．
52．已知函数.
（1）当时，讨论在上的单调性；
（2）设，若当，且时，，求整数的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）2.
【分析】
（1）求导，分，两种情况讨论导函数的符号，从而得函数的单调性；
（2）分和两种情况分别得出的范围，当时，构造函数，运用导函数可得出所构造的函数的单调性和范围，从而可得答案.
【详解】
（1），
①当时，因为，所以在上单调递减，
②当时，令，解得，令，解得；
即在上单调递减，在上单调递增；
（2），
当时，因为，由（1）知，所以(当时等号成立)，所以.
当时，因为，所以，所以，
令，化为在上恒成立，
因为，令，则，
在上单调递减，又因为，
所以存在使得，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
所以，
为，所以，
所以，
所以的最小整数值为
53．．
（1）求的零点个数；
（2）使不等式对任意恒成立时最大的k记为c，求当时，的取值范围．
【答案】（1）1个；（2）．
【分析】
（1）求导数确定函数的单调性与极值，结合零点存在定理可得零点个数；
（2）用分离参数法不等式变形为，引入新函数，转化为求新函数的最小值得参数的值，通过分类讨论新函数的导数值的最值的正负确定新函数最小值，最终可得出结论．
【详解】
（1）函数定义域是，
由题意，
当或时，，时，，
所以在和上递增，在上递减，
时，，时，，
极大值，极小值，
所以只在区间上有一个零点；
（2）因为，所以原不等式可变为
，
令，，
令，则，时，，递增，，，
①当，即时，在上，是增函数，
，，
②当，即时，，递减，
，；
③当时，在上递增，
存在唯一的实数，使得，，，
则当时，，，递减，
时，，，递增，
，
，
，令，，时，，递增，
所以时，，所以，
综上，．
54．已知函数(其中是自然对数的底数)，曲线在点处的切线方程是.
（1）求，；
（2）设函数，若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）先求导函数，利用和列方程，再解方程得，值即可；
（2）方法一：先分离参数，构造函数，使，再通过导数研究的单调性和最小值，即得参数范围；方法二
：先构造函数，利用导数证明，证得，再构造函数，利用解得恒成立，得到参数范围即可.
【详解】
解：（1），则，
所以，且，
解得，，；
（2）方法一：，整理得.
记，只需.
而.
令，则，故在单调递增.
又，，由零点存在性定理可知，存在唯一，使.
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
所以.
由得，所以，
所以，易见函数在上是单调递增的，由知，，即，且，
所以，
故所求的取值范围.
方法二：证明：
证明：构造函数，∴，
令得，所以函数在单调递增，
令得，所以函数在单调递减.
所以函数，
∴，即∴，∴，
设，
∴，
由在上恒成立，即知恒成立，
所以，故.
55．已知函数在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）；（2）3
【分析】
（1）先求导，将代入导函数得切线斜率，将代入原函数得切点纵坐标，再运用点斜式求出切线方程；
（2）可知，先分离参数，构造新函数和，求出单调性，通过求出的最值，便得到的最大值.
【详解】
（1）∵，在处的切线方程为
∴∴
解得
（2）∵，由
∴
令，则
令，则
在上单调递增，，

∴，使得，即
∴
在上递减，在上递增
，∵∴
∴
∵，∴整数的最大值为3
56．已知函数（），.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）当时，无极值点，当时，有极大值点，无极小值点，（2）
【分析】
（1）先求出函数的定义域，然后求出导函数，通过判断导函数的正负来判断函数的极点；
（2）将不等式恒成立转化为对恒成立，构造函数，利用导数研究函数的性质，求解的最值，即可得到的取值范围
【详解】
解：（1）函数的定义域为，
由，得，
当时，，所以在上单调递增，函数无极值点，
当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有极大值点，无极小值点，
综上，当时，无极值点，当时，有极大值点，无极小值点，
（2）因为恒成立，即恒成立，
所以对恒成立，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，
所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点，使得，
即，
两边取对数可得，即，
因为函数在上单调递增，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为
57．已知函数.
（1）若函数在定义域上的最大值为，求实数的值；
（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先对函数求导，得到，分别讨论 两种情况，判定函数单调性，根据函数的最大值，即可求出结果；
(2)先由题意，将问题转化为：得到，对任意的恒成立；设，求出其导数，得出存在，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，由隐零点的整体代换的处理方法可得出答案.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域为，，
当时，，函数在区间上单调递增，
此时，函数在定义域上无最大值；
当时，令，得，
由，得，由，得，
此时，函数的单调递增区间为，单调减区间为.
