辽宁省葫芦岛市中考数学试卷（含解析版）

这是一份辽宁省葫芦岛市中考数学试卷（含解析版），共27页。

A．2B．﹣2C．0D．﹣
2．（2分）（2014•葫芦岛）如图所示的几何体中，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）（2014•葫芦岛）下列计算正确的是（ ）
A．a3÷a2=aB．C．（a3）4=a7D．
4．（2分）（2014•葫芦岛）如图，桌面上有木条b、c固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0＜n＜90）后与b平行，则n=（ ）
A．20B．30C．70D．80
5．（2分）（2014•葫芦岛）计算：552﹣152=（ ）
A．40B．1600C．2400D．2800
6．（2分）（2014•葫芦岛）若a﹣|a|=2a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧D．原点或原点右侧
7．（2分）（2014•葫芦岛）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A．PQ为∠APB的平分线B．PA=PB
C．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ=∠BPQ
8．（2分）（2014•葫芦岛）某体育场计划修建一个容积一定的长方体游泳池，设容积为a（m3），泳池的底面积S（m2）与其深度x（m）
之间的函数关系式为S=（x＞0），该函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．（2分）（2014•葫芦岛）如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（2分）（2014•葫芦岛）如图，用两根等长的金属丝，各自首尾相接，分别围成正方形ABCD和扇形A1D1C1，使A1D1=AD，D1C1=DC，正方形面积为P，扇形面积为Q，那么P和Q的关系是（ ）
A．P＜QB．P=QC．P＞QD．无法确定
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案写在题中的横线上）
11．（3分）（2014•葫芦岛）化简：= ．
12．（3分）（2014•葫芦岛）已知a，b为两个连续整数，且，则a+b= ．
13．（3分）（2014•葫芦岛）如图，AE，BD交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D，若AC=4，AB=3，CD=2，则CE= ．
14．（3分）（2014•葫芦岛）若m+n=2，mn=1，则m2+n2= ．
15．（3分）（2014•葫芦岛）如图，矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上的一动点，若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM的最小值是 ．
16．（3分）（2014•葫芦岛）如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长是 ．

三.解答题（本大题共9个小题，共82分，街答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2014•葫芦岛）先化简，再求值：，其中x=2005．
18．（8分）（2014•葫芦岛）某演讲比赛中只有甲、乙、丙三位同学进行决赛，他们通过抽签决定演讲顺序，用列表法或画树状图法求：
（1）第二个出场为甲的概率；
（2）丙在乙前面出场的概率．
19．（8分）（2014•葫芦岛）有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
20．（8分）（2014•葫芦岛）如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．
21．（9分）（2014•葫芦岛）如图1，长为60km的某段线路AB上有甲、乙两车，分别从南站A和北站B同时出发相向而行，到达B、A后立刻返回到出发站停止，速度均为30km/h，设甲车，乙车距南站A的路程分别为y甲，y乙（km）行驶时间为t（h）．
（1）图2已画出y甲与t的函数图象，其中a= ，b= ，c= ．
（2）分别写出0≤t≤2及2＜t≤4时，y乙与时间t之间的函数关系式．
（3）在图2中补画y乙与t之间的函数图象，并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数．
22．（10分）（2014•葫芦岛）某体院要了解篮球专业学生投篮的命中率，对学生进行定点投篮测试，规定每人投篮20次，测试结束后随机抽查了一部分学生投中的次数，并分为五类，Ⅰ：投中11次；Ⅱ投中12次；Ⅲ：投中13次；Ⅳ：投中14次；Ⅴ：投中15次．根据调查结果绘制了下面尚不完整的统计图1、图2：
回答下列问题：
（1）本次抽查了 名学生，图2中的m= ．
（2）补全条形统计图，并指出中位数在哪一类．
（3）求最高的命中率及命中最高的人数所占的百分比．
（4）若体院规定篮球专业学生定点投篮命中率不低于65%记作合格，估计该院篮球专业210名学生中约有多少人不合格．21cnjy.c
m
23．（9分）（2014•葫芦岛）油井A位于油库P南偏东75°方向，主输油管道AP=12km，一新建油井B位于点P的北偏东75°方向，且位于点A的北偏西15°方向．
（1）求∠PBA；
（2）求A，B间的距离；
（3）要在AP上选择一个支管道连接点C，使从点B到点C处的支输油管道最短，求这时BC的长．（结果保留根号）
24．（11分）（2014•葫芦岛）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中，有A，O，B，C，D，E，F，H，G九个格点．抛物线l的解析式为y=x2+bx+c．
（1）若l经过点O（0，0）和B（1，0），则b= ，c= ；它还经过的另一格点的坐标为 ．
（2）若l经过点H（﹣1，1）和G（0，1），求它的解析式及顶点坐标；通过计算说明点D（1，2）是否在l上．
（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数．
25．（11分）（2014•葫芦岛）图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．
（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．
（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．

