新高考数学一轮复习考点练习考向45 二项式定理（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习考点练习考向45 二项式定理（含详解），共17页。

A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．32
【答案】D
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式系数之和为 SKIPIF 1 < 0 求解即可
【详解】
SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中所有项的二项式系数之和为 SKIPIF 1 < 0
故选：D
2．（2021·湖南·高考真题） SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项是______．（用数字作答）
【答案】15
【分析】
写出二项展开式的通项，由 SKIPIF 1 < 0 的指数为0求得 SKIPIF 1 < 0 值，则答案可求．
【详解】
解：由 SKIPIF 1 < 0 ．
取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 展开式中常数项为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：15．
1.求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.
（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.
（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
2．解题技巧：
（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ SKIPIF 1 < 0 ，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ SKIPIF 1 < 0 .
1. 二项式定理
(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N*)
2. 二项展开式的通项
Tr+1=an-rbr,它表示第r+1项
3. 二项式系数
，，…，
【知识拓展】
1.=1，=1，=+.
2.= (0≤m≤n).
3.二项式系数先增后减中间项最大.
当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,第项和第项的二项式系数最大,最大值为或.
4.各二项式系数和:+++…+=2n，+++…=+++…=2n-1.
1．（2021·云南大理·模拟预测（理））二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·广西南宁·模拟预测（理））已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）
A．80B．160C．240D．320
3．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）已知多项式 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______， SKIPIF 1 < 0 ______.
4．（2021·上海·模拟预测） SKIPIF 1 < 0 二项展开式中的x的有理项的系数和为______
1．（2021·上海·模拟预测）二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ）
A．4项B．7项C．5项D．6项
2．（2021·辽宁·抚顺市第二中学模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的展开式中，第二项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2021·吉林长春·一模（理）） SKIPIF 1 < 0 展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2021·全国·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．40B．20C．-40D．-20
5．（2021·全国·模拟预测） SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是（ ）
A．10B． SKIPIF 1 < 0 C．5D． SKIPIF 1 < 0
6．（2021·浙江·模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 32，则实数a的值为________；展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为________.
7．（2021·全国·模拟预测）若二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的各项系数和为81，则展开式中的常数项是___________.
8．（2021·上海·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 项的系数和为___________.（结果用数值表示）
9．（2021·全国·模拟预测（理））已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 ___________.
10．（2021·全国·模拟预测（理））已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则非零常数 SKIPIF 1 < 0 的值为________．
11．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学三模（理））若 SKIPIF 1 < 0 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是________．
12．（2021·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式的二项式系数和为128，若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
1．（2020·山东·高考真题）在 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2021·江苏·高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为40，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2020·北京·高考真题）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C． SKIPIF 1 < 0 D．10
4．（2020·全国·高考真题（理）） SKIPIF 1 < 0 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
5．（2019·全国·高考真题（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12B．16C．20D．24
6．（2021·浙江·高考真题）已知多项式 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________， SKIPIF 1 < 0 ___________.
7．（2020·浙江·高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________； SKIPIF 1 < 0 ________．
8．（2021·天津·高考真题）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数是__________．
9．（2020·天津·高考真题）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数是_________．
10．（2019·江苏·高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求n的值；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
1．【答案】B
【分析】
根据多项式乘法法则及排列组合知识即可求解.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 可以看作8个因式 SKIPIF 1 < 0 的乘积，根据多项式乘法法则，展开式中 SKIPIF 1 < 0 项需要从8个因式中取7个 SKIPIF 1 < 0 和1个 SKIPIF 1 < 0 相乘得到，
所以由排列组合的知识有展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
2．【答案】D
【分析】
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，再求得 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式求解.
【详解】
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 展开式中常数项为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
3．【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，利用赋值法可得出 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用赋值法可得出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
4．【答案】255
【分析】
易得 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 为有理数求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为有理数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以x的有理项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：255
1．【答案】D
【分析】
根据二项展开式的通项公式，由 SKIPIF 1 < 0 的指数值为整数即可解出．
【详解】
二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时满足题意，共6项．
故选：D.
2．【答案】C
【分析】
先表示出展开式的通项，再令r=1可求得.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ,
第二项是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
故选：C
3．【答案】B
【分析】
写出展开式的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，即得解
【详解】
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
4．【答案】A
【分析】
由二项式得到展开式通项，进而确定 SKIPIF 1 < 0 的系数.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
5．【答案】B
【分析】
前一个括号内有 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以分两种情况讨论得解.
【详解】
前一个括号内有 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两项，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 展开式第 SKIPIF 1 < 0 项 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 展开式 SKIPIF 1 < 0 系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不能出现 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
6．【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】
先求出 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，可求出a的值，含 SKIPIF 1 < 0 项的系数由 SKIPIF 1 < 0 展开式的常数项加上二次项系数
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
7．【答案】32
【分析】
利用赋值法求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.
【详解】
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据二项展开式的通项公式以及多项式的乘法原理即可解出．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
9．【答案】2
【分析】
写出二项式的展开式公式 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，结合题意即可求出参数a
【详解】
二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项公式为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为常数项为14，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2
10．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据题设二项式分别写出 SKIPIF 1 < 0 的系数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由已知等量关系列方程求参数 SKIPIF 1 < 0 的值即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．【答案】60
【分析】
根据二项式系数之和，可求得n值，求得 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式，令 SKIPIF 1 < 0 ，求得k值，计算即可得答案.
【详解】
根据二项式系数之和为64，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：60
12．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据二项式系数和，可求得n值，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所求即为 SKIPIF 1 < 0 ，根据展开式的通项公式，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得答案.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 的展开式的二项式系数和为128，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
1．【答案】A
【分析】
本题可通过二项式系数的定义得出结果.
【详解】
第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
2．【答案】A
【分析】
写出x2项，进一步即可解出.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．【答案】C
【分析】
首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 SKIPIF 1 < 0 的系数即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的系数为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【点睛】
二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
4．【答案】C
【分析】
求得 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），即可求得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 展开式的乘积为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 形式，对 SKIPIF 1 < 0 分别赋值为3，1即可求得 SKIPIF 1 < 0 的系数，问题得解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）
所以 SKIPIF 1 < 0 的各项与 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项的乘积可表示为：
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，该项中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，该项中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
5．【答案】A
【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】
由题意得x3的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
6．【答案】 SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
根据二项展开式定理，分别求出 SKIPIF 1 < 0 的展开式，即可得出结论.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】
利用二项式展开式的通项公式计算即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【点晴】
本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
8．【答案】160
【分析】
求出二项式的展开式通项，令 SKIPIF 1 < 0 的指数为6即可求出.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：160.
9．【答案】10
【分析】
写出二项展开式的通项公式，整理后令 SKIPIF 1 < 0 的指数为2，即可求出．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
10．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）-32.
【分析】
(1)首先由二项式展开式的通项公式确定 SKIPIF 1 < 0 的值，然后求解关于 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算 SKIPIF 1 < 0 的值即可；
解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到 SKIPIF 1 < 0 的展开式，最后结合平方差公式即可确定 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
解法一：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.