2025年高考数学一轮复习-1.1.1-集合的含义-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-1.1.1-集合的含义-专项训练【含解析】，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合A中元素满足x≤10，a＝eq \r(2)＋eq \r(3)，则a与集合A的关系是( )
A．a∈AB．a∉A
C．a＝AD．{a}∈A
2．(多选题)下列所给关系正确的是( )
①π∈R；②eq \r(3)∉Q；③0∈N＋；④|－4|∉N＋.
A．①B．②
C．③D．④
3．已知集合A含有1,2两个元素，集合B中的元素(x，y)满足x∈A，y∈A，则B中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3D．4
4．已知集合A含有2,4,6三个元素，且当a∈A时，6－a∈A，则a为( )
A．2B．4
C．0D．2或4
5．已知x，y，z为非零实数，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(z,|z|)＋eq \f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∉MB．2∈M
C．－4∉MD．4∈M
6．已知集合A中的元素x满足x∈Z，且同时对y＝eq \f(12,x＋3)，有y∈Z.则A中的元素个数为( )
A．4B．5
C．10D．12
7．若集合A包含－1,1,2三个元素，集合B中元素满足x∈A，且2－x∉A，则B中所有元素为( )
A．－1B．2
C．－1,2D．1,2
8．已知集合M中的元素满足x＝eq \f(k,2)＋eq \f(1,4)，且k∈Z，N中的元素满足x＝eq \f(k,4)＋eq \f(1,2)，且k∈Z，若x0∈M，则x0与N的关系是( )
A．x0∈NB．x0∉N
C．x0∈N或x0∉ND．不能确定
二、填空题
9．已知集合A中包含1,2两个元素，集合B中包含0,2两个元素，集合C中元素z满足z＝xy，其中x∈A，y∈B，则集合C中所有元素之和为 .
10．已知集合A含有1,4，a三个元素，若实数a满足a2∈A，则实数a的所有可能取值为 .
三、解答题
11．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－3是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
12．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则eq \f(1,1－a)∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
13．由实数－a，a，|a|，eq \r(a2)所组成的集合所含有的元素个数是( )
A．1或2B．2
C．3D．2或4
14．(多选题)已知数集A中的元素a1，a2，…，an(1≤a1A．1,3,4可组成一个“权集”
B．1,2,3,6可组成一个“权集”
C．“权集”中元素可以有0
D．“权集”中一定有元素1
15．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，集合B中的元素可表示为eq \f(a,b)，其中a，b∈A且a≠b，则集合B中元素的个数为 .
16．已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．
(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素．
(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值．
(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围.
2025年高考数学一轮复习-集合的含义-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．已知集合A中元素满足x≤10，a＝eq \r(2)＋eq \r(3)，则a与集合A的关系是( A )
A．a∈AB．a∉A
C．a＝AD．{a}∈A
解析：由于eq \r(2)＋eq \r(3)<10，所以a∈A.
2．(多选题)下列所给关系正确的是( AB )
①π∈R；②eq \r(3)∉Q；③0∈N＋；④|－4|∉N＋.
A．①B．②
C．③D．④
解析：由常见数集的意义知，①②对，③④错，故选AB.
3．已知集合A含有1,2两个元素，集合B中的元素(x，y)满足x∈A，y∈A，则B中元素的个数为( D )
A．1 B．2
C．3D．4
解析：集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个．
4．已知集合A含有2,4,6三个元素，且当a∈A时，6－a∈A，则a为( D )
A．2B．4
C．0D．2或4
解析：集合A中含有3个元素2,4,6，且当a∈A时，6－a∈A，则当a＝2∈A时，6－a＝4∈A，则a＝2；
当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，则a＝4；
当a＝6∈A时，6－a＝0∉A.
综上所述，a＝2或4.故选D.
5．已知x，y，z为非零实数，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(z,|z|)＋eq \f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( D )
A．0∉MB．2∈M
C．－4∉MD．4∈M
解析：当x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M；当x，y，z中有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0，所以0∈M；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4，所以－4∈M.只有选项D正确．故选D.
6．已知集合A中的元素x满足x∈Z，且同时对y＝eq \f(12,x＋3)，有y∈Z.则A中的元素个数为( D )
A．4B．5
C．10D．12
解析：由题意，集合A中的元素满足x是整数，且y是整数，由此可得x＝－15，－9，－7，－6，－5，－4，－2，－1,0,1,3,9.此时y的值分别为－1，－2，－3，－4，－6，－12，12,6,4,3,2,1，符合条件的x共有12个．
7．若集合A包含－1,1,2三个元素，集合B中元素满足x∈A，且2－x∉A，则B中所有元素为( C )
A．－1B．2
C．－1,2D．1,2
解析：当x＝－1时，可得2－(－1)＝3∉A；
当x＝1时，可得2－1＝1∈A；
当x＝2时，可得2－2＝0∉A.