所以当时，函数有最大值，即，即为所求；
（3）只需对任意的恒成立即可.
构造函数，
，
∵，∴，且单调递增，
∵，
∴一定存在唯一的，使得，即，
且当时，，即；
当时，，即.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴，
则在上单调递增，
所以，
因此的最小整数值为.
58．已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若时，不等式恒成立，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线方程；
（2）由题可将不等式，转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数研究函数的性质，求出，再构造函数，通过研究函数的图象与性质即可得出结果.
【详解】
（1）由题可知，
∴，又，
∴在处的切线方程为，即.
（2）由题可知不等式，即在上恒成立.
设，
则.
当时，.
令，则，
∴在上单调递增.
又，，
∴存在使得，即，∴.
故当时，，此时，
当时，，此时.
故在上单调递增，在上单调递减，
从而，
∴.
令，
则当时，，∴在上单调递增，
∴，∴.
59．设函数．
（1）若函数，求在上的最值；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）求导后可得，利用导数可确定的单调性，由此可得，，由此可求得最值；
（2）通过分离变量得到，利用导数可确定在上单调递减，上单调递增，且，由此可化简得到，从而得到的取值范围.
【详解】
（1）由题意得：，即，
，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，，；
综上所述：，；
（2）由题意得：，即，
令，则，
令，则，
在上单调递增，又，，
，使，即，
当时，；当时，，
在上单调递减，上单调递增，
，
，，，
；
在上单调递增，，即，
，，即实数的取值范围为.
60．设函数．
（1）若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；
（2）若，，，当时，不等式恒成立，试求的最大值．
【答案】（1）；（2）2．
【分析】
（1）求导，令，转化为，再令，转化为与函数的图象有两个不同的交点求解；
（2）将时，不等式恒成立，转化为时，恒成立求解．
【详解】
（1）由题意可知，的定义域为，．
令，可得．
令，则由题意可知与函数的图象有两个不同的交点．
，令得，
可知在上单调递增，在上单调递减．
所以，
又当时，，当时，，
所以，．
（2）当时，．
由得，
因为，所以．
设，则．
令，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以在上有唯一的零点，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以，
所以，又，
所以，又，
所以的最大值为2．
61．已知函数，为自然对数的底数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，且，求整数的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2）1.
【分析】
（1）求导，对参数分类讨论，求得单调区间；
（2），即，设，通过导数研究函数的最值，此时需要再次求导来判断导函数的单调性，来判断导函数与0的关系，从而求得原函数取最小值时满足的条件，此时存在一个隐零点，满足，将导数的隐零点代入化简得到．然后通过导数求得的取值范围，从而求得参数a的最大值.
【详解】
解：（1）的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，，单调递增，
令，，单调递减，
综上：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由题意：，即，
设，则，
设，由，
知在内为增函数，
，，
，，
则在内，为减函数；在内，为增函数，
，则，
，
因为函数在内为增函数（），
，，
则．
设，在（内为增函数，
，，
，则．
的取值范围是，
整数的最大值为．
62．已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若对于任意的，恒成立，求的最小值.
【答案】（1）单调速增区间是，单调递减区间是；（2）最小值为.
【分析】
（1）求出，进一步求出的解，即可得出结论；
（2）先由，得出，通过二次求导并结合隐零点方法，求出，转化为与隐零点的函数关系，再次用导数法，即可求解.
【详解】
解：（1）因为，
所以，.
令，得.
当时，；
当时，.
故的单调速增区间是，单调递减区间是.
（2）.
因为，，
又，所以，则.
令，则在上单调递增.
因为当时，，
所以.
因为，
所以，使得.
且当时，，则，
当时，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
故.
由，得.
由，得，
即.
结合，得，所以.
令.则，
所以在上单调递增，
所以，即.
故的最小值为.
63．已知函数．
（1）判断函数的单调性，并证明有且仅有一个零点：
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）在上单调递增；证明见解析；（2）．
【分析】
（1）求导，易知，则在上单调递增．然后由零点存在定理证明；
（2）将，转化为，令，用导数法求得其最小值即可.
【详解】
（1），
由，可知有，
故在上单调递增．
因为，，
所以函数有唯一零点，且．
（2）由，整理得，
设，，
由（1）可知在上单调递增，
存在唯一零点，且
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增．
即为在定义域内的最小值，
所以，
因为，
所以①，
令，，
方程①等价于，
而在上恒大于零，所以在单调递增，
故等价于，，
故的最小值，
所以，
所以的取值范围为．
64．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若任意，总有成立，求a的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【分析】
（1）先对函数求导，再对分类讨论得解；
（2）等价于在上恒成立，设，求出，等价于，设，令，得到，的取值范围为，即得解.
