贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三上学期开学联考数学试卷(含答案)

这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三上学期开学联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若复数,则( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．函数的最小正周期为( )
A.B.C.2D.1
4．已知,,,则( )
A.B.C.D.
5．如图,在直角梯形中,,,且,,.将直角梯形绕所在的直线旋转一周,则所得旋转体的表面积为( )
A.B.C.D.
6．已知,且,则( )
A.B.C.D.
7．已知点关于直线对称的点Q在圆：上,则( )
A.4B.C.-4D.
8．已知函数,.当时,恒成立,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若随机变量,且,则( )
A.B.C.D.
10．已知,椭圆,的离心率分别为,.若,则M的值可能为( )
A.B.C.D.
11．如图,平行六面体的所有棱长均为2,,,两两所成夹角均为,点E,F分别在棱,上,且,,则( )
A.A,E,,F四点共面
B.在方向上的投影向量为
C.
D.直线与所成角的余弦值为
三、填空题
12．已知向量,,若,则___________.
13．的展开式中的系数为________________.
14．对于任意的,函数满足,函数满足.若,,则_____________.
四、解答题
15．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求A的取值范围;
(2)若,且,求B的值.
16．已知奇函数在处取得极大值16.
(1)求的解析式;
(2)求经过坐标原点并与曲线相切的切线方程.
17．如图,在四面体中,.若从直线,,,中任选两条,则它们互相垂直的概率为.
(1)证明：平面;
(2)若四面体的体积为,且,求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点F重合,且被的准线l截得的弦长为.
(1)求的方程;
(2)若过F的直线与的上支交于A,B两点,设O为坐标原点,求的取值范围.
19．已知数列的前n项和为,若存在正整数k,使得对任意正整数n,均有,则称为“k型”数列.
(1)若,且为“k型”数列,求k的最小值;
(2)若为“3型”数列,且,设的所有可能值个数为,证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以.
故选：B
2．答案：C
解析：因为,所以.
故选：C.
3．答案：A
解析：因为函数与的最小正周期分别为,,
所以的最小正周期为.
故选：A.
4．答案：D
解析：由指数函数的性质易得,所以,,故.
故选：D.
5．答案：C
解析：由题可知,该旋转体为上底面半径,下底面半径,母线长的圆台,
则该圆台的表面积.
故选：C.
6．答案：A
解析：因为,,所以,
则,
则.
故选：A.
7．答案：B
解析：设,则,解得,.
因为Q在C上,所以,解得.
故选：B.
8．答案：D
解析：令,
则.
若,则在上恒成立,则在上单调递减,
则,不符合题意.
若,则当时,,单调递减,
则,不符合题意.
若,则在上恒成立,则在上单调递增,
即,符合题意.
故a的取值范围为.
故选：D.
9．答案：AC
解析：因为,所以,
整理得,解得,
则,,.
故选：AC.
10．答案：AB
解析：若,则,,则,
解得.
若,则,,则,
解得或（舍去）.
若,则,,,方程无解.
故选：AB.
11．答案：ABD
解析：对于A,在上取点H,使得,连接,,,
因为,,所以四边形为平行四边形,
可得,
因为,,所以四边形为平行四边形,
可得,所以,可得A,E,,F四点共面,故A正确;
对于B,因为平行六面体棱长均为2,、、两两所成夹角均为,
所以,
则,
则,
,故B正确;
对于C,,
,
则,故C不正确;
对于D,故
,
故直线与所成角的余弦值为,D正确.
故选：ABD.
12．答案：3
解析：因为,所以,解得.
故答案为：3.
13．答案：8
解析：由二项式定理可得,
该展开式中的系数为,的系数为,
故的展开式中的系数为：
.
故答案为：8.
14．答案：2
解析：令,得,则或（与矛盾舍去）.
令,得,则,
则,则,则.
又因为,所以,则,
从而.
故答案为：2.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由余弦定理可知.
因为,所以,
则A的取值范围为;
(2).
由,
得,
由(1)可知,所以,
则,解得,
则.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为是奇函数,所以f-x=-fx,
即,则,
从而,.
因为在处取得极大值16,
所以解得
经检验知此时在处取得极大值,
故.
(2)由(1)可设切点坐标为,则,
切线方程为.
因为切线经过坐标原点,所以,解得,
故经过坐标原点并与曲线相切的切线方程为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：从直线,,,中任选两条,不同的选法共有种,
因为它们互相垂直的概率为,所以互相垂直的直线有3对.
又,所以与,均不垂直.
若,则恰与,,的其中两条垂直,
不妨设,,则平面,则,不符合题意.
若与不垂直,则,,,
,平面,
则平面,符合题意,故平面.
(2)设,则,
解得,则或.
若,则为正三角形,则,不符合题意.
若,则,符合题意.
如图,过点作,垂足为H.
因为平面,平面,所以,
,,平面,所以平面.
连接,则为直线与平面所成的角.
,
则,
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题可知,F的坐标为,
则.
易知l的方程为,不妨设l与相交于点,,
则,整理得,
则,
可得
故的方程为.
(2)由题可知,直线的斜率一定存在,
设,,,则,.
联立方程组整理得,
则,
,.
由A,B在x轴的上方,所以,,
可得.
,则.
由,得,
则,
故的取值范围为.
19．答案：(1)3
(2)证明见解析
解析：(1)因为,所以.
又为“型”数列,所以对任意正整数n,均有,
即.
当时,.
因为,所以当时,,
从而,即为“3型”数列.
故k的最小值为3.
(2)由题意可知,
因为,令,则,所以,
所以中至少有一项为1.
设的前n项中有项为1,其余项为0,
则.
不妨设,,,
则,,…,,,
从而,
因为,
所以,
则对任意,均有为“3型”数列,
故的所有可能值个数为n,即,
从而,证毕.