贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知，且，则， 已知点关于直线对称的点在圆， 已知函数，， 若随机变量，且，则， 已知，椭圆等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的最小正周期为（ ）
A B. C. 2D. 1
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ）

A. B. C. D.
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点关于直线对称的点在圆：上，则（ ）
A. 4B. C. D.
8. 已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若随机变量，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，椭圆：，：的离心率分别为，.若，则的值可能为（ ）
A B. C. D.
11. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（ ）
A. ，，，四点共面
B. 在方向上的投影向量为
C.
D. 直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则______.
13. 的展开式中的系数为______.
14. 对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的取值范围；
（2）若，且，求值.
16. 已知奇函数在处取得极大值16.
（1）求解析式；
（2）求经过坐标原点并与曲线相切的切线方程.
17. 如图，在四面体中，.若从直线，，，中任选两条，则它们互相垂直概率为.
（1）证明：平面；
（2）若四面体的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为.
（1）求的方程；
（2）若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围.
19. 已知数列an的前项和为，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，则称an为“型”数列.
（1）若，且an为“型”数列，求的最小值；
（2）若an为“3型”数列，且，设的所有可能值个数为，证明：.高三数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用共轭复数的定义计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数函数的定义域与单调性可求得集合A，再结合交集的概念即可得答案.
【详解】因为，所以.
故选：C.
3. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦函数与正切的函数的周期即可直接判断.
【详解】因为函数与的最小正周期分别为，，
所以的最小正周期为.
故选：A.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数的性质判定大小即可.
【详解】由指数函数的性质易得，所以，，故.
故选：D
5. 如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆台的表面积公式求解即可.
【详解】由题可知，该旋转体为上底面半径，下底面半径，母线长的圆台，
则该圆台的表面积.
故选：C.
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角公式结合角的余弦值确定角的范围计算即可.
【详解】因为，，所以，
则，
则.
故选：A
7. 已知点关于直线对称的点在圆：上，则（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可.
【详解】设，则，解得，.
因为在上，所以，解得.
故选：B
8. 已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，利用导数含参讨论该函数的单调性计算即可.
【详解】令，
则.
若，则在上恒成立，则在上单调递减，
则，不符合题意.
若，则当时，，单调递减，
则，不符合题意.
若，则在上恒成立，则在上单调递增，
即，符合题意.
故的取值范围为.
故选：D
【点睛】思路点睛：通过构造函数，直接求导含参讨论函数的单调性，结合端点值，排除的情况即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若随机变量，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二项分布的性质及期望、方差公式计算一一判定选项即可.
【详解】因为，所以，
整理得，解得，
则，，.
故选：AC
10. 已知，椭圆：，：的离心率分别为，.若，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】分别根据椭圆方程，结合分类讨论思想得出，，再由得出的等量关系式，求解即可得出答案.
【详解】若，则，，则，
解得.
若，则，，则，
解得或（舍去）.
若，则，，，方程无解.
故选：AB.
11. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（ ）
A. ，，，四点共面
B. 在方向上的投影向量为
C.
D. 直线与所成角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D.
【详解】对于A，在上取点，使得，连接，
因为，所以四边形为平行四边形，
可得，
因为，所以四边形为平行四边形，
可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确；
对于B，因为平行六面体棱长均为2，、、两两所成夹角均为，
所以，则
，
则，
，故B正确；
对于C，，
，
则，故C不正确；
对于D，故
，
故直线与所成角的余弦值为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：求向量模长解题的关键点是先对所求向量进行线性运算，再平方计算.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则______.
【答案】3
【解析】
【分析】利用平面向量平行的坐标表示计算即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：3
13. 的展开式中的系数为______.
【答案】8
【解析】
【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式可得答案.
【详解】由二项式定理可得，
该展开式中系数为，的系数为，
故的展开式中的系数为：
.
故答案：8.
14. 对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用赋值法先判定的周期性，化，再利用赋值法计算即可.
【详解】令，得，则或（与矛盾舍去）.
令，得，则，
则，则，则.
又因为，所以，则，
从而.
故答案为：2
【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题通常用赋值法，通过巧妙赋值先判定的周期性，再利用赋值法计算函数值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的取值范围；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可求出可得答案；
（2）由两角和的正弦展开式化简，再由及的范围求出可得答案.