【详解】
（1）的定义域是R，．
①当，即时，在R上恒成立，则在上单调递增；
②当，即时，令，得，
令，得；则在上单调递减，在上单调递增．
（2）对一切，
即在上恒成立，
设，则，
易知在上单调递增，且当时，，
当时，，所以存在唯一零点，
令，则
且在上单调递减，在上单调递增，
∴，
即有，
设，令，
则单调递增，又，
故，得，
∴增函数值域为，
即的取值范围为，
故a的取值范围是．
65．函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若在恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求导，分别讨论和两种情况的正负，即可求得的单调区间.
（2）所求转化为求在恒成立问题，设，利用导数判断其单调性，并求得的最大值，可得关于m的不等式，即可得答案.
【详解】
（1）
当时，，所以在为增函数，
当时，令，解得；
当时，，为增函数，
当时，， 为减函数，
综上：当时，的单调增区间为，
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
（2）因为在恒成立，
所以在恒成立，
设，则.
设
所以在单调递增，又，
因此存在唯一，使得，
所以当时，，
当时，
当时，，当时，
所以函数在递增，在递减，在递增
因此，
由得，则.
所以，
因为，则，所以，
因为，
所以当时，，
所以，解得
所以的取值范围是
66．已知函数在处取得极值．
（1）若对恒成立，求实数的取值范围；
（2）设，记函数在上的最大值为，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由条件求出，然后由可得，然后用导数求出右边对应函数的最小值即可；
（2），令，然后可得存在使得，即，即，然后可得，然后判断出函数的单调性即可.
【详解】
（1）∵，，∴，
由已知，即，即对恒成立，
令，则，
易得在上单调递减，在上单调递增，
∴，即．
（2），
则．
当时，，令，
则，所以在上单调递增．
∵，，
∴存在使得，即，即．
∴当时，，此时；
当时，，此时；
即在上单调递增，在上单调递减，
则．
令，，则，
∴在上单调递增，则，，
∴．∴．
67．已知函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的最大值．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）3.
【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义列方程组，解方程组即可求解.
（Ⅱ）设：，， 将问题转化为，利用导数得出，使得在递减，上递增，进而可得，再由，得出，代入即可求解.
【详解】
解（Ⅰ）由已知：
依题意：
解得：，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
即：
设：，， 原问题转化为
令，
∵
∴在上递增．
又因为
∴存在唯一零点，设为，
，
∴，
∴在递减，上递增
∴
∵，∴，∴
∴，∴
∴的最大值为3，
68．已知函数f(x)=aex-2(a+1).
（1）讨论函数g(x)=f(x)-2.x的单调性；
（2）若不等式(a>0)在x∈(0，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）当时在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）
【分析】
（1）求出函数的导函数，对参数分类讨论，即可求出函数的单调区间；
（2）令，求出函数的导函数，令，利用导数说明的单调性，即可得到，从而求出的最小值， 即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1），定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减，
当时，令，则，
所以时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增；
综上可得：当时在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）令，，，
，
令，则，
所以在上单调递增，
又， 设，
恒成立，
单调递增，
恒成立，
，
所以，
所以存在，使得，
所以时，，即，
所以在上单调递减，
时，，即，
所以在上单调递增，
所以，
又，所以
所以，所以，
因为在上单调递增，
所以，即，
所以，解得，
即.
69．已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，，，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求导，由导数与函数单调性的关系可得在上恒成立，构造新函数求出即可得解；
（2）转化条件为对于任意恒成立，构造新函数，结合导数确定即可得解.
【详解】
（1）由题意，，
∵在上单调递增，∴在上恒成立，
即在上恒成立，
记，则，
∴在上单调递增，
∴，
∴，即的取值范围为．
（2）由题意得，对任意恒成立，
即对于任意恒成立．
令，则．
设，易知在上单调递增，
且，，
∴，使得，即，
易知在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∵，∴，
又，∴的最大整数为，
∴的最大整数为．
70．已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值．
【答案】(1) 在上单调递减，在上单调递增, 当时，有极小值，无极大值. (2) 1
【分析】
(1) 求出，得到，从而可得在上单调递增，且，得出函数的单的区间和极值.
