2025年高考数学一轮复习-课时作业10 全概率公式【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-课时作业10 全概率公式【含解析】，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．5张卡片上分别标有数字1,2,3,4,5，每次从中任取一张，连取两次，若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,4)
2．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为eq \f(3,4)；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为eq \f(1,4).若他第1球投进的概率为eq \f(3,4)，则他第2球投进的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(5,8)
C.eq \f(7,16) D.eq \f(9,16)
3．学校有A，B两个餐厅，如果王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是eq \f(3,4)，如果他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是eq \f(1,4).如果王同学早餐在A餐厅用餐的概率是eq \f(3,4)，那么他午餐在B餐厅用餐的概率是( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(5,8)
C.eq \f(7,16) D.eq \f(9,16)
4．甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(13,24)
C.eq \f(5,12) D.eq \f(7,12)
5．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区的总人数比为253，而三个地区感染此病的比例分别为6%,4% ,3%.现从这三个地区任意抽取一个人，则此人感染此病的概率是( )
A．0.041 B．0.045
C．0.032 D．0.046
6．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．有两人依次随机从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(19,49)
C.eq \f(20,49) D.eq \f(2,5)
7．英国数学家贝叶斯(1701—1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，eq \x\t(A)(A的对立事件)存在如下关系：P(B)＝P(B|A)·P(A)＋P(B|eq \x\t(A))·P(eq \x\t(A))．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性，该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为( )
A．0.068 8 B．0.019 8
C．0.049 D．0.05
8．(多选题)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%.则( )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
二、填空题
9．12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，则先取1件为次品的概率为 .
10．从数字1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2)＝ .
三、解答题
11．有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品，第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从这箱中先后取出两件零件，试求：
(1)第一次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的仍然是一等品的概率．
12．有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，一个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区分．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？
13．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为235，将三家产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
14．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )
A．0.8 B．0.532
C．0.482 5 D．0.312 5
15．设盒中装有5只灯泡，其中3只是好的，2只是坏的，现从盒中随机地摸出两只，并换进2只好的之后，再从盒中摸出2只，则第二次摸出的2只全是好的的概率为 .
16．设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率．
课时作业10 全概率公式【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．5张卡片上分别标有数字1,2,3,4,5，每次从中任取一张，连取两次，若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( B )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,4)
解析：设Bk表示事件“从5张卡片中取出一张标有数字k的卡片”，k＝1,2,3,4,5.A表示事件“第二次取出的卡片上的数字大于第一次卡片上的数字”，则P(Bk)＝eq \f(1,5)，
P(A|Bk)＝eq \f(5－k,4)(k＝1,2,3,4,5)，所以P(A)＝
eq \i\su(k＝1,5,P)(Bk)P(A|Bk)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)×(4＋3＋2＋1)＝eq \f(1,2).
2．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为eq \f(3,4)；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为eq \f(1,4).若他第1球投进的概率为eq \f(3,4)，则他第2球投进的概率为( B )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(5,8)
C.eq \f(7,16) D.eq \f(9,16)
解析：记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2球投进”，P(B|A)＝eq \f(3,4)，P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,4)，P(A)＝eq \f(3,4)，由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(5,8).故选B.
3．学校有A，B两个餐厅，如果王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是eq \f(3,4)，如果他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是eq \f(1,4).如果王同学早餐在A餐厅用餐的概率是eq \f(3,4)，那么他午餐在B餐厅用餐的概率是( A )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(5,8)
C.eq \f(7,16) D.eq \f(9,16)
解析：设事件A1表示“早餐去A餐厅用餐”，事件B1表示“早餐去B餐厅用餐”，事件A2表示“午餐去A餐厅用餐”，事件B2表示“午餐去B餐厅用餐”，且P(A1)＋P(B1)＝1，根据题意得P(A1)＝eq \f(3,4)，P(B1)＝eq \f(1,4)，P(A2|A1)＝eq \f(3,4)，P(A2|B1)＝eq \f(1,4)，由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,8)，P(B2)＝1－eq \f(5,8)＝eq \f(3,8)，故选A.
