2020-2021学年山东省临沂市莒南县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年山东省临沂市莒南县八年级下学期期中数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各曲线中，表示y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若＝x﹣5，则x的取值范围是（ ）
A．x＜5B．x≤5C．x≥5D．x＞5
3．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．＝﹣2B．（2）2＝6C．+＝D．×＝
5．如图，点A表示的实数是（ ）
A．﹣B．C．1﹣D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为（ ）
A．4B．3C．D．2
7．估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
A．5和6B．6和7C．7和8D．8和9
8．a、b、c为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a2＝c2﹣b2
B．a＝3，b＝4，c＝5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是正方形
C．平行四边形的对角线平分一组对角
D．矩形的对角线相等且互相平分
10．如图，▱ABCD对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，若AD＝3.5cm，OE＝2cm，则▱ABCD的周长是（ ）
A．15cmB．14cmC．13cmD．12cm
11．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥CDB．AB＝CDC．AC⊥BDD．AC＝BD
12．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A．1B．C．D．2
13．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2
14．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（ ）
A．1B．C．2D．无法确定
二、填空（每小题3分，共15分）
15．计算：＝ ．
16．最简二次根式与能合并，则x＝
17．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过B作BE⊥AD于点E，已知AB＝5，AD＝7，BE＝4，则OE＝ ．
18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ．
19．如图，已知▱ABCD中，∠BDC＝45°，BE⊥CD于E，DG⊥BC于G，BE、DG相交于H，DG、AB的延长线相交于F，下面结论：①∠A＝∠DHE；②△DCG≌△BCE；③AD＝DH；④DH＝HF；其中正确的结论有 （只填正确结论的序号）．
三、解答题（共7题，共63分）
20．（8分）计算：
（1）；
（2）．
21．（8分）在解决问题：“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”．
∵a＝＝＝+1，
∴a﹣1＝
∴（a﹣1）2＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，
∴3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
（1）化简：；
（2）若a＝，求2a2﹣12a﹣1的值．
22．（7分）如图在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置问船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的结果精确到0.1米参考数据：≈1.414，≈1.732）
23．（8分）汽车在山区行驶过程中，要经过上坡、下坡、平路等路段，在自身动力不变的情况下，上坡时速度越来越慢，下坡时速度越来越快，平路上保持匀速行驶，如图表示了一辆汽车在山区行驶过程中，速度随时间变化的情况．
（1）图中反映哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
（3）汽车遇到了几个上坡路段？几个下坡路段？在哪个下坡路段上所花时间最长？
24．（9分）如图，在矩形ABCD中，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，连接AF、CE．求证：四边形AFCE是菱形．
25．（11分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
26．（12分）如图：正方形OABC置于坐标系中，B的坐标是（﹣4，4），点D是边OA上一动点，以OD为边在第一象限内作正方形ODEF．
（1）CD与AF有怎样的位置关系，猜想并证明；
（2）当OD＝ 时，直线CD平分线段AF；
（3）在OD＝2时，将正方形ODEF绕点O逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），求当C、D、E共线时D的坐标．
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．下列各曲线中，表示y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以A选项符合题意．
故选：A．
【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
2．若＝x﹣5，则x的取值范围是（ ）
A．x＜5B．x≤5C．x≥5D．x＞5
【分析】因为＝﹣a（a≤0），由此性质求得答案即可．
【解答】解：∵＝x﹣5，
∴5﹣x≤0
∴x≥5．
故选：C．
【点评】此题考查二次根式的运算方法：＝a（a≥0），＝﹣a（a≤0）．
3．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义，判断即可．
【解答】解：A、＝，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、＝2，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
