新高考数学一轮复习考点练习考向49 二项分布与正态分布（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习考点练习考向49 二项分布与正态分布（含详解），共32页。

A． SKIPIF 1 < 0 越小，该物理量在一次测量中在 SKIPIF 1 < 0 的概率越大
B． SKIPIF 1 < 0 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C． SKIPIF 1 < 0 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D． SKIPIF 1 < 0 越小，该物理量在一次测量中落在 SKIPIF 1 < 0 与落在 SKIPIF 1 < 0 的概率相等
【答案】D
【分析】
由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】
对于A， SKIPIF 1 < 0 为数据的方差，所以 SKIPIF 1 < 0 越小，数据在 SKIPIF 1 < 0 附近越集中，所以测量结果落在 SKIPIF 1 < 0 内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 SKIPIF 1 < 0 的概率与小于 SKIPIF 1 < 0 的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 SKIPIF 1 < 0 的概率与落在 SKIPIF 1 < 0 的概率不同，所以一次测量结果落在 SKIPIF 1 < 0 的概率与落在 SKIPIF 1 < 0 的概率不同，故D错误.
故选：D.
2．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.
【详解】
由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
1.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))
(1)X的取值为0,1,2，…，n.
(2)P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n，p为试验成功的概率)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
2. 二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
3.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．
4.在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
5.解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次．
6.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
7．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
8.二项分布中的概率最值问题
一般地，若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，其中0(1)如果(n＋1)p>n，则当k取n时，P(X＝k)最大．
(2)如果(n＋1)p是不超过n的正整数，则当k＝(n＋1)p－1和(n＋1)p时，P(X＝k)都达到最大值．
(3)如果(n＋1)p是不超过n的非整数，那么当k＝[(n＋1)p]时([(n＋1)p]表示不超过(n＋1)p的最大整数)，P(X＝k)最大．
9.求二项分布的最值的方法：①根据ξ～B(n，p)，列出分布列P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2,3，…，n.②利用比较法(作差或作商)比较P(ξ＝k－1)和P(ξ＝k)的大小．③令P(ξ＝k)－P(ξ＝k－1)≥0或eq \f(Pξ＝k,Pξ＝k－1)≥1，求出k的取值区间，此区间即为P(ξ＝k)的单调增区间，它的补集即为单调减区间．④结合P(ξ＝k)的单调性确定P(ξ＝k)的最大值和对应的k的值．
10.与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
11.求正态曲线的两个方法
(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为eq \f(1,\r(2π)σ)．
(2)待定系数法：求出μ，σ便可．
12.正态分布下2类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
13.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1．
(2)熟记P(μ－σ(3)注意概率值的求解转化：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
③若b<μ，则P(X特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称．
二项分布
1.若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pkqn－k(k＝0,1,2，…，n)
于是得到X的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
(q＋p)n＝Ceq \\al(0,n)p0qn＋Ceq \\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq \\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq \\al(n,n)pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
2.二项分布的期望、方差：
若，则.
若，则．
正态分布
1．正态曲线及其性质
(1)正态曲线：
函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e－eq \f(x－μ2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,\r(2πσ))；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：

甲 乙
2．正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ4．3σ原则
通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
【常用结论】
牢记且理解事件中常见词语的含义：
(1) 、中至少有一个发生的事件为；
(2) 、都发生的事件为；
(3) 、都不发生的事件为；
(4) 、恰有一个发生的事件为；
(5) 、至多一个发生的事件为.
