新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题11 抛物线中的切线问题（2份打包，原卷版+解析版）

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对于抛物线特别是抛物线 SKIPIF 1 < 0 ,可以化为函数 SKIPIF 1 < 0 ,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.
二、解题秘籍
(一) 利用判别式求解抛物线中的切线问题
求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用 SKIPIF 1 < 0 求解.
【例1】（2023届河南省新未来高三上学期联考）已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 都经过点 SKIPIF 1 < 0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别与抛物线C依次交于点E,F和G,H,直线EH,FG与抛物线准线分别交于点A,B,证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 消去y,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,当直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切时, SKIPIF 1 < 0 ,∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,∴切点为 SKIPIF 1 < 0 ,又∵两切点间的距离为4,∴ SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,联立 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,同理, SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,直线EH的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,同理, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ．
(二) 利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题
求解抛物线 SKIPIF 1 < 0 在其上一点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程,可先把 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,则抛物线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】（2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考）在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中,已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点,过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线,切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上时, SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值.
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上时,即 SKIPIF 1 < 0 ,由题意不妨设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ,
设过点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,与 SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 ,
由直线和抛物线相切可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,同理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点,设 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由两点确定一条直线可得 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,∴直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ,
∴点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
(三) 抛物线中与切线有关的性质
过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,
则(1)切线交点在准线上
(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴
(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直
(4) 切线交点与焦点连线与焦点弦垂直
(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
反之：
(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦
(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．
【例3】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是C的两条切线,A,B是切点．当 SKIPIF 1 < 0 轴时, SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意, SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 轴时,将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
故抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）,设 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,联立抛物线方程有 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 .
又抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,故切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,同理可得切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,代入 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ,代入韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 .
故当 SKIPIF 1 < 0 时有 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,因为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,也满足 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 恒成立.又 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即得证.
【例4】已知直线 SKIPIF 1 < 0 过原点 SKIPIF 1 < 0 ,且与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点, SKIPIF 1 < 0 ,圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切, SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直,记圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过直线 SKIPIF 1 < 0 上任一点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的两条切线,切点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,证明：
①直线 SKIPIF 1 < 0 过定点；
② SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）如图,设 SKIPIF 1 < 0 ,
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相切,所以圆Ａ的半径为 SKIPIF 1 < 0 ．
由圆的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：①由题意可知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合．
如图,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ,同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
②因为直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
三、跟踪检测
1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F,斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与E相切于点A.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 时,求E的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与l平行, SKIPIF 1 < 0 与E交于B,C两点,且 SKIPIF 1 < 0 ,设点F到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,到l的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,试问： SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.
2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的正半轴上,直线l： SKIPIF 1 < 0 经过抛物线C的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线,两条切线相交于点P,求△ABP面积的最小值．
3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点是 SKIPIF 1 < 0 ,如图,过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线,切点分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）求证：直线 SKIPIF 1 < 0 轴；
（3）以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径作圆,交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上一点 SKIPIF 1 < 0 到其焦点F的距离为2．
（1）求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若过焦点F的动直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的交点为Q, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与y轴的交点分别为M、N．求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C上任意一点到 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ,抛物线E： SKIPIF 1 < 0 的焦点是点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求曲线C和抛物线E的方程；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M,N,求 SKIPIF 1 < 0 的面积的取值范围．
6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点 SKIPIF 1 < 0 的动圆始终与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相切.
（1）求动圆圆心的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）动点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上,过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线分别交 SKIPIF 1 < 0 轴于B,D两点,当 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 时,求点 SKIPIF 1 < 0 坐标.
7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 .且 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 上点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线的方程；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两条切线. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是切点,求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,准线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 点,过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的不同两点,且 SKIPIF 1 < 0 轴,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 点,再在 SKIPIF 1 < 0 轴上截取线段 SKIPIF 1 < 0 ,且点 SKIPIF 1 < 0 介于点 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 之间,连接 SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 ,证明 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线.
9.已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线C上,过点M作抛物线C的切线,交x轴于点P,点O为坐标原点．
(1)求P点的坐标；
(2)点E的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交抛物线于A,B两点,交线段OM于点Q,记EA,EB,EQ的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ．若存在,求出 SKIPIF 1 < 0 的值,若不存在,请说明理由．
10．如图,已知 SKIPIF 1 < 0 为二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上异于顶点的两个点,曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线相交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)利用抛物线的定义证明：曲线 SKIPIF 1 < 0 上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 成等差数列, SKIPIF 1 < 0 成等比数列；
(3)设抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直准线 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,求证： SKIPIF 1 < 0 .
11．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点到 SKIPIF 1 < 0 的距离比到x轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q,求 SKIPIF 1 < 0 重心G的轨迹方程．
12．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F,点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上一点,抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q,且 SKIPIF 1 < 0 的面积为2．
(1)求抛物线的方程．
(2)若斜率不为0的直线l过焦点F,且交抛物线C于A,B两点,线段AB的中垂线与y轴交于点M,证明： SKIPIF 1 < 0 为定值．
13．（2022届新未来4月联考）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于A,B两点,过A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线 SKIPIF 1 < 0 轴时, SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
14．过原点O的直线与拋物线C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）交于点A,线段OA的中点为M,又点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：
① SKIPIF 1 < 0 ,② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）______,求拋物线C的方程；
（2）在（1）的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q（不与原点O重合）,过点B作直线l与OQ垂直,求证：直线l过定点．
注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．
15．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ,其焦点为F,抛物线上有相异两点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 轴,且经过点A的抛物线的切线经过点 SKIPIF 1 < 0 ,求抛物线方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,线段AB的中垂线交x轴于点C,求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
16．设抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上,且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,分别以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为切点的抛物线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线交于点 SKIPIF 1 < 0 ,求三角形 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值．
17．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与定直线 SKIPIF 1 < 0 ,且动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切并与直线 SKIPIF 1 < 0 相切.
（1）求动圆圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上一个动点,过点 SKIPIF 1 < 0 作轨迹 SKIPIF 1 < 0 的两条切线,切点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
①求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点；
②求证： SKIPIF 1 < 0 .
18.设抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,其焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,准线为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的一点,过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 外的一点且 SKIPIF 1 < 0 点不在坐标轴上,过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线,切点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,证明：直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称.