(2)由题意即存在实数，使得成立，设，即，求出函数的导数，得出其单调区间，结合隐零点的代换，可得答案.
【详解】
（1）由，可得
又恒成立，则在上单调递增，且
所以当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，有极小值，无极大值.
(2) 存在实数，使得成立
即存在实数，使得，即成立
设，即
，
所以在上单调递增. ,
所以存在，使得，即，也即
所以当时，，单调递减.
当时，,单调递增.
所以

当时，
所以，由题意，
所以整数的最小值为1.
71．已知函数，．
（1）当时，求过点（0，0）且与曲线相切的直线方程；
（2）当时，不等式在上恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求出函数的导函数，设切点坐标为，利用导数的几何意义得到切线方程，再根据切线过点，求出参数，再代入计算可得；
（2）依题意参变分离可得在恒成立，令，则，，利用导数研究函数的单调性与最小值，即可求出参数的取值范围，从而求出的最大值．
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，，设切点坐标为，则切线的斜率，故切线方程为，因为切线过点，所以，即，所以，故切线方程为
（2）当时恒成立，即在时恒成立，因为，所以，所以在恒成立，令，，即，，
所以，令，，则，所以在上单调递增，由，，所以存在，使得，所以当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，即，即，所以，所以，因为，，所以，所以的最大值为；
72．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若不等式恒成立，求整数a的最小值．
【答案】（1），无极大值；（2）2.
【分析】
（1）将代入，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，进而求出极值.
（2）不等式等价于在上恒成立，设，利用导数求出的最大值即可求解.
【详解】
解：（1）当时，，
令得（或舍去），
∵当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴，无极大值．
（2），即，
即，
∴，即，
∴原问题等价于在上恒成立，
设，则只需．
由，令，
∵，∴在上单调递增，
∵，
∴存在唯一的，使得，
∵当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
∴，
∴即可．
∴，∴，故整数a的最小值为2
73．已知函数（，为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【分析】
（1）求出导函数，讨论、或，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解.
（2）分离参数不等式等价于在恒成立，设，利用导数求出的最小值即可求解.
【详解】
解：（1），
由得：或．
①当，即，恒成立，在上单调增；
②当，即，则和时，时．
故在区间和上单调增，在区间上单调减；
③当，即，则和时，时．
故在区间和上单调增，在区间上单调减；
（2）恒成立，即在恒成立，
∴在恒成立，
设，则
令，则，，
因此在单调递减，又，
使即
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，又由式得，
，因此即的取值范围为．
74．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）.
【分析】
（1）当时，，求导得，结合定义域由得递增区间，由得递减区间.
（2）依题意得恒成立，令，由导数的单调性可得，即对恒成立，进而可得的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，
当时，，，
由得，，的增区间为，
由得，，的减区间为.
（2）恒成立，即恒成立.
令，则，
令，则，
所以在内单调递增.
因为（），（），
所以，使，
所以，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，
即恒成立，
又因为，所以，所以，
当且仅当，时，等号成立，
所以的取值范围为.
75．已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数在处的切线方程.
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意函数在处的切线的斜率为，根据导数的几何意义即，从而可得答案.
（2）根据题意即对恒成立，设即对恒成立，分三种情况分别求出的单调性，从而得出其最小值，从而得出答案.
【详解】
解：（1）因为，，所以，
又，所以，即.
（2）由，得对恒成立，
即对恒成立，即对恒成立，
设即对恒成立，
①当时，对恒成立，
②当时，，在上为增函数，
当时，，
，不合题意；
③当，设在上为增函数，
又，，
所以使即，
所以，当时，，，为减函数，
当时，，，为增函数，
则当时，
，
所以，因为，所以，
综上.
76．已知函数（），其中，为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的最小整数值．
【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）最小整数值为．
【分析】
（1）根据导数与单调性的关系，结合利用导数求解单调区间的步骤，按照和分类讨论即可解出；
（2）依题可知在上恒成立，设，即，由导函数的单调性以及零点存在性定理可知，存在唯一实数，使得在上单调递增，在上单调递减，从而求得，再利用函数的单调性可求出，即可求得的最小整数值．
【详解】
（1），令，得．
①当，即时，在上恒成立，所以在上单调递减．
②当，即时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减：当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2），即，即在上恒成立．
设，，则，在上为减函数．
又，．因此存在唯一实数，此时在上单调递增，在上单调递减，所以．
因为，所以，．
所以．
因为，所以，即．
因此，即，所以的最小整数值为．
77．已知函数
（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（2）求的单调区间；
（3）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.