4．下列运算正确的是（ ）
A．＝﹣2B．（2）2＝6C．+＝D．×＝
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
【解答】解：A：＝2，故本选项错误；
B：＝12，故本选项错误；
C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，属于基础计算能力的考查，本题较为简单．
5．如图，点A表示的实数是（ ）
A．﹣B．C．1﹣D．
【分析】根据勾股定理可求得正方形的对角线的长为，再根据点A表示的实数a与1的距离为，从而得出点A所表示的数．
【解答】解：设点A所表示的实数为a，
∵边长为1的正方形的对角线的长为，
∴﹣a+1＝，
∴a＝1﹣．
∴点A在数轴上表示的实数是1﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了实数和数轴，勾股定理．解题的关键是明确实数和数轴的关系，能够运用勾股定理计算．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝4，则AB的长为（ ）
A．4B．3C．D．2
【分析】根据平行四边形性质得出AB＝DC，AD∥BC，推出∠DEC＝∠BCE，求出∠DEC＝∠DCE，推出DE＝DC＝AB，得出AD＝2DE，即可求出AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC＝AB，
∵AD＝2AB＝2CD，CD＝DE，
∴AD＝2DE，
∴AE＝DE＝4，
∴DC＝AB＝DE＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，证出DE＝AE＝DC是解决问题的关键．
7．估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
A．5和6B．6和7C．7和8D．8和9
【分析】根据二次根式的运算求出的结果，再估算无理数+3的大小即可．
【解答】解：原式＝+3，
∵3＜＜4，
∴6＜+3＜7，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的运算，估算无理数的大小，掌握二次根式混合运算的法则，算术平方根的定义是正确解答的前提．
8．a、b、c为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a2＝c2﹣b2
B．a＝3，b＝4，c＝5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数）
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：A．若a2＝c2﹣b2，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；
B．若a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；
C．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则最大角∠C＜90°，△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．若a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数），则a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是正方形
C．平行四边形的对角线平分一组对角
D．矩形的对角线相等且互相平分
【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确．
【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴A不正确；
∵对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴B不正确；
∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，
∴C不正确；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键．
10．如图，▱ABCD对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，若AD＝3.5cm，OE＝2cm，则▱ABCD的周长是（ ）
A．15cmB．14cmC．13cmD．12cm
【分析】直接利用平行四边形的性质以及三角形的中位线定理得出AB的长，进而得出答案．
【解答】解：∵▱ABCD对角线AC、BD相交于O点，
∴O为BD的中点，AB＝CD，AD＝BC，
又∵E是AD的中点，
∴EO是△ABD的中位线，
∴AB＝2EO＝4cm，
∴▱ABCD的周长是：2（AD+AB）＝2×（4+3.5）＝15（cm），
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线，正确得出AB的长是解题关键．
11．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥CDB．AB＝CDC．AC⊥BDD．AC＝BD
【分析】根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理解答即可．
【解答】解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，
∴EH＝BD，EH∥BD，FG＝BD，FG∥BD，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当AC⊥BD时，AC⊥EH，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH为矩形，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】根据折叠的性质和角平分线上的任意一点到角的两边距离相等计算．
【解答】解：由已知可得，△ADG≌△A′DG，BD＝5
∴A′G＝AG，A′D＝AD＝3，A′B＝5﹣3＝2，BG＝4﹣A′G
在Rt△A′BG中，BG2＝A′G2+A′B2可得，A′G＝．
则AG＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查折叠的性质，由已知能够注意到△ADG≌△A′DG是解决的关键．