1．（2010·福建·厦门双十中学一模（理））已知三个随机变量的正态密度函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
2．（2021·全国·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．已知随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从二项分布 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．已知随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．已知一组数据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方差是3，则数据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的标准差是 SKIPIF 1 < 0
3．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））随机变量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________
4．（2021·广西桂林·模拟预测（理））已知随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
1．（2021·江苏镇江·一模）若随机变量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））某批零件的尺寸X服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于 SKIPIF 1 < 0 ，则n的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
3．（2021·广东韶关·一模）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，则该射手每次射击的命中率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2020·全国·模拟预测（理））已知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2020·浙江·温州中学模拟预测）袋中有3个白球和i个黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，设摸得黑球的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
6．（2020·浙江·模拟预测）现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，擦出点数大于2的人去打乒乓球.用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记 SKIPIF 1 < 0 ，求随机变量 SKIPIF 1 < 0 的数学期望 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2020·四川·泸县五中二模（理））某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩 SKIPIF 1 < 0 .若已知 SKIPIF 1 < 0 ，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为（ ）
A．0.86B．0.64C．0.36D．0.14
8．（2021·江苏省前黄高级中学模拟预测）为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了 SKIPIF 1 < 0 个这类工程，得到如下数据（单位：天）： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若该类工程的工期 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为样本的平均数和标准差），由于疫情需要，要求在 SKIPIF 1 < 0 天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率约为（ ）
附：若随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2020·全国全国·模拟预测）甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，乙胜的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为 SKIPIF 1 < 0 .现甲、乙进行6局比赛，则甲胜的局数 SKIPIF 1 < 0 的数学期望为______.
10．（2021·四川·简阳市阳安中学二模（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
11．（2019·河南·一模（理））设随机变量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
12．（2021·陕西·模拟预测（理））若随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
13．（2021·山西·太原五中二模（理））在某市 SKIPIF 1 < 0 年 SKIPIF 1 < 0 月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 .已知参加本次考试的全市理科学生约 SKIPIF 1 < 0 人.某学生在这次考试中的数学成绩是 SKIPIF 1 < 0 分，那么他的数学成绩大约排在全市第______名.
（参考数值： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
14．（2019·人大附中北京经济技术开发区学校一模（理））已知表1和表2是某年部分日期天安门升旗时刻表
表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表
表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表
（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；
（2）甲，乙两人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立. 记 SKIPIF 1 < 0 为这两个人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）将表1和表2中的升旗时刻华为分数后作为样本数据（如7:31化为 SKIPIF 1 < 0 ）.记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为 SKIPIF 1 < 0 ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小. （只需写出结论）
15．（2021·海南·三模）某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回答 SKIPIF 1 < 0 道题，第一题为教育心理学知识，答对得 SKIPIF 1 < 0 分，答错得 SKIPIF 1 < 0 分，后两题为学科专业知识，每道题答对得 SKIPIF 1 < 0 分，答错得 SKIPIF 1 < 0 分．
（Ⅰ）若一共有 SKIPIF 1 < 0 人应聘，他们的工作经历评分 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分及以上达标，求进面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；
（Ⅱ）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，后两题答对的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，每道题正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩 SKIPIF 1 < 0 的分布列及数学期望．
附：若随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
1．（2011·湖北·高考真题（理））已知随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2
2．（2008·安徽·高考真题（理））设两个正态分布 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的密度函数图像如图所示．则有
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
3．（2015·山东·高考真题（理））已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．）
A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%
4．（2007·浙江·高考真题（理））已知随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2010·山东·高考真题（理））已知随机变量Z服从正态分布N（0， SKIPIF 1 < 0 ）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=
A．0.477B．0.625C．0.954D．0.977
6．（2010·广东·高考真题（理））已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且 SKIPIF 1 < 0 =0.6826，则p（X>4）=（ ）
A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585
7．（2015·湖南·高考真题（理））在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为
附：若 SKIPIF 1 < 0 ，则，
A．2386B．2718C．3413D．4772
8．（2015·湖北·高考真题（理））设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D．对任意正数 SKIPIF 1 < 0 ，
9．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 SKIPIF 1 < 0 ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 SKIPIF 1 < 0 ，试比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小．（结论不要求证明）
10．（2019·天津·高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 SKIPIF 1 < 0 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 SKIPIF 1 < 0 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 SKIPIF 1 < 0 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 SKIPIF 1 < 0 发生的概率.
11．（2011·天津·高考真题（理））学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 SKIPIF 1 < 0 个白球、 SKIPIF 1 < 0 个黑球；乙箱子里装有 SKIPIF 1 < 0 个白球、 SKIPIF 1 < 0 个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 SKIPIF 1 < 0 个球，若摸出的白球不少于 SKIPIF 1 < 0 个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（I）求在一次游戏中，
（i）摸出 SKIPIF 1 < 0 个白球的概率；（ii）获奖的概率；
（II）求在两次游戏中获奖次数 SKIPIF 1 < 0 的分布列及数学期望 SKIPIF 1 < 0
12．（2017·全国·高考真题（理））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 .