【答案】（1）[﹣2，+∞)；（2）答案见解析；（3）3.
【分析】
（1）函数在区间上为增函数，可得在区间上恒成立，参变分离转化为，即可得出．
（2）首先求出的解析式，在求出函数的导函数，最后对参数分类讨论，分别求出函数的单调区间；
（3）依题意不等式在上恒成立，参变分离可得，令，则求出函数的导函数，令．利用导数研究其单调性、函数零点即可得出．
【详解】
解：（1）因为定义域为，所以
∵函数在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
因为在区间上单调递减，所以
∴.
∴a的取值范围是.
（2）因为，所以定义域为，
所以
当时恒成立，所以在上单调递增，即函数的增区间为，无减区间；
当时，令，解得，令，解得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（3）时，，时，不等式在上恒成立，
，
令，则
令
则在上单调递增，
，
存在，使.
即当时即
时即
在上单调递减，在上单调递增.
令，即，
，且，
．
78．已知函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求出函数的定义域以及导数，再根据a≥0，－2＜a＜0，a＝－2，a＜－2分类讨论即可判断函数的单调性；
（2）由分离参数可得，在上恒成立，设，利用导数判断出函数的单调性，求出最小值，即可解出．
【详解】
（1）函数的定义域为，
当a≥0时，由，解得．
令，得，所以在上单调递增；
令，得，所以在上单调递减．
当－2＜a＜0时，由，解得或，且．
令，得，所以在上单调递增；
令，得，所以在上单调递减．
当a＝－2时，，在上单调递増．
当a＜－2时，由，解得或，且．
令，得，所以在上单调递增；
令，得，所以在上单调递减．
（2）恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立．
令，则．
令，则，
所以h（x）在上单调递增，而，
故存在，使得，即，
所以．
令，
所以在上单调递増，所以．
当时，h（x）＜0，即，故g（x）在上单调递减；
当时，h（x）＞0，即，故g（x）在上单调递增．
所以当时，g（x）取得极小值，也是最小值，
，故a≤1.
所以a的取值范围是．
79．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意的，均有，求实数m的最小值．
【答案】（1）减区间为（0，1），增区间为；（2）1.
【分析】
（1）化简函数并求解导函数，进而确定单调区间即可；
（2）运用变量分离法构造新函数转化不等式恒成立问题，进而求解出参数的值.
【详解】
（1）的定义域为，
当时，，则，
当时，，在上 单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以的减区间为（0，1），增区间为；
（2）因为对任意的，恒成立，即恒成立．
令，则，
令，则在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
由，可得，则．
所以，又恒成立，
所以，故m的最小值为l．
80．设函数，.
（1）当时，求方程的根（其中为自然对数的底数）；
（2）求函数的单调增区间；
（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：，）
【答案】（1）或；（2）答案见解析；（3）的最小值为0.
【分析】
（1）代入化简方程得，再根据二次方程和指对关系解方程；
（2）先求函数导数并明确函数定义域：，；再讨论导函数不变号情况：分和，以及三种情况，讨论函数的单调性.
（3）存在性问题，一般转化为对应函数最值问题：，利用导数先求函数最小值，利用导数，以及结合零点存在性定理求的最小值，即可求得的取值范围.
【详解】
解：（1）当时，方程即为，去分母，得
，解得或，
故所求方程的根为或.
（2）因为，
所以
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得.
综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为.
（3）当时，，，
所以，，，
所以存在唯一，使得，即，
当时，，当时，，
所以.
记函数，则在上单调递增，
所以，即，由，且为整数，得，
所以存在整数满足题意，且的最小值为0.
81．已知函数，，.
（1）若函数的图象与直：相切，求实数的值；
（2）若不等式恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先通过求导，得到函数，再根据函数的图象与直：相切，利用导数的几何意义求解；
（2）将不等式恒成立，转化为，恒成立，令，用导数法求其最小值即可.
【详解】
（1）因为函数，，
所以，则，
所以，
因为函数的图象与直：相切，
所以，
解得，则，
解得.
（2）因为不等式恒成立，
所以，恒成立，
令，
则，
所以在上递增，
又因为，
所以存在唯一实数，使得，即，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以整数的最大值是2.
82．已知函数在处的切线与在处的切线平行.
（1）求；
（2）设，问是否存在，使在上恒成立，若存在，求的个数；若不存在，说明理由.