13．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2
【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．
【解答】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，
已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2＝25，
解得x＝1，
故菱形的对角线分别为8cm和6cm，
所以菱形的面积＝×8×6＝24cm2，
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．
14．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（ ）
A．1B．C．2D．无法确定
【分析】由于BD∥CF，以BD为底边，以BD边对应的高为边长计算三角形的面积即可．
【解答】解：过C点作CG⊥BD于G．
∵CF是∠DCE的平分线．
∴∠FCE＝45°．
∵∠DBC＝45°．
∴CF∥BD．
∴CG等于△PBD的高．
∵BD＝2．
∴CG＝1．
∴△PBD的面积等于．
故选：A．
【点评】考查了三角形面积公式以及代入数值求解的能力，注意平行线间三角形同底等高的情况．
二、填空（每小题3分，共15分）
15．计算：＝ +2 ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝（﹣2）2020×（+2）2020×（+2）
＝[（﹣2）（+2）]2020×（+2）
＝1×（+2）
＝+2．
故答案为：+2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．
16．最简二次根式与能合并，则x＝ 1
【分析】根据同类二次根式的定义得出关于x的方程，求出x的值即可．
【解答】解：∵最简二次根式与能合并，
∴与是同类二次根式，
∴3﹣x＝3x﹣1，解得x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解答此题的关键．
17．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过B作BE⊥AD于点E，已知AB＝5，AD＝7，BE＝4，则OE＝ 2 ．
【分析】先由勾股定理分别求得AE和BD的长，再由平行四边形的性质得出O为BD的中点，然后利用直角三角形的斜边中线性质得出OE的长即可．
【解答】解：∵BE⊥AD，AB＝5，BE＝4，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝3，
∵AD＝7，
∴ED＝AD﹣AE＝4，
∴在Rt△DBE中，由勾股定理得BD＝＝4，
∵在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴O为BD的中点，
∴OE＝BD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 2 ．
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．
【解答】解：连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB＝4，E是BC的中点，
∴CE＝2，
在Rt△CDE中，
DE＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，可确定点P的位置．
19．如图，已知▱ABCD中，∠BDC＝45°，BE⊥CD于E，DG⊥BC于G，BE、DG相交于H，DG、AB的延长线相交于F，下面结论：①∠A＝∠DHE；②△DCG≌△BCE；③AD＝DH；④DH＝HF；其中正确的结论有 ①③ （只填正确结论的序号）．
【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，AD＝BC，由余角的性质可证∠A＝∠C＝∠DHE，故①正确；由“AAS”可证△BCE≌△DHE，故②错误；由全等三角形的性质可得DH＝BC＝AD，故③正确；由DE不一定等于2CE，可推出△BHF与△EHD不一定全等，即FH与HD不一定相等，故④错误；即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，
∵BE⊥CD，DG⊥BC，
∴∠BED＝∠DGC＝90°，
∴∠C+∠CBE＝90°＝∠C+∠GDC，∠C+∠CDG＝90°＝∠CDG+∠DHE，
∴∠CBE＝∠CDG，∠DHE＝∠C，
∴∠A＝∠C＝∠DHE，故①正确；
∵∠BDC＝45°，BE⊥CD，
∴∠BDC＝∠DBE＝45°，
∴BE＝DE，
在△BCE和△DHE中，
，
∴△BCE≌△DHE（AAS），故②错误；
∵△BCE≌△DHE，
∴DH＝BC，CE＝HE，
∴DH＝BC＝AD，故③正确；
∵DE不一定等于2CE，
∴BE不一定等于2HE，
∴BH与HE不一定相等，
∴△BHF与△EHD不一定全等，即FH与HD不一定相等，故④错误；
故答案为：①③．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（共7题，共63分）
20．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）用乘法分配律计算即可；
（2）先算乘除，再算加减．
【解答】解：（1）原式＝80﹣90+20
＝10；
（2）原式＝2﹣3+2
＝2﹣．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的顺序和相关运算的法则．
21．（8分）在解决问题：“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”．
∵a＝＝＝+1，
∴a﹣1＝
∴（a﹣1）2＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，
∴3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
（1）化简：；
（2）若a＝，求2a2﹣12a﹣1的值．
【分析】（1）根据平方差公式计算；
（2）利用分母有理化把a化简，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：（1）＝＝﹣4﹣2；
（2）a＝＝＝3﹣2，
则2a2﹣12a﹣1