4．甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为( B )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(13,24)
C.eq \f(5,12) D.eq \f(7,12)
解析：这道题分两部分，第一部分是取袋子，第二部分是取球．第一部分取袋子，显然，取任何一个袋子的概率是eq \f(1,2)，假设取到甲袋，取白球的概率：eq \f(1,2)×eq \f(5,12)＝eq \f(5,24)，假设取到乙袋，取白球的概率： eq \f(1,2)×eq \f(4,6)＝eq \f(1,3)，则取到白球的概率： eq \f(5,24)＋eq \f(1,3)＝eq \f(13,24).
5．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区的总人数比为253，而三个地区感染此病的比例分别为6%,4% ,3%.现从这三个地区任意抽取一个人，则此人感染此病的概率是( A )
A．0.041 B．0.045
C．0.032 D．0.046
解析：设B＝ “此人感染此病” ，A1，A2，A3分别表示此人选自甲、乙、丙三个地区的事件，由已知，有P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.3，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)
＝0.04，P(B|A3)＝0.03 ，由全概率公式有P(B)＝ P(A1)P(B|A1) ＋ P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.2×0.06＋0.5×0.04＋0.3×0.03＝0.041.
6．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．有两人依次随机从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( D )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(19,49)
C.eq \f(20,49) D.eq \f(2,5)
解析：设B＝“第二个人取得黄球”，A1＝“第一个人取得黄球”，A2＝“第一个人取得白球”．因P(A1)＝eq \f(C\\al(1,20),C\\al(1,50))＝eq \f(2,5)，P(A2)＝eq \f(C\\al(1,30),C\\al(1,50))＝eq \f(3,5)，P(B|A1)＝eq \f(C\\al(1,19),C\\al(1,49))＝eq \f(19,49)，P(B|A2)＝eq \f(C\\al(1,20),C\\al(1,49))＝eq \f(20,49)，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq \f(2,5).
7．英国数学家贝叶斯(1701—1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，eq \x\t(A)(A的对立事件)存在如下关系：P(B)＝P(B|A)·P(A)＋P(B|eq \x\t(A))·P(eq \x\t(A))．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性，该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为( A )
A．0.068 8 B．0.019 8
C．0.049 D．0.05
解析：设“用该试剂检测呈现阳性”为事件B，“被检测者患病”为事件A，“未患病”为事件eq \x\t(A)，则P(B|A)＝0.99，P(A)＝0.02，P(B|eq \x\t(A))＝0.05，P(eq \x\t(A))＝0.98，故所求概率P(B)＝0.99×0.02＋0.05×0.98＝0.068 8.故选A.
8．(多选题)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%.则( ABC )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
解析：P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，由全概率公式得P(S)＝eq \(∑,\s\d4(\(i＝1)),\s\up6(3))P(Di)P(S|Di)＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02.由贝叶斯公式得P(D1|S)＝eq \f(PD1PS|D1,PS)＝eq \f(0.02×0.4,0.02)＝0.4，
P(D2|S)＝eq \f(PD2PS|D2,PS)＝eq \f(0.05×0.18,0.02)＝0.45，
P(D3|S)＝eq \f(PD3PS|D3,PS)＝eq \f(0.005×0.6,0.02)＝0.15.故选ABC.
二、填空题
9．12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，则先取1件为次品的概率为eq \f(2,5).
解析：令A＝“先取的1件为次品”，则P(A)＝eq \f(1,3)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(2,3)，令B＝“后取的2件皆为正品”，则P(B|A)＝eq \f(C\\al(2,8),C\\al(2,11))＝eq \f(28,55)，P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(C\\al(2,7),C\\al(2,11))＝eq \f(21,55)，由贝叶斯公式得P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\x\t(A)PB|\x\t(A))＝
eq \f(\f(1,3)×\f(28,55),\f(1,3)×\f(28,55)＋\f(2,3)×\f(21,55))＝eq \f(2,5).
10．从数字1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2)＝eq \f(13,48).