【小问1详解】
由余弦定理可知.
因为，所以，
则的取值范围为；
【小问2详解】
.
由，
得，
由（1）可知，所以，
则，解得，
则.
16. 已知奇函数在处取得极大值16.
（1）求的解析式；
（2）求经过坐标原点并与曲线相切的切线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由是奇函数求得，再结合在处取得极大值16构成方程组即可求得a和c，则解析式可求；
（2）先设切点坐标为，再结合导数的几何意义即可求出切线方程.
【小问1详解】
因为是奇函数，所以f−x=−fx，
即，则，
从而，.
因为在处取得极大值16，
所以解得
经检验知此时在处取得极大值，
故.
【小问2详解】
由（1）可设切点坐标为，则，
切线方程为.
因为切线经过坐标原点，所以，解得，
故经过坐标原点并与曲线y=fx相切的切线方程为.
17. 如图，在四面体中，.若从直线，，，中任选两条，则它们互相垂直的概率为.
（1）证明：平面；
（2）若四面体的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由直线，，，中任选两条，它们互相垂直的概率为可得，，，结合线面垂直的判定定理即可得证；
（2）由四面体的体积为可得，过点作，垂足为，证明为直线与平面所成的角即可求得答案.
【小问1详解】
证明：从直线，，，中任选两条，不同的选法共有种，
因为它们互相垂直的概率为，所以互相垂直的直线有3对.
又，所以与，均不垂直.
若，则恰与，，的其中两条垂直，
不妨设，，则平面，则，不符合题意.
若与不垂直，则，，，
，平面，
则平面，符合题意，故平面.
【小问2详解】
解：设，则，
解得，则或.
若，则为正三角形，则，不符合题意.
若，则，符合题意.
如图，过点作，垂足为.
因为平面，平面，所以，
，平面，所以平面.
连接，则为直线与平面所成的角.
，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为.
（1）求的方程；
（2）若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的几何性质，求解焦点的坐标和准线方程，进而得到双曲线的焦点坐标，又由双曲线被抛物线准线截得的弦长为，可得双曲线的方程；
（2）设：，代入双曲线方程，利用根与系数的关系及韦达定理的应用，化简即可得关于k的表达式，结合二次函数的性质即可求得的取值范围．
【小问1详解】
由题可知，的坐标为0,2，
则.
易知的方程为，不妨设与相交于点，，
则，整理得，
则，
可得
故的方程为.
【小问2详解】
由题可知，直线的斜率一定存在，
设：，Ax1,y1，Bx2,y2，则，.
联立方程组整理得，
则，
,.
由，在轴的上方，所以，，
可得.
，则.
由，得，
则，
故的取值范围为.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：
一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；
二是将圆锥曲线中最值和范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
本题（2）就是用的这种思路，利用函数的性质求的范围.
19. 已知数列an的前项和为，若存在正整数，使得对任意正整数，均有，则称an为“型”数列.
（1）若，且an为“型”数列，求的最小值；
（2）若an为“3型”数列，且，设的所有可能值个数为，证明：.
【答案】（1）3 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件可先得出，取得出，再利用指数函数的性质适当放缩可证明满足条件，从而得出结果；
（2）先根据条件得出，再设an的前项中有项为1，其余项为0，
利用适当放缩得出对任意，均有an“3型”数列，最后利用等比数列求和公式即可证明结论.
【小问1详解】
因为，所以.
又an为“型”数列，所以对任意正整数，均有，
即.
当时，.
因为，所以当时，，
从而，即an为“3型”数列.
故的最小值为3.
小问2详解】
由题意可知，
因为，令，则，所以，
所以an中至少有一项为1.
设an的前项中有项为1，其余项为0，
则.
不妨设，
则，，…，，，
从而，
因为，
所以，
则对任意，均有an为“3型”数列，
故的所有可能值个数为，即，
从而，证毕.
【点睛】思路点睛：第一问先由条件得出，再证明符号题意即可；第二问，设数列an中有m项为1，其余项为0，通过适当放缩证明都符合题意，从而求得，利用等比数列求和公式即可证明.