＝2（a2﹣6a+9﹣9）﹣1
＝2（a﹣3）2﹣19
＝2（3﹣2﹣3）2﹣19
＝﹣3．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
22．（7分）如图在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置问船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的结果精确到0.1米参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】开始时，AC＝5，BC＝13，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，即可解题．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴AB＝＝12（m），
∵此人以0.5m/s的速度收绳，6 s后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣0.5×6＝10（m），
∴（m），
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣5≈3.3（m），
答：船向岸边移动了大约3.3m．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求6秒后AB的值是解题的关键．
23．（8分）汽车在山区行驶过程中，要经过上坡、下坡、平路等路段，在自身动力不变的情况下，上坡时速度越来越慢，下坡时速度越来越快，平路上保持匀速行驶，如图表示了一辆汽车在山区行驶过程中，速度随时间变化的情况．
（1）图中反映哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
（3）汽车遇到了几个上坡路段？几个下坡路段？在哪个下坡路段上所花时间最长？
【分析】（1）根据变量、自变量、因变量的意义结合具体问题情境进行判断即可；
（2）根据“速度”随着“时间”的变化情况，得出速度保持不变时，所对应的时间段即可；
（3）随着“时间”的增加，“速度”的增减变化情况判断上坡路，下坡路以及所用的时间进行判断即可．
【解答】解：（1）图中反映了速度和时间两个变量之间的关系，时间是自变量，速度是因变量；
（2）由图象的汽车在BC段、EF段、HI段速度不变，
∴汽车在0.2﹣0.4小时保持速度不变，时速为70km/h，
汽车在0.6﹣0.7小时保持速度不变，时速为80km/h，
汽车在0.9﹣1.0小时保持速度不变，时速为70km/h；
（3）汽车处于上坡段，速度逐渐下降，
∴汽车在CD段、FG段，速度随时间的增大而减小，因此是上坡路，所以有2个上坡段；
汽车处于下坡路段，速度逐渐上升，
∴汽车在AB段、DE段、GH段，速度随时间的增大而增大，因此是下坡路，所以有3个下坡路段；
汽车在AB段时间为0.2h，在DE段时间为0.1h，在GH段时间为0.1小时，
∴汽车在AB段所花时间最长．
【点评】本题考查常量和变量，函数的图象，理解“速度随时间的变化而变化的情况”是正确判断的前提．
24．（9分）如图，在矩形ABCD中，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，连接AF、CE．求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】通过O为AC中点证明△EAC≌△FCA，即可得四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线垂直可证菱形．
【解答】解：由题意可知：AO＝CO，AE∥CF，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△EAC和△FCA中，
，
∴△EAC≌△FCA（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴▱AFCE为矩形．
【点评】本题考查菱形的判定，熟练掌握矩形的性质、平行四边形及菱形的判定方法是解题关键．
25．（11分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG＝CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（12分）如图：正方形OABC置于坐标系中，B的坐标是（﹣4，4），点D是边OA上一动点，以OD为边在第一象限内作正方形ODEF．
（1）CD与AF有怎样的位置关系，猜想并证明；
（2）当OD＝ 4﹣4 时，直线CD平分线段AF；
（3）在OD＝2时，将正方形ODEF绕点O逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），求当C、D、E共线时D的坐标．
【分析】（1）证明△COD≌△AOF，可得∠OCD＝∠OAF，根据三角形的内角和定理可得：∠AGD＝∠DOC＝90°，从而得结论；
（2）如图2，根据线段垂直平分线的性质得：AC＝CF，列方程可得结论；
（3）分两种情况：①如图3，当D在第二象限时，过D作DG⊥x轴于G，根据直角三角形30度角的性质可得DG和OG的长，由此得D的坐标；
②如图4，当D在第三象限时，同理可得结论．
【解答】解：（1）CD⊥AF，理由是：
如图1，延长CD交AF于G，
∵四边形OABC和ODEF是正方形，
∴AO＝OC，∠COD＝∠AOF＝90°，OF＝OD，
∴△COD≌△AOF（SAS），
∴∠OCD＝∠OAF，
∵∠ADG＝∠CDO，
∴∠AGD＝∠DOC＝90°，
∴CD⊥AF；
（2）设OD＝x，连接AC，如图2，
当直线CD平分线段AF时，AC＝CF，
∵B的坐标是（﹣4，4），
∴AC＝4，
∴4＝4+x，
x＝4﹣4，
则当OD＝4﹣4时，直线CD平分线段AF；
故答案为：4﹣4；
（3）分两种情况：
①如图3，当D在第二象限时，过D作DG⊥x轴于G，
∵C、D、E共线，
∴∠CDO＝∠ODE＝90°，
Rt△ODC中，OD＝2，OC＝4，
∴∠OCD＝30°，CD＝2，
∴DG＝CD＝，CG＝3，
∴OG＝4﹣3＝1，
∴D（﹣1，），
②如图4，当D在第三象限时，过D作DG⊥x轴于G，
同理得：OG＝1，DG＝，
∴D（﹣1，﹣），
综上，点D的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定及运用，直角三角形30度角的性质，点的坐标的求法，综合性比较强，需要学生对所学知识进行系统的掌握．