辽宁省葫芦岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一．选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
1．（2分）（2014•葫芦岛）在2，﹣2，0，﹣四个数中，最小的数是（ ）
A．2B．﹣2C．0D．﹣
【考点】有理数大小比较．
【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得
2＞0＞﹣＞﹣2，
故选：B．

2．（2分）（2014•葫芦岛）如图所示的几何体中，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看左边一个正方形，右边一个正方形，故D符合题意；
故选：D．

3．（2分）（2014•葫芦岛）下列计算正确的是（ ）
A．a3÷a2=aB．C．（a3）4=a7D．
【考点】同底数幂的除法；有理数的乘方；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．
【分析】根据同底数幂的除法，可判断A，根据负数的奇次幂是负数，可判断B，根据幂的乘方，可判断C，根据负整数指数幂，可判断D．
【解答】解：A、底数不变指数相减，故A正确；
B、负数的奇次幂是负数，故B错误；
C、底数不变指数相乘，故C错误；
D、负整数指数幂于正整数指数幂互为倒数，故D错误；
故选：A．

4．（2分）（2014•葫芦岛）如图，桌面上有木条b、c固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0＜n＜90）后与b平行，则n=（ ）
A．20B．30C．70D．80
【考点】平行线的性质．
【分析】木条a在桌面上绕点O旋转30°（0＜n＜90）后与b平行，利用内错角相等两直线平行即可得证．
【解答】解：木条a在桌面上绕点O旋转30°（0＜n＜90）后与b平行，理由为：
旋转30°后，得到一对内错角都为70°，
利用内错角相等两直线平行得到a∥b．
故选B

5．（2分）（2014•葫芦岛）计算：552﹣152=（ ）
A．40B．1600C．2400D．2800
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式分解因式求出即可．
【解答】解：552﹣152=（55+15）×（55﹣15）=70×40=2800．
故选：D．

6．（2分）（2014•葫芦岛）若a﹣|a|=2a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧B．原点或原点左侧
C．原点右侧D．原点或原点右侧
【考点】实数与数轴；绝对值．
【分析】根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：由a﹣|a|=2a，得
|a|=﹣a，
故A是非正数，
故选：B．

7．（2分）（2014•葫芦岛）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A．PQ为∠APB的平分线B．PA=PB
C．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ=∠BPQ
【考点】作图—基本作图．
【分析】根据角平分线的作法进行解答即可．
【解答】解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，
∴A，B，D正确；
∵PQ是∠APB的平分线，PA=PB，
∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．
故选C．

8．（2分）（2014•葫芦岛）某体育场计划修建一个容积一定的长方体游泳池，设容积为a（m3），泳池的底面积S（m2）与其深度x（m）
之间的函数关系式为S=（x＞0），该函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
【分析】根据游泳池的体积=底面积×高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论．
【解答】解：由长方体泳池的体积公式知：a=Sx，
故泳池的底面积S（m2）与其深度x（m）之间的函数关系式为S=（x＞0）为反比例函数，
故选C．

9．（2分）（2014•葫芦岛）如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍即可得出结论．
【解答】解：∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，
∴设S空白=x，则S阴影=6x﹣x=5x，
∴=5．
故选C．

10．（2分）（2014•葫芦岛）如图，用两根等长的金属丝，各自首尾相接，分别围成正方形ABCD和扇形A1D1C1，使A1D1=AD，D1C1=DC，正方形面积为P，扇形面积为Q，那么P和Q的关系是（ ）
A．P＜QB．P=QC．P＞QD．无法确定
【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．
【分析】先求出正方形的面积P，然后利用扇形的面积公式求出Q，然后比较两者的大小关系即可．
【解答】解：正方形面积P=AB2，扇形面积Q=lr=×2AB•AB=AB2，
其中l为扇形弧长，等于正方形2个边长，r为扇形半径，等于正方形边长，
则P=Q．
故选B．

二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案写在题中的横线上）
11．（3分）（2014•葫芦岛）化简：= 2 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的除法，可得答案．
【解答】解：==2，
故答案为：2．

12．（3分）（2014•葫芦岛）已知a，b为两个连续整数，且，则a+b= 7 ．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】因为32＜13＜42，所以3＜＜4，求得a、b的数值，进一步求得问题的答案即可．
【解答】解：∵32＜13＜42，
∴3＜＜4，
即a=3，b=b，
所以a+b=7．
故答案为：7．