【答案】
（1）
（2）8
【分析】
（1）求出和的导函数，利用可得答案；
（2）将原不等式转化为在上恒成立，令，求出其导函数，再对其导函数再次求导，最终可得的单调性，求出最值，进而得出的范围即可.
（1）
由已知，，
则，
；
（2）
由（1）得
假设存在，使在上恒成立，
即在上恒成立
令，
，令
在上单调递增，
，
使，即
在上单调递减，在上单调递增
，又，
，，又，
的个数为8个.
83．已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上有唯一的极值点，求的取值范围，并证明：．
【答案】（1）；（2）；证明见解析．
【分析】
（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线方程；
（2）根据极值点的导数为0求出的取值范围；根据极值点得到，通过构造函数，，利用函数的单调性证明即可.
【详解】
（1）当时，，，
则，又，
曲线在点处的切线方程为，即．
（2），
令，
在区间上有唯一的极值点，
又，所以只需，解得，
由，得，即，
，．
令，，
，即在上单调递增，且，
，
．
84．已知，.
（1）判断的奇偶性，并加以证明；
（2）当时，判断的零点的个数，并证明你的结论.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）有个零点，证明见解析.
【分析】
（1）利用奇函数的定义直接判断即可；
（2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可得出结论.
【详解】
（1）因为函数的定义域为，
且，，所以是奇函数.
（2）由（1）可知是的一个零点，且
令，记，则.
考虑函数，
当时有，因此在上有且只有一个实根.因此，是在上的唯一零点，且在上为减函数，上为增函数.
注意到当时，且，
因此在上有唯一零点.
结合为奇函数可知，在上也有且仅有一个零点.
综上所述，当时，有个零点.
85．已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；
(2)将原不等式变形为，设，构造函数
，即，根据导数研究函数m(t)的最小值和零点的存在性定理可得(当且仅当时“=”成立)，求出即可.
【详解】
（1）因为，所以
因为，所以，
所以切线方程为
（2）由题意得，即，
因为，所以
设，
设.
考察函数，因为，
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增.
所以，所以.
所以，当且仅当时，“=”成立
以下证明：存在，使得.
因为在单调递增，，，
所以存在，使得，故，
当且仅当时，“=”成立
所以当时，.
又因为，所以当时，.
故a的取值范围是.
86．已知函数.
（1）当时，讨论函数的零点存在情况；
（2）当时，证明：当时，.
【答案】（1）两个零点；（2）证明见解析.
【分析】
(1)将代入可得，求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解；
(2)根据已知条件构造函数，证明在时恒成立即可得解.
【详解】
(1)当时，，显然，即1是的一个零点，
求导得，在上单调递增，且，
则在上存在唯一零点，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，而，，
从而得在上函数存在一个零点，
所以函数存在两个零点；
(2)令，，则，由(1)知在上单调递增，且在上存在唯一零点，即，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因此，，即，则，
而，有，于是得，
所以当，时，.
87．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求整数k的最大值.
【答案】
（1）答案见解析；
（2）1.
【分析】
（1）求出函数导数后，分三种情况讨论，即可求解函数单调区间；
（2）分离参数可得对于恒成立，令，利用导数求出函数，分析出，即可求出整数k的最大值.
（1）
由得.
当时，，故在上单调递增；
当时，令，解得.
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，，故在上单调递减.
（2）
原不等式等价于对于恒成立.
令，则.
令，则，所以在上单调递增.
又，，
所以存在，使得，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，
所以，所以，
经验证时，恒成立，所以整数k的最大值为1.
88．已知函数，曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求函数的单调区间.
（2）设直线l为函数的图象在点处的切线，问：在区间上是否存在，使得直线l与函数的图象也相切？若存在，求出满足条件的个数；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）单调递增区间为和，无单调递减区间
（2）存在，满足条件的只有一个.
【分析】
（1）由题知，可得，代入导函数，分析正负即可；
（2）设直线与曲线相切于点，由斜率、截距分别相等，可得，构造，求导分析单调性，即可得有唯一零点.
（1）
∵函数（且），
∴.
∵曲线在点处的切线平行于直线，
∴，∴，
∴.
∵且，∴，
∴函数的单调递增区间为和，无单调递减区间.
（2）
在区间上存在唯一个满足条件的.
∵，∴，
∴切线的方程为，
即.①
设直线与曲线相切于点.
∵，∴，∴，
∴直线的方程也可以写成，
即.②
由①②得，∴.
下面证在区间上存在唯一一个满足条件的.