所以B中的元素为－1,2.故选C.
8．已知集合M中的元素满足x＝eq \f(k,2)＋eq \f(1,4)，且k∈Z，N中的元素满足x＝eq \f(k,4)＋eq \f(1,2)，且k∈Z，若x0∈M，则x0与N的关系是( A )
A．x0∈NB．x0∉N
C．x0∈N或x0∉ND．不能确定
解析：因为M中的元素可表示为x＝eq \f(2k＋1,4)且k∈Z，N中的元素可表示为x＝eq \f(k＋2,4)且k∈Z，而2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，所以当x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.
二、填空题
9．已知集合A中包含1,2两个元素，集合B中包含0,2两个元素，集合C中元素z满足z＝xy，其中x∈A，y∈B，则集合C中所有元素之和为6.
解析：因为x∈A，y∈B，所以当x＝1，y＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝2；当x＝2，y＝0时，z＝0；当x＝2，y＝2时，z＝4.由集合中元素的互异性，可知集合C中有3个元素，3个元素的和为6.
10．已知集合A含有1,4，a三个元素，若实数a满足a2∈A，则实数a的所有可能取值为－1，－2,2,0.
解析：∵实数a满足a2∈A，∴a2＝1或a2＝4或a2＝a，
解得a＝－1或a＝1或a＝－2或a＝2或a＝0.
当a＝1时，集合中有两个元素相同，不满足题意；
当a＝－1或a＝±2或a＝0时，满足题意．
∴实数a的所有可能取值为－1，－2,2,0.
三、解答题
11．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－3是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
解：(1)因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，
则a－3＝－5，或2a－1＝－5.
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
12．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则eq \f(1,1－a)∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明：(1)若a∈A，则eq \f(1,1－a)∈A.
∵2∈A，∴eq \f(1,1－2)＝－1∈A.
∵－1∈A，∴eq \f(1,1－－1)＝eq \f(1,2)∈A.
∵eq \f(1,2)∈A，∴eq \f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，eq \f(1,2).
(2)若A为单元素集，则a＝eq \f(1,1－a)，即a2－a＋1＝0，方程无解，∴a≠eq \f(1,1－a)，∴集合A不可能是单元素集．
13．由实数－a，a，|a|，eq \r(a2)所组成的集合所含有的元素个数是( A )
A．1或2B．2
C．3D．2或4
解析：当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，eq \r(a2)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a>0，,－a，a<0，))所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中可能含有一个或两个元素．
14．(多选题)已知数集A中的元素a1，a2，…，an(1≤a1A．1,3,4可组成一个“权集”
B．1,2,3,6可组成一个“权集”
C．“权集”中元素可以有0
D．“权集”中一定有元素1
解析：由于3×4与eq \f(4,3)均不在1,3,4中，故A不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，eq \f(6,2)，eq \f(6,3)都在1,2,3,6中，故B正确；由“权集”的定义可知an>…>a2>a1≥1，故不能有0，故C错误；2,4两数可组成一个权集，故D错误．
15．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，集合B中的元素可表示为eq \f(a,b)，其中a，b∈A且a≠b，则集合B中元素的个数为18.
解析：依题意知a，b的取值情况有：(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)，共20种情况，由于eq \f(1,3)＝eq \f(3,9)，eq \f(3,1)＝eq \f(9,3)，因此，共可得到20－2＝18(个)不同的值．
所以集合B中元素的个数为18.
16．已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．
(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素．
(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值．
(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围.
解：(1)因为1是A的元素，
所以1是方程ax2＋2x＋1＝0的一个根，
所以a×12＋2×1＋1＝0，即a＝－3.
所以方程即为－3x2＋2x＋1＝0，
所以x1＝1，x2＝－eq \f(1,3)，
所以集合A中的其他元素为－eq \f(1,3).
(2)若a＝0，方程化为2x＋1＝0，此时有且仅有一个根x＝－eq \f(1,2)；
若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1，此时集合A中有且仅有一个元素，所以a＝0,1.
(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况：
①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0或a＝1；
②A中一个元素也没有，此时a≠0，且Δ＝4－4a<0，所以a>1.综合①、②知所求a的取值范围是a≥1或a＝0.