2025年高考数学一轮复习-5.2-等差数列-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-5.2-等差数列-专项训练【含解析】，共8页。
C．10D．14
2．在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则eq \f(a8,a2a14) ＝( )
A．－eq \f(3,2)B．－3
C．－6D．2
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知数列{an}中各项均为非负数，a2＝1，a5＝16，若数列{eq \r(an)}为等差数列，则a13＝( )
A．169B．144
C．12D．13
5．跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0．5千米，则他要完成该计划至少需要( )
A．16天B．17天
C．18天D．19天
6．(多选)在等差数列{an}中，其前n项的和是Sn，若a1＝－9，d＝3，则( )
A．{an}是递增数列
B．其通项公式是an＝3n－12
C．当Sn取最小值时，n的值只能是3
D．Sn的最小值是－18
7．(多选)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是( )
A．a10＝0B．S10最小
C．S7＝S12D．S19＝0
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 021，则m＝________．
9．将数列{2n＋1}与{3n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
10．已知数列{an}的前n项和Sn满足an·Sn＝(Sn－1)2．
(1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn－1)))为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
11．(多选)两个等差数列{an}和{bn}，其公差分别为d1和d2，其前n项和分别为Sn和Tn，则下列命题中正确的是( )
A．若{eq \r(Sn)}为等差数列，则d1＝2a1
B．若{Sn＋Tn}为等差数列，则d1＋d2＝0
C．若{anbn}为等差数列，则d1＝d2＝0
D．若bn∈N*，则{aeq \a\vs4\al(bn)}也为等差数列，且公差为d1＋d2
12．已知数列{an}的通项公式an＝11－2n，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则S10＝________．
13．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且对任意正整数n都有eq \f(an＋1,SnSn＋1)＝－1，则Sn＝________．
14．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且an＋2－2an＋1＋an＝4，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(an,n)，n∈N*，求bn的最小值．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，若不等式an＋1≤Sn对任意的n∈N*恒成立，则称数列{an}为“和保值数列”．若{an}是公差为d的等差数列，且{an＋n}为“和保值数列”，则a1的取值范围为( )
A．[0，＋∞)B．[－2，＋∞)
C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)
16．给出以下三个条件：①4a3,3a4,2a5成等差数列；②∀n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝2x－a的图象上，其中a为常数；③S3＝7．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设{an}是一个公比为q(q>0，且q≠1)的等比数列，且它的首项a1＝1，________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝2lg2an＋1(n∈N*)，证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Tn0，可知等差数列{an}为递增数列，A正确；由题设，an＝a1＋(n－1)d＝－9＋3(n－1)＝3n－12，B正确；Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(3n2－21n,2)＝eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))2－\f(147,4),2)，故当n＝3或4时，Sn取最小值且为－18，故C错误，D正确．故选A、B、D．
7．(多选)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是( )
A．a10＝0B．S10最小
C．S7＝S12D．S19＝0
解析：ACD ∵2a1＋3a3＝S6，∴2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d，∴a1＋9d＝0，即a10＝0，A正确；当d0,2n(n＋1)－3≥2×1×2－3>0，
∴bn＋1>bn，即{bn}是单调递增数列．
∴当n＝1时，bn取最小值b1＝1．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，若不等式an＋1≤Sn对任意的n∈N*恒成立，则称数列{an}为“和保值数列”．若{an}是公差为d的等差数列，且{an＋n}为“和保值数列”，则a1的取值范围为( )
A．[0，＋∞)B．[－2，＋∞)
C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)
解析：C 由{an＋n}为“和保值数列”可得an＋1＋n＋1≤na1＋eq \f(nn－1d,2)＋eq \f(nn＋1,2)对任意的n∈N*恒成立，即a1＋nd＋n＋1≤na1＋eq \f(nn－1d,2)＋eq \f(nn＋1,2)对任意的n∈N*恒成立，即eq \f(d＋1,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(3d,2)－\f(1,2)))n－a1－1≥0对任意的n∈N*恒成立，当n＝1时，可得d≤－1；当n≥2
时，不等式eq \f(d＋1,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(3d,2)－\f(1,2)))n－a1－1≥0恒成立，所以eq \f(d＋1,2)≥0，即d≥－1，故d＝－1．则(a1＋1)n－a1－1≥0．即(a1＋1)(n－1)≥0，故a1≥－1，故a1的取值范围为[－1，＋∞)．故选C．
16．给出以下三个条件：①4a3,3a4,2a5成等差数列；②∀n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝2x－a的图象上，其中a为常数；③S3＝7．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设{an}是一个公比为q(q>0，且q≠1)的等比数列，且它的首项a1＝1，________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝2lg2an＋1(n∈N*)，证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Tn0，所以q＝2，所以an＝2n－1．
(2)证明：因为an＝2n－1，所以bn＝2lg22n－1＋1＝2n－1，n∈N*，
则eq \f(1,bnbn＋1)＝eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，所以Tn＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n＋1)))，
因为n∈N*，所以1－eq \f(1,2n＋1)