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 SKIPIF 1 < 0 之外的零件数，求 SKIPIF 1 < 0 及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 SKIPIF 1 < 0 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸， SKIPIF 1 < 0 .
用样本平均数 SKIPIF 1 < 0 作为μ的估计值 SKIPIF 1 < 0 ，用样本标准差s作为σ的估计值 SKIPIF 1 < 0 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 SKIPIF 1 < 0 之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
13．（2014·全国·高考真题（理））
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值 SKIPIF 1 < 0 和样本方差 SKIPIF 1 < 0 （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 近似为样本平均数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 近似为样本方差 SKIPIF 1 < 0 .
（i）利用该正态分布，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 SKIPIF 1 < 0 表示这100件产品中质量指标值位于区间 SKIPIF 1 < 0 的产品件数.利用（i）的结果，求 SKIPIF 1 < 0 .
附： SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
1．D
【分析】
根据正态密度函数中 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的意义判断.
【详解】
因为正态密度函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象关于同一条直线对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 的图象的对称轴在 SKIPIF 1 < 0 的图象的对称轴的右边，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 越大，曲线越“矮胖”. SKIPIF 1 < 0 越小，曲线越“瘦高”，
由图象，可知正态密度函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象一样“瘦高”， SKIPIF 1 < 0 的图象明显“矮胖”，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．ACD
【分析】
根据离随机变量的正态分布、二项分布的性质，以及方差和标准差的概念，逐项分析判断即可得解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
由题可知 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，由正态分布的对称性知，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方差 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方差
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 标准差 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确.
故选:ACD.
3． SKIPIF 1 < 0
【分析】
利用二项分布概率公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正态分布的对称性求解 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
∵随机变量服从 SKIPIF 1 < 0 ，符合二项分布，
由二项分布概率公式： SKIPIF 1 < 0 得：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4． SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
∵随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，
∴正态曲线的对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
1．A
【分析】
根据二项分布列式 SKIPIF 1 < 0 ，计算出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用正态分布的特点计算 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．C
【分析】
由正态分布解得每个零件合格的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，由对立事件得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的单调性可解得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即每个零件合格的概率为 SKIPIF 1 < 0
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．
合格零件个数为零个或一个的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：由对立事件得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
3．C
【分析】
设该射手射击命中的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，两次射击命中的次数为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【详解】
设该射手射击命中的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，两次射击命中的次数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题可知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4．D
【分析】
由点到直线距离公式求得k的值，再由二项分布概率公式可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
由题意，知圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查点到直线距离公式，考查二项分布概率公式，属于基础题.
5．A
【分析】
由题意得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 可能的取值为： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 可能的取值为： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，由二项分布分布列求得其相应的期望和方差，比较大小可得选项.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 可能的取值为： SKIPIF 1 < 0 ，则：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 可能的取值为： SKIPIF 1 < 0 ，则：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查二项分布列，求二项分布列的期望和方差，属于中档题.
6．D
【分析】
分别求出每个人去打篮球、打乒乓球的概率， SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值为0，2，4，利用二项分布的概率公式求出 SKIPIF 1 < 0 的分布列即可求得 SKIPIF 1 < 0 的期望值.
【详解】
依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，去打乒乓球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设“这4个人中恰有 SKIPIF 1 < 0 人去打篮球”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ﹐ SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值为0，2，4.
由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互斥﹐ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互斥，故 SKIPIF 1 < 0 ﹐
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列为
随机变量ξ的数学期望 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列与期望、二项分布的概率求解，属于较难题.
7．D
【分析】
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据正态分布的对称性求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得答案.
【详解】
解：因为学生成绩 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
8．A
【分析】
先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正态分布的性质求解.
【详解】
由题得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
9．4
【分析】
根据比赛采用5局3胜制时甲用4局赢得比赛的概率为 SKIPIF 1 < 0 求得每局比赛甲胜的概率 SKIPIF 1 < 0 ，再根据二项分布的有关知识求甲胜的局数 SKIPIF 1 < 0 的数学期望.