解析：P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝eq \f(1,4)，由题意，得P(Y＝2|X＝1)＝0，P(Y＝2|X＝2)＝eq \f(1,2)，P(Y＝2|X＝3)＝eq \f(1,3)，P(Y＝2|X＝4)＝eq \f(1,4)，则根据全概率公式得到P(Y＝2)＝P(X＝1)P(Y＝2|X＝1)＋P(X＝2)P(Y＝2|X＝2)＋P(X＝3)P(Y＝2|X＝3)＋P(X＝4)P(Y＝2|X＝4)＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4)))＝eq \f(13,48).
三、解答题
11．有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品，第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从这箱中先后取出两件零件，试求：
(1)第一次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的仍然是一等品的概率．
解：(1)记事件Ai表示“第i次取出的是一等品”(i＝1,2)，事件Bi表示“取到第i箱”(i＝1,2)．用全概率公式，得P(A1)＝P(B1)P(A1|B1)＋P(B2)P(A1|B2)＝eq \f(1,2)×eq \f(20,50)＋eq \f(1,2)×eq \f(18,30)＝0.5.
(2)由题知，
P(A1A2)＝P(B1)P(A1A2|B1)＋P(B2)P(A1A2|B2)
＝eq \f(1,2)×eq \f(20,50)×eq \f(19,49)＋eq \f(1,2)×eq \f(18,30)×eq \f(17,29)≈0.253 413，
所以P(A2|A1)＝eq \f(PA1A2,PA1)＝eq \f(0.253 413,0.5)≈0.506 8.
12．有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，一个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区分．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？
解：设A1＝“从甲袋放入乙袋的是白球”；A2＝“从甲袋放入乙袋的是红球”；B＝“从乙袋中任取一球是红球”；P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(7,12).
13．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为235，将三家产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解：设事件A表示“取到的产品为正品”，事件B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知，P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，
P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
(1)由全概率公式得，P(A)＝eq \i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.
(2)由贝叶斯公式得，P(B1|A)＝eq \f(PB1PA|B1,PA)＝eq \f(0.2×0.95,0.86)≈0.220 9，P(B2|A)＝eq \f(PB2PA|B2,PA)＝eq \f(0.3×0.9,0.86)≈0.314 0，P(B3|A)＝eq \f(PB3PA|B3,PA)＝eq \f(0.5×0.8,0.86)≈0.465 1.
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．
14．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( C )
A．0.8 B．0.532
C．0.482 5 D．0.312 5
解析：设“从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子”的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝eq \i\su(i＝1,4,P)(Ai)·P(B|Ai)
＝0.955×0.5＋0.02×0.15＋0.015×0.1＋0.01×0.05＝0.482 5.
15．设盒中装有5只灯泡，其中3只是好的，2只是坏的，现从盒中随机地摸出两只，并换进2只好的之后，再从盒中摸出2只，则第二次摸出的2只全是好的的概率为0.55.
解析：Ai＝“第一次摸出i只好的”(i＝0,1,2)，A＝“第二次摸出的2只全是好的”，则A＝AA2∪AA1∪AA0，
∵P(A0)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(1,10)，P(A|A0)＝1，
P(A1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝eq \f(3,5)，P(A|A1)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,5))＝eq \f(3,5)，
P(A2)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))＝eq \f(3,10)，P(A|A2)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))＝eq \f(3,10)，
∴第二次摸出的2只全是好的的概率为
P(A)＝P(A2)P(A|A2)＋P(A1)P(A|A1)＋P(A0)·P(A|A0)＝eq \f(3,10)×eq \f(3,10)＋eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,10)＝0.55.
16．设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率．
解：设事件A表示“被诊断为肺结核”，事件C表示“患有肺结核”．由题意得，P(C)＝0.001，P(eq \x\t(C))＝0.999，
P(A|C)＝0.95，P(A|eq \x\t(C))＝0.002.由贝叶斯公式知，P(C|A)＝eq \f(PCPA|C,PCPA|C＋P\x\t(C)PA|\x\t(C))＝eq \f(475,1 474).