2025年高考数学一轮复习-4.4.2-导数的函数零点问题-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-4.4.2-导数的函数零点问题-专项训练【含答案】，共4页。试卷主要包含了已知函数f=ex-a，已知函数f=ln-axx+2等内容，欢迎下载使用。
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为16x+2y-17=0,求实数a的值;
(2)若a>0,函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点,求实数a的取值范围.
2.已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
3.(2023苏州期末)已知函数f(x)=ln(x+1)-axx+2.
(1)若x≥0时,f(x)≥0,求实数a的取值范围;
(2)讨论f(x)的零点个数.
4.已知函数f(x)=cs x-aex+x(a∈R).
(1)当a=1时,证明:f(x)在区间(0,2π)上不存在零点.
(2)若00,则只需直线y=12a2与函数g(x)=lnxx2的图象有两个不同的交点.g'(x)=1x·x2-2xlnxx4=1-2lnxx3,由g'(x)>0得1-2ln x>0,解得00,f(x)单调递增.故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)解法一:
f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故f(x)至多存在一个零点,不符合题意,舍去.当a>0时,由f'(x)=0,解得x=ln a,所以当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)0,当x>-1时,h'(x)-2时,h(x)=x+2ex>0,当x→+∞时,h(x)=x+2ex→0,画出h(x)的图象,如图所示,
结合图象可知:
当1a>e时,直线y=1a与曲线h(x)=x+2ex没有交点;
当1a=e或1a0,故-10,而f(x)在(x2,+∞)上单调递增,且f'(x2)=0,而g(ea-1)>0,所以ea-1>x2,所以f(x)在(x2,+∞)上存在1个零点.从而f(x)在(-1,+∞)上存在3个零点.
综上所述,当a≤2时,f(x)存在1个零点;当a>2时,f(x)存在3个零点.
4.解 (1)当a=1时,因为f'(x)=-sin x-ex+1,所以当x∈(0,π)时,有sin x>0,ex>1,从而f'(x)0,所以h(a)在(0,1)上单调递增,从而h(a)0,故f(x)在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(ln a)=a-aln a.当00,故g(x)在1a,+∞上为单调递增,故g(x)min=g1a=1-ln1a.因为f(x)=ex-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值,故1-ln1a=a-aln a,整理得到a-11+a=ln a,其中a>0.设h(a)=a-11+a-ln a,a>0,则h'(a)=2(1+a)2−1a=-a2-1a(1+a)2≤0,故h(a)在(0,+∞)上单调递减,而h(1)=0,故h(a)=0的唯一解为a=1,故1-a1+a=ln a的解为a=1.综上,a=1.
(2)由(1)得f(x)=ex-x,g(x)=x-ln x,且f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)min=g(x)min=1.当直线y=b与曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同交点时,设三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,且x1