由（1）可知，在区间上单调递增，
又，，
结合零点存在定理，知方程在区间上有唯一的实数根，满足条件的只有一个.
89．己知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线.
【答案】
（1）函数的单调增区间是和
（2）证明过程见详解
【分析】
（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；
（2）先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线的切线的斜率与斜率相等时，证明曲线的切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.
（1）
函数的定义域为，
，
因为函数的定义域为，所以恒成立
因此函数的单调增区间是和
（2）
因为是的一个零点，所以
，所以曲线在处的切线的斜率，
故曲线在处的切线的方程为：
而，
所以的方程为，它在纵轴的截距为.
设曲线的切点为，
令在的切线为，，
所以在处的切线的斜率为，
因此切线的方程为，
当切线的斜率等于直线的斜率时，
即，
切线在纵轴的截距为，
而，所以，
直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，
故曲线在处的切线也是曲线的切线.
90．已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若是函数的极值点，且，求证：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）求导，可得，，即得解；
（2）求导可得导函数与同正负，分，两种情况讨论极值，当时，对求导，分析可得存在，使得，当时，函数的极小值，令，求导分析可得，利用导数分析可得，，代入即得解
（1）
若，则，
∴，
又，，
∴切线的方程为，
即；
（2）
，
∵函数的定义域为，∴，
令，，
①当时，，，在上单调递增，无极值，不符合题意；
②当时，，∴在上单调递增，
当时，，，
∴存在，使得，即，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
∴当时，函数的极小值
，
令，则，
∴在上单调递减，又∵，
∴，
令，
故在单调递增，
故当，有
令，
故在单调递减，
故当，有
∴.
则.
91．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意都有，求实数a的取值范围.
【答案】
（1）单调递增区间单调递减区间
（2）
【分析】
（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）用分离参数法转化为求函数的最大值．引入新函数，求出导函数，对的一部分探究其零点，得函数的最大值点，从而得最大值．
（1）
函数定义域是，
由已知，
时，，时，，
所以单调递增区间，单调递减区间；
（2）
因为对任意都有，即恒成立.
令，则.
令，则在上单调递增，因为，
所以存在使得，
当时单调递增，
当时单调递减.
所以 ，
由于，可得.则，
所以，
又恒成立，所以.
综上所述实数a的取值范围为.
92．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明：.
【答案】
（1）答案不唯一，见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）求出函数导数，根据导数分和两类讨论，即可求出函数单调区间；
（2）原不等式等价于，分析函数有唯一极值点，只需证明即可，结合零点可知，利用均值不等式可知最小值大于0，即可证明.
（1）
由题意知的定义域为.由已知得
当时,在上单调递增,无单调递减区间.
当时,令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）
证明：原不等式等价于，则，
易知在上单调递增，且，
所以在上存在唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增，
要证即要证，由，得,，代入,得，
因为，
所以.
93．已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：.
【答案】
（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）答案见详解
【分析】
（1）对函数求导，并根据与0的大小、导数与0的大小分类讨论函数的单调性；
（2）令所证恒大于0的不等式为，对求导得，再求导得，因为恒大于0，可知单调递增，再根据零点存在定理，可知存在唯一零点使得取得极小值，也是最小值，再证得此最小值大于0即可.
（1）
∵，
当时，恒成立，单调递减.
当时，当，，时，单调递减；当时，单调递增.
∴函数的单调性为：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）
当时，.
设，
则，
令
则，所以在上单调递增，
又∵，
∴存在唯一零点，且①
时，，即，单调递减，
时，，即，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值.
，将①式代入，
则
∵二次函数在上单调递减，
∴在时，有最小值
∴
∴
94．已知函数，，其中.
（1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与函数图象的切线和，求，的斜率之积；
（2）若对上，总有成立，试求实数的最小值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用导数的运算法则和公式求得，.得到切线，的斜率，，根据两切线都经过原点，求得切点横坐标，进而求得两直线的斜率之积;
（2）设函数，通过研究函数的单调性，得出的最小值，根据的最小值大于等于零，构造出关于参数的不等式，从而得出答案.
（1）
依题意知，，，所以，.
设切线，的斜率分别为，，其切点分别为，，
则有解得；同理，有解得.
所以，即所求切线，的斜率之积为.
（2）
由于对上，总有成立，即对，有恒成立.
令（），则.
令（），则有（），
所以函数在区间上为单调递增函数.
因为，所以，，
所以，所以在区间上，存在唯一的实数，使得，
即. ①
所以当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
所以函数在处取得极小值，即最小值，
即.②
又由①得，，所以，所以.则由②得，.
