2025年高考数学一轮复习-考点突破练19-不等式恒成立或有解问题-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-考点突破练19-不等式恒成立或有解问题-专项训练【含解析】，共7页。
(1)讨论函数f(x)零点的个数;
(2)若对∀x>0,xf(x)≤x2-kx-1恒成立,求实数k的取值范围.
2.已知函数f(x)=ex,g(x)=ln x,a∈R.
(1)设h(x)=g(x)-ax2,讨论函数h(x)的单调区间;
(2)求证:对任意正数a,总存在正数x,使得不等式f(x)-1x-10在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上为增函数,
∵f(1)=ln 2-10,
∴f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.
(2)由题意得xln x+xln 2-1≤x2-kx-1在x∈(0,+∞)上恒成立,
即k≤x-ln x-ln 2在x∈(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=x-ln x-ln 2,x∈(0,+∞),所以g'(x)=1-1x=x-1x.
令g'(x)=0⇒x=1,∴g'(x)>0⇒x>1,g'(x)0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,由h'(x)=0可得x=2a2a,
∴x∈0,2a2a,h'(x)>0,h(x)单调递增,x∈2a2a,+∞,h'(x)0时,h(x)的单调递增区间为0,2a2a,单调递减区间为2a2a,+∞.
(2)证明 ∵f(x)-1x-1=ex-x-1x,令v(x)=ex-x-1,x>0,则v'(x)=ex-1>0,
∴v(x)在(0,+∞)上单调递增,∴v(x)>v(0)=0,即f(x)-1x-1>0,
∴f(x)-1x-10,F(x)在[0,x0)上单调递增,
故当0≤x0对任意的x≥1恒成立,
故函数m(x)在[1,+∞)上为增函数,则m(x)≥m(1)=5,
即h'(x)>0对任意的x≥1恒成立,则函数h(x)为增函数.
因为h32=-4516+2ln320,
所以存在t∈32,2,使得h(t)=g'(t)=12t3-t+2ln t-3=0,
当x∈(1,t)时,g'(x)0对任意的t∈32,2恒成立,故函数φ(t)在32,2上为增函数,故φ32