13．（3分）（2014•葫芦岛）如图，AE，BD交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D，若AC=4，AB=3，CD=2，则CE= ．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】利用条件可证明△ABC∽△DEC，根据相似三角形的对应边成比例可求得CE．
【解答】解：∵BA⊥AE于点A，ED⊥BD，
∴∠A=∠D=90°，且∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△DEC，
∴=，
在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，可求得BC=5，
∴=，
解得CE=．
故答案为：．

14．（3分）（2014•葫芦岛）若m+n=2，mn=1，则m2+n2= 2 ．
【考点】完全平方公式．
【分析】原式配方变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m+n=2，mn=1，
∴原式=（m+n）2﹣2mn=4﹣2=2，
故答案为：2

15．（3分）（2014•葫芦岛）如图，矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上的一动点，若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM的最小值是 3 ．
【考点】矩形的性质；垂线段最短．
【分析】根据AP+PB=AB，然后判断出PM最小时，PA+PB+PM的值最小值，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：∵AP+PB=AB，
∴PM最小时，PA+PB+PM的值最小值，
由垂线段最短可知PM⊥CD时，PA+PB+PM的值最小值，
最小值为1+2=3．
故答案为：3．

16．（3分）（2014•葫芦岛）如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长是 ．
【考点】弧长的计算；等腰直角三角形；垂径定理．
【分析】作辅助线，首先求出∠DAC的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．
【解答】解：如图，分别连接OA、OB、OD；
∵OA=OB=，AB=2，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
同理可证：∠OAD=45°，
∴∠DAB=90°；
∵∠CAB=60°，
∴∠DAC=90°﹣60°=30°，
∴当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：=．
故答案为：．

三.解答题（本大题共9个小题，共82分，街答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2014•葫芦岛）先化简，再求值：，其中x=2005．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先化为同分母，把分子相加后因式分解，然后约分得到原式=x﹣1，再把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式=+
=
=
=x﹣1，
当x=2005时，原式=2005﹣1=2004．

18．（8分）（2014•葫芦岛）某演讲比赛中只有甲、乙、丙三位同学进行决赛，他们通过抽签决定演讲顺序，用列表法或画树状图法求：
（1）第二个出场为甲的概率；
（2）丙在乙前面出场的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出第二个出场为甲的情况，即可求出所求的概率；
（2）找出丙在乙前面出场的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）画树状图得：
可得所有等可能的情况有6种，分别为甲，乙，丙；甲，丙，乙；乙，甲，丙；乙，丙，甲；丙，甲，乙；丙，乙，甲，
则P（第二个出场是甲）==；
（2）丙在乙前面出场的情况有3种，
则P（丙在乙前面出场）==．

19．（8分）（2014•葫芦岛）有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 ⑤ 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）移项要变号；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
（2）x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n x2=﹣4n．

20．（8分）（2014•葫芦岛）如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）AAS或ASA证全等；
（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠EDB，
∵E为AB的中点，
∴EA=EB，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEF≌△BED，
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．

21．（9分）（2014•葫芦岛）如图1，长为60km的某段线路AB上有甲、乙两车，分别从南站A和北站B同时出发相向而行，到达B、A后立刻返回到出发站停止，速度均为30km/h，设甲车，乙车距南站A的路程分别为y甲，y乙（km）行驶时间为t（h）．
（1）图2已画出y甲与t的函数图象，其中a= 60 ，b= 2 ，c= 4 ．
（2）分别写出0≤t≤2及2＜t≤4时，y乙与时间t之间的函数关系式．
（3）在图2中补画y乙与t之间的函数图象，并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）由函数图象的数据，根据行程问题的数量关系就可以求出结论；
（2）当0≤t≤2时，设y乙与时间t之间的函数关系式为y乙=kx+b；当2＜t≤4时，设y乙与时间t之间的函数关系式为y乙=k1x+b1；由待定系数法就可以求出结论；
（3）通过描点法画出函数图象即可．
【解答】解：（1）由题意，得
a=60，b=2，c=4．
故答案为：60，2，4；
（2）当0≤t≤2时，设y乙与时间t之间的函数关系式为y乙=kx+b，由题意，得
，
解得：
∴y乙=﹣30t+60
当2＜t≤4时，设y乙与时间t之间的函数关系式为y乙=k1x+b1，由题意，得
，
解得：，
∴y乙=30t﹣60．
（3）列表为：
描点并连线为：
如图，由于两个图象有两个交点，所以在整个行驶过程中两车相遇次数为2．

