新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练6　利用导数证明问题（含解析）

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(1)若a=1,求b的值;
(2)求证:f(x)≥g(x).
2.(2021·辽宁朝阳一模)已知函数f(x)=ex-asin x-x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0.
(1)求实数a的值;
(2)证明:对∀x∈R,f(x)>0恒成立.
3.(2021·河北石家庄三模)已知函数f(x)=aln x-x2+x+3a.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若00,令f'(x)=0,即-2x2+x+a=0,Δ=1+8a.
当Δ≤0,即a≤-时,f'(x)≤0,
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
当Δ>0,即a>-时,由f'(x)=0,得x1=,x2=,则x1>x2.
①当a≥0时,x1>0,x2≤0,x∈(0,x1)时,f'(x)>0,x∈(x1,+∞)时,f'(x)0,
∴f(x)在区间(0,x2)和(x1,+∞)上单调递减,在区间(x2,x1)上单调递增.
综上所述,当a≤-时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;
当a≥0时,f(x)在区间0,上单调递增,在区间,+∞上单调递减;
当-0,当ln x+30时,由于00,u(x)单调递增,
故u(x)min=u(ln(2a))=2a-2aln(2a)-1≥0.
令h(x)=x-xln x-1,则h'(x)=-ln x.
令h'(x)=0,得x=1,当00,故G(t)在区间(0,+∞)上单调递增,所以G(t)>G(0)=0.
故原不等式成立.
6.证明: (1)f'(x)=ln x-2ax+2,则f'(1)=2-2a,所以切线l的斜率为2-2a.
又f(1)=1-a,所以切线l的方程为y-(1-a)=(2-2a)(x-1),即y=(2-2a)x-,可得当x=时,y=0,故切线l恒过定点,0.
(2)∵x1,x2是f(x)的零点,x2>2x1,且x1>0,x2>0,
∴
∴a=,
即ln(x1x2)+2=.
令t=,则t>2,于是ln(x1x2)+2=,
令g(t)=,则g'(t)=.
令h(t)=t--2ln t,则h'(t)=>0,
∴h(t)在区间(2,+∞)上单调递增,∴h(t)>h(2)=-2ln 2>0,∴g'(t)>0,∴g(t)在区间(2,+∞)上单调递增,
∴g(t)>g(2)=3ln 2,
∴ln(x1x2)+2>3ln 2,即ln(x1x2)>3ln 2-2=ln,
∴x1x2>,
∴(由于x1≠x2,故不取等号).