2025年高考数学一轮复习-考点突破练7-空间中的平行与垂直-专项训练【含解析】

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2.小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
(1)证明:EF∥平面ABCD;
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
3.如图,△ABC是边长为2的等边三角形,E,F分别为AB,AC边的中点,将平面AEF沿EF折叠,M为线段EF的中点.
(1)设平面PBE与平面PCF相交于直线l,求证:l⊥BC;
(2)平面AEF沿EF折叠过程中,当∠PMA=π3时,求四棱锥P-BCFE的体积.
4.如图,平面五边形ABCDE中,∠B=∠BAD=∠E=∠CDE=90°,CD=DE=EA=2,将△ADE沿AD折叠,得四棱锥P-ABCD.
(1)证明:PC⊥AD;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求点B到平面PCD的距离.
考点突破练7 空间中的平行与垂直
1.证明 选①②,证明③.
取线段PD的中点M,连接ME,FM.
因为F为线段AB的中点,E为线段PC的中点,
所以ME∥CD,ME=12CD,FB∥CD,FB=12CD,则ME∥FB,ME=FB,所以四边形MEBF是平行四边形,则BE∥MF.因为BE⊄平面PDF,MF⊂平面PDF,所以BE∥平面PFD.
选②③,证明①.
取线段PD的中点M,连接ME,FM.
因为E为线段PC的中点,
所以ME∥CD,ME=12CD.
因为FB∥CD,所以ME∥FB,
即平面MEBF∩平面PDF=FM.
因为BE∥平面PFD,所以BE∥MF,所以四边形MEBF是平行四边形,则BF=ME.
因为ME=12CD=12AB,所以BF=12AB,
即F是AB的中点.
选①③,证明②.
取线段CD的中点N,连接BN,EN,所以DN∥FB,且DN=FB,即四边形BFDN是平行四边形,则BN∥DF.
因为BN⊄平面PDF,DF⊂平面PDF,所以BN∥平面PDF.因为BE∥平面PDF,BN∩BE=B,所以平面PDF∥平面BEN.又EN⊂平面BNE,所以EN∥平面PDF.因为EN⊂平面PDC,平面PDC∩平面PDF=DP,所以EN∥PD.
因为N是线段CD的中点,所以E是线段PC的中点.
2. (1)证明 过点E作EE'⊥AB于点E',过点F作FF'⊥BC于点F',连接E'F'.∵底面ABCD是边长为8的正方形,△EAB,△FBC均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直,
∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD,且EE'=FF',
∴四边形EE'F'F是平行四边形,则EF∥E'F'.∵E'F'⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.
(2)解 过点G,H分别作GG'⊥CD,HH'⊥DA,交CD,DA于点G',H',连接F'G',G'H',H'E',AC.由(1)及题意可知,G',H'分别为CD,DA的中点,EFGH-E'F'G'H'为长方体,故该包装盒由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成.∵底面ABCD是边长为8的正方形,∴AC=82+82=82(cm),E'F'=H'E'=12AC=42(cm),EE'=AEsin 60°=43(cm),
∴该包装盒的容积为V=VEFGH-E'F'G'H'+4VA-EE'H'H=E'F'×E'H'×EE'+4×13×SEE'H'H×14AC=42×42×43+4×13×42×43×22=64033(cm3).
3.(1)证明 如图,连接PA,PM,AM,
∵△ABC为等边三角形,M为EF的中点,∴EF⊥AM,EF⊥PM.
∵PM∩AM=M,∴EF⊥平面PMA.
∵E,F分别为AB,AC边的中点,
∴EF∥BC,∴BC⊥平面PMA.
∵A∈BE,A∈CF,∴A∈平面PBE,A∈平面PCF,
∴PA即为平面PBE与平面PCF的交线l,
∴l⊂平面PMA,∵BC⊥平面PMA,∴l⊥BC.
(2)解 ∵EF⊂平面AEF,EF⊥平面PMA,∴平面PMA⊥平面AEF.∴点P到底面AEF的距离即为点P到AM的距离,设点P到AM的距离为h,∵∠PMA=π3,∴h=PMsinπ3=32×32=34,∴四棱锥P-BCFE的体积V=13×12×(1+2)×32×34=3316.
4. (1)证明 取AD的中点O,连接PO,CO.
因为DE=EA=2,即PA=PD=2,
所以AD⊥PO.
因为∠APD=90°,
所以DO=12DA=12PA2+PD2=12×2=1.因为∠CDE=90°,∠PDA=45°,所以∠ADC=45°.
又CD=2,所以AD⊥CO.因为PO∩CO=O,PO⊂平面POC,CO⊂平面POC,所以AD⊥平面POC.因为PC⊂平面POC,所以AD⊥PC.
(2)解 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,PO⊥AD,所以PO⊥平面ABCD.又CD=2,则AB=BC=1.则VP-BCD=13S△BCD·PO=13×12×BC×AB×PO=16.因为PC=PO2+OC2=2,则△PCD是正三角形,所以S△PCD=34·PC2=32.
设点B到平面PCD的距离为h,由VB-PCD=VP-BCD,得13×32h=16,得h=33,即点B到平面PCD的距离为33.