【详解】
先因为比赛采用5局3胜制时甲用4局赢得比赛的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
每局比赛甲胜的概率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以每局比赛甲胜的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，乙胜的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
由题意可知，随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从二项分布 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故甲胜的局数 SKIPIF 1 < 0 的数学期望为4.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】
关键点点睛：本题考查二项分布，关键是求出每局比赛甲胜的概率.
10．0.6
【分析】
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.
【详解】
由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可．
11． SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据二项分布数学期望的计算公式可求出 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，利用二项分布概率公式可求得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
本题正确结果： SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题考查二项分布概率公式、数学期望公式的应用问题，属于基础题.
12． SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据正态分布的对称性即可求出答案.
【详解】
因为随机变量X服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，所以正态曲线关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13． SKIPIF 1 < 0
【分析】
分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，计算得出 SKIPIF 1 < 0 的概率，乘以 SKIPIF 1 < 0 可得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 考试的成绩 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
数学成绩为 SKIPIF 1 < 0 分的学生大约排在全市第 SKIPIF 1 < 0 名.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）X的分布列见解析， SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）记事件A为“从表1的日期中随机选出天,这一天的升旗时刻早于7:00”,利用古典概型的概率公式直接计算即可；
（2）列举出X可能的取值，分别求概率，写出分布列，求出数学期望即可；
（3）由题目数据分布的离散程度分析可知： SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
（1）记事件A为“从表1的日期中随机选出天,这一天的升旗时刻早于7:00”,在表1的20个日期中,有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）X可能的取值为0,1,2.
记事件B为“从表2的日期中随机选出一天,这天的升旗时刻早于7:00，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .
所以X的分布列为：
所以 SKIPIF 1 < 0
（3）由题目数据分布的离散程度分析可知： SKIPIF 1 < 0 .
15．（Ⅰ）159；（Ⅱ）分布列见解析，7.9.
【分析】
命题意图 本题考查正态分布的概念和应用，离散型随机变量．
（Ⅰ）由正态分布的性质可求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可估计进入面试的人数．
（Ⅱ）由已知得Y的可能取值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别求得Y取每一个可能的值的概率，得 SKIPIF 1 < 0 的分布列，根据数学期望公式可求得答案.
【详解】
解： （Ⅰ）因为 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此进入面试的人数为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）由题可知，Y的可能取值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 的分布列为：
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
1．C
【分析】
利用正态分布曲线对称性，知对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，再由正态分布曲线的面积是1求解．
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意知图象（如图）的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
2．A
【详解】
根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A．
3．B
【详解】
试题分析：由题意 SKIPIF 1 < 0
故选B．
考点：正态分布
4．A
【详解】
由正态分布的特征得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，选A.
5．C
【详解】
因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以,
所以0.954,故选C.
【命题意图】本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.
6．B
【详解】
试题分析：正态分布曲线关于对称，因为,故选B．
考点：正态分布
7．C
【详解】
试题分析：根据正态分布的性质，，故选C.
考点：1.正态分布；2.几何概型.
【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知识点的基本概念.
8．C
【详解】
由正态密度曲线的性质可知，、的密度曲线分别关于、对称，因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以对任意正数，．
考点：正态分布密度曲线．
9．（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，该校女生支持方案一的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 ,（Ⅲ） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；
（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；
（Ⅲ）先求 SKIPIF 1 < 0 ，再根据频率估计概率 SKIPIF 1 < 0 ，即得大小.
【详解】
（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
该校女生支持方案一的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率为： SKIPIF 1 < 0 ;
（Ⅲ） SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0
【分析】
(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】
(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，从面 SKIPIF 1 < 0 .
所以，随机变量 SKIPIF 1 < 0 的分布列为：
随机变量 SKIPIF 1 < 0 的数学期望 SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
且 SKIPIF 1 < 0 .