22．（10分）（2014•葫芦岛）某体院要了解篮球专业学生投篮的命中率，对学生进行定点投篮测试，规定每人投篮20次，测试结束后随机抽查了一部分学生投中的次数，并分为五类，Ⅰ：投中11次；Ⅱ投中12次；Ⅲ：投中13次；Ⅳ：投中14次；Ⅴ：投中15次．根据调查结果绘制了下面尚不完整的统计图1、图2：
回答下列问题：
（1）本次抽查了 30 名学生，图2中的m= 108 ．
（2）补全条形统计图，并指出中位数在哪一类．
（3）求最高的命中率及命中最高的人数所占的百分比．
（4）若体院规定篮球专业学生定点投篮命中率不低于65%记作合格，估计该院篮球专业210名学生中约有多少人不合格．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）用96°除以360°，得出Ⅳ所占的百分比，再根据Ⅳ的人数是8，即可求出总人数；
（2）用总人数减去Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ的人数，求出Ⅱ的人数，从而补全统计图；再根据中位数的定义得出中位数在第Ⅲ类；
（3）用投中15次除以20次，得出最高的命中率，再用命中率最高的人数除以总人数即可得出命中最高的人数所占的百分比；
（4）根据题意得出投中次数为11次、12次的学生都不合格，求出它们所占的百分比，再乘以总人数即可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽查的学生数是：8÷=30（名），
图2中的m=×360=108；
故答案为：30，108；
（2）第Ⅱ类的人数是：30﹣2﹣9﹣8﹣6=5，
补图如下：
因为共有30名学生，则中位数是地15，16个数的平均数，所以中位数在第Ⅲ类；
（3）根据题意得：
最高命中率为×100%=75%，
命中率最高的人数所占的百分比为×100%=20%；
（4）∵＜＜65%，
∴投中次数为11次、12次的学生记作不合格，
∴估计210名学生中不合格的人数为×210=49（人）．

23．（9分）（2014•葫芦岛）油井A位于油库P南偏东75°方向，主输油管道AP=12km，一新建油井B位于点P的北偏东75°方向，且位于点A的北偏西15°方向．
（1）求∠PBA；
（2）求A，B间的距离；
（3）要在AP上选择一个支管道连接点C，使从点B到点C处的支输油管道最短，求这时BC的长．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】（1）根据方向角进行解答；
（2）利用三角函数解答；
（3）作出AP上的垂线解答．
【解答】解：如图：（1）∵∠BPA=15°×2=30°，
∠BAP=75°﹣15°=60°，
∴∠PBA=180°﹣30°﹣60°=90°；
（2）AB=APsin30°=12×=6km；
（3）过B作BC⊥AP，
BC=AB•sin60°=6×=3．

24．（11分）（2014•葫芦岛）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中，有A，O，B，C，D，E，F，H，G九个格点．抛物线l的解析式为y=x2+bx+c．
（1）若l经过点O（0，0）和B（1，0），则b= ﹣ ，c= 0 ；它还经过的另一格点的坐标为 （﹣1，1） ．
（2）若l经过点H（﹣1，1）和G（0，1），求它的解析式及顶点坐标；通过计算说明点D（1，2）是否在l上．
（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把两个点代入解析式即可得到关于b、c的方程组，从而求得b和c的值，然后把格点坐标代入解析式即可判断；
（2）与（1）的解法相同；
（3）二次函数的二次项系数不变，则抛物线的形状和开口方向不变，则移动抛物线的顶点到图中的一个点，同时，经过另外两个的抛物线就是符合要求的图形．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，
故函数的解析式是：y=x2﹣x，
点中H（﹣1，1）满足函数解析式，则另一个格点的坐标是（﹣1，1）．
故答案是：，0，（﹣1，1）；
（2）根据题意得：，
解得：，
则函数的解析式是：y=x2+x+1，
y=x2+x+1=（x+）2+，则顶点坐标为（﹣，），点D（1，2）在抛物线l上；
（3）因为题目中的a=0.5，在这个条件下，抛物线的开口方向和开口大小是确定的．应该是4条，分别过HOB三点，AOC三点，HGD三点，还有FGC三点，
综上所述，满足这样的抛物线有4条．

25．（11分）（2014•葫芦岛）图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．
（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，当α= 45 °时，BA′与半圆O相切．当α= 30 °时，点O′落在上．
（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；
（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；
（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．
【解答】解：（1）相切，理由如下：
如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，
∵α=15°，A′C∥AB，
∴∠ABA′=∠CA′B=30°，
∴DE=A′E，OE=BE，
∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，
∴A′C与半圆O相切；
（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，
∴∠OBA′=2α=90°，
∴α=45°，
当O′在上时，如图2，
连接AO′，则可知BO′=AB，
∴∠O′AB=30°，
∴∠ABO′=60°，
∴α=30°，
故答案为：45；30；
（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，
由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，
∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；
当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．
当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，
∴α＜90°，
∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．
综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．
t
0
2
4
y乙=﹣30t+60（0≤t≤2）
60
0
y乙=30t﹣60（2＜t≤4）
0
60