令，所以（），
所以函数在区间上为单调递减函数.
又，因此.所以.
由于，所以，即所求实数的最小值为.
95．已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，求证：当时，.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）求出在上恒成立，分离参数即可求解.
（2）求出，当时，在上单调递增，利用导数与函数单调性之间的关系可得存在，使在上单调递减，在上单调递增，从而可得，令，利用导数即可证明.
（1）
解：由题意，得在上单调递增，
所以在上恒成立，
故，所以实数的取值范围是.
（2）
证明：当时，因为，，
所以在上单调递增.
又因为当时，，，
所以存在使得（*），
且在上单调递减，在上单调递增，
由（*）式可得，，代入上式，得.
由，令，则，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以，所以，
所以当时，，即得证.
96．已知函数．
（1）当时，判断在区间上的单调性；
（2）当时，记的最大值为，求证：．
【答案】
（1）在上单调递减．
（2）证明见解析
【分析】
（1）利用导数研究函数的单调性即可；
（2）由题知，设，进而得在存在唯一零点且的最大值，再结合可得.
（1）
当时，，
设，则，
当时，在上单调递减，
所以，
所以，
所以在上单调递减．
（2）
，
设，则．
当时，的定义域为在上单调递减，
因为
所以．
又因为的图象是不间断的，且在上单调递减，
所以在存在唯一零点，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以的最大值
由得，
所以，从而原命题得证．
97．已知函数．
（1）若对任意，，都有，求实数的取值范围；
（2）若，求证：当时，．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）将问题转化为函数在区间上单调递增，然后根据导数求参数的范围；
（2）对所给的参数根据导函数的正、负临界值进行分类讨论.
（1）
由题意，原不等式可转化为对任意恒成立
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，
故，所以实数的取值范围是．
（2）
证明：当时，因为，，
所以在上单调递增．
①当时，，故在单调递增，
所以．
②当时，，，
故存在使得（*），
且在上单调递减，在上单调递增，
由（*）式可得，，代入上式，得
由，令，则，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以，所以，
所以当时，，即得证．
综上所述，当时，．
98．已知函数，求：
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，总有，求整数的最小值.
【答案】
（1）
（2）-3
【分析】
（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.
（1）
当时，
在点处的切线方程为即
（2）
由题意，，即，即，
又，恒成立.
令，
令，则恒成立.
在上递减，
，
使，即，则，
当时，，当时，
因为，且，，即整数k的最小值为-3
99．设函数，其中.
（1）若是函数的极值点，求a的值；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）当时，设函数，证明：.
【答案】
（1）；
（2）答案见解析；
（3）证明见解析.
【分析】
（1）由题意有，求出的值，检验即可得答案；
（2）令，得或，然后对分：，， 三种情况讨论即可得答案；
（3）令，由，得在上单调递增，又由函数零点存在定理可得存在 ，使，即，，从而可得在上单调递减，在上单调递增，进而可得，从而得证原不等式成立.
（1）
解：，
因为是函数的极值点，所以，解得，
当时，检验符合题意，
所以a的值为；
（2）
解：，，
令，得或，
当时，令，得或，令，得；
当时，恒成立；
当时，令，得或，令，得；
综上，当时，在和单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和单调递增，在上单调递减；
（3）
证明：当时，，
设，
因为，，
所以函数在上单调递增，
又，
所以存在 ，使，即，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，
所以，
从而得证.
100．已知函数在点处的切线平行于x轴．
（1）求实数a，b的值；
（2）讨论函数的零点个数．
【答案】
（1）
（2）函数在上有两个零点.
【分析】
（1）结合导数的几何意义得到，解方程组即可求出结果；
（2）分，，，四段，结合零点存在性定理以及利用导数研究函数的性质即可得出结论.
（1）
因为，所以，
由题意可知，解得，
（2）
由（1）知，所以，
由于，所以当时，，所以在上单调递增，因为时，，而，因此时，，因此函数在上无零点；
则，当时，，则在上单调递减，且，因为，则，由零点存在性知在上存在唯一零点；
当时 ，令，则，所以在上单调递增，且，，由零点存在性定理知存在唯一零点，使得，因此在时单调递减，在时单调递增，且，，，由零点存在性定理知存在唯一零点在上，因此在上存在唯一零点；
当时，，则在上单调递增，且，所以在上无零点；
综上所述：函数在上有两个零点.-
0
+
单调递减
单调递增