由题意知事件 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互斥，
且事件 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，事件 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
11．（I）（i） SKIPIF 1 < 0 ；（ii） SKIPIF 1 < 0 ；（II）见解析
【分析】
（I）（i）摸出三个白球说明甲箱子取 SKIPIF 1 < 0 个白球，乙箱子取 SKIPIF 1 < 0 个白球， SKIPIF 1 < 0 个黑球，根据古典概型概率公式求得结果；（ii）获奖的情况包括摸出 SKIPIF 1 < 0 个白球或 SKIPIF 1 < 0 个白球，根据和事件的概率公式，结合古典概型求得结果；（II）确定 SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值，可知 SKIPIF 1 < 0 ，利用二项分布概率公式计算得到每个取值对应的概率，从而得到分布列；再利用二项分布数学期望计算公式求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
（I）记“在一次游戏中摸出 SKIPIF 1 < 0 个白球”为事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（i） SKIPIF 1 < 0 ，即摸出 SKIPIF 1 < 0 个白球的概率为： SKIPIF 1 < 0
（ii） SKIPIF 1 < 0
即获奖的概率为： SKIPIF 1 < 0
（II）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值为： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的分布列如下：
SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解、和事件概率的求解问题、服从于二项分布的随机变量的分布列与数学期望的求解，是对概率部分知识的综合考查，属于常考题型.
12．（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）依题知一个零件的尺寸在 SKIPIF 1 < 0 之内的概率，可知尺寸在 SKIPIF 1 < 0 之外的概率为0.0026，而 SKIPIF 1 < 0 ，进而可以求出 SKIPIF 1 < 0 的数学期望.
（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 SKIPIF 1 < 0 之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；
（ii）计算 SKIPIF 1 < 0 ，剔除 SKIPIF 1 < 0 之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为 SKIPIF 1 < 0 的估计值，剔除 SKIPIF 1 < 0 之外的数据，剩下数据的样本方差，即为 SKIPIF 1 < 0 的估计值.
【详解】
（1）抽取的一个零件的尺寸在 SKIPIF 1 < 0 之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在 SKIPIF 1 < 0 之外的概率为0.0026，
故 SKIPIF 1 < 0 .
因此 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的数学期望为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在 SKIPIF 1 < 0 之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 SKIPIF 1 < 0 之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 的估计值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的估计值为 SKIPIF 1 < 0 ，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 SKIPIF 1 < 0 之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 SKIPIF 1 < 0 之外的数据 SKIPIF 1 < 0 ，
剩下数据的平均数为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的估计值为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
剔除 SKIPIF 1 < 0 之外的数据 SKIPIF 1 < 0 ，
剩下数据的样本方差为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的估计值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤其是正态分布的 SKIPIF 1 < 0 原则，审清题意，细心计算，属中档题.
13．（I） SKIPIF 1 < 0 ；（II）（i） SKIPIF 1 < 0 ；（ii） SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为 SKIPIF 1 < 0 的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）由已知得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间 SKIPIF 1 < 0 的产品件数 SKIPIF 1 < 0 ，故期望 SKIPIF 1 < 0 ．
试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值 SKIPIF 1 < 0 和样本方差 SKIPIF 1 < 0 分别为
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（II）（i）由（I）知， SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间 SKIPIF 1 < 0 的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的 SKIPIF 1 < 0 原则；3、二项分布的期望．
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq \\al(0,n)p0qn
Ceq \\al(1,n)p1qn－1
…
Ceq \\al(k,n)pkqn－k
…
Ceq \\al(n,n)pnq0
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
1月1日
7:36
4月9日
5:46
7月9日
4:53
10月8日
6:17
1月21日
7:31
4月28日
5:19
7月27日
5:07
10月26日
6:36
2月10日
7:14
5月16日
4:59
8月14日
5:24
11月13日
6:56
3月2日
6:47
6月3日
4:47
9月2日
5:42
12月1日
7:16
3月22日
6:16
6月22日
4:46
9月20日
5:59
12月20日
7:31
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
2月1日
7:23
2月11日
7:13
2月21日
6:59
2月3日
7:22
2月13日
7:11
2月23日
6:57
2月5日
7:20
2月15日
7:08
2月25日
6:55
2月7日
7:17
2月17日
7:05
2月27日
6:52
2月9日
7:15
2月19日
7:02
2月28日
6:49
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
SKIPIF 1 < 0
2
2
4
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
X
0
1
2
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0