新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题6-2 数列求通项（2份打包，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1774" 专题6-2数列求通项 PAGEREF _Tc1774 \h 1
\l "_Tc32671" PAGEREF _Tc32671 \h 1
\l "_Tc6032" 题型一： SKIPIF 1 < 0 法 PAGEREF _Tc6032 \h 1
\l "_Tc24934" 题型二：累加法 PAGEREF _Tc24934 \h 6
\l "_Tc18390" 题型三：累乘法 PAGEREF _Tc18390 \h 10
\l "_Tc7643" 题型四：构造法 PAGEREF _Tc7643 \h 13
\l "_Tc16445" 题型五：倒数法 PAGEREF _Tc16445 \h 18
\l "_Tc27255" PAGEREF _Tc27255 \h 22
题型一： SKIPIF 1 < 0 法
【典例分析】
例题1．（2022·陕西宝鸡·模拟预测（理））已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比q＝3，
令n＝1，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
例题2．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值，并求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)
解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，k的值为4，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
例题3．（2022·山东烟台·三模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，1为公差的等差数列.所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
例题4．（2022·宁夏·银川一中一模（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(1)解：由题可知， SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （*），
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，符合（*）式，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【提分秘籍】
对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和记为 SKIPIF 1 < 0 ；
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
②： SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是公差为4的等差数列．
2．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．②
由①－②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴ SKIPIF 1 < 0
3．（2022·湖北·黄冈中学三模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
【详解】（1）解：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
显然 SKIPIF 1 < 0 符合 SKIPIF 1 < 0 ．
综上可知 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·四川·石室中学三模（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 及数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(1)
∵ SKIPIF 1 < 0 ①，
∴当n=1时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当n=2时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入并整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
由①－②得， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当n=2时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在n=2时不成立，
故 SKIPIF 1 < 0
题型二：累加法
【典例分析】
例题1．（2022·福建泉州·高二期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 为等差数列.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(1)由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故对 SKIPIF 1 < 0 ；
例题2．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(1)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
以上各式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
累加法（叠加法）
若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为“变差数列”，求变差数列 SKIPIF 1 < 0 的通项时，利用恒等式 SKIPIF 1 < 0 求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
将上述 SKIPIF 1 < 0 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(1) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·全国·模拟预测）给出以下两个条件：① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．请从这两个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且______．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(1)解：若选①：
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 也满足上式，故 SKIPIF 1 < 0 ．
若选②：
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(1)解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 适合上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
题型三：累乘法
【典例分析】
例题1．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由累乘法得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时也符合，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
n＝1也满足上式，故 SKIPIF 1 < 0 ；
【提分秘籍】
累乘法（叠乘法）
若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为“变比数列”，求变比数列 SKIPIF 1 < 0 的通项时，利用 SKIPIF 1 < 0 求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
将上述 SKIPIF 1 < 0 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
SKIPIF 1 < 0
整理得： SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，也成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a1=1， SKIPIF 1 < 0 (n≥2)，求数列{an}的通项公式.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为a1=1， SKIPIF 1 < 0 (n≥2)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ·…· SKIPIF 1 < 0 ·1= SKIPIF 1 < 0 .
又因为当n=1时，a1=1，符合上式，所以an= SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 也满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
题型四：构造法
【典例分析】
例题1．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
【详解】（1）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 符合 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ;
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为3，公比为3的等比数列.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
例题2．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），其中 SKIPIF 1 < 0 是非零的常数.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
（1）由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
例题3．（2022·广东·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)选①： SKIPIF 1 < 0 ；选②： SKIPIF 1 < 0
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，1为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公比的等比数列．
【提分秘籍】
构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为 SKIPIF 1 < 0 （其中： SKIPIF 1 < 0 ），由此构造出新的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，从而求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
标准模型： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ）或 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如 SKIPIF 1 < 0 ，可通过两边同除 SKIPIF 1 < 0 ，将它转化为 SKIPIF 1 < 0 ，从而构造数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，便可求得 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
（2）形如 SKIPIF 1 < 0 ，可通过两边同除 SKIPIF 1 < 0 ，将它转化为 SKIPIF 1 < 0 ，换元令： SKIPIF 1 < 0 ，则原式化为： SKIPIF 1 < 0 ，先利用构造法类型1求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
（3）形如 SKIPIF 1 < 0 的数列，可通过两边同除以 SKIPIF 1 < 0 ，变形为 SKIPIF 1 < 0 的形式，从而构造出新的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，便可求得 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【变式演练】
1．（2022·陕西·绥德中学高一阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)写出该数列的前 SKIPIF 1 < 0 项；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公共项组成的新数列．
(1)求出数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公共项组成的新数列，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列， SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·全国·高二单元测试）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，______，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】答案见解析
【详解】选①，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
选②，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
选③，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
题型五：倒数法
【典例分析】
例题1．（2022·陕西西安·高二期中（文））若 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证: SKIPIF 1 < 0 ；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ,写出 SKIPIF 1 < 0 的值,观察并归纳出这个数列的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】(1)证明见解析；
(2)结论见解析；
（1）假设 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，与题设 SKIPIF 1 < 0 矛盾，即假设是错的，
所以 SKIPIF 1 < 0 成立.
（2）因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
因此数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对 SKIPIF 1 < 0 两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
【提分秘籍】
倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ）的数列，通过两边取“倒”，变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，从而构造出新的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，即可求得 SKIPIF 1 < 0 .
类型2：形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的数列，通过两边取“倒”，变形为 SKIPIF 1 < 0 ，可通过换元： SKIPIF 1 < 0 ，化简为： SKIPIF 1 < 0 （此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为 SKIPIF 1 < 0 （其中： SKIPIF 1 < 0 ），由此构造出新的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，从而求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.）
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
对 SKIPIF 1 < 0 两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列.
(2)求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】(1)证明:
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
(2)由上述可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
3．（2021·广东梅县东山中学高三期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
(1)解：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为公比，以 SKIPIF 1 < 0 为首项的等比数列 .
1．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）（1）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
【详解】解：（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
又数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
累加得： SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列；
2．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析, SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ①
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ②
① SKIPIF 1 < 0 ②可得 SKIPIF 1 < 0 ,即得 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项,以2为公比的等比数列
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
3．（2022·福建省福州延安中学高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ；
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
4．（2022·福建省永泰县第二中学高三期中）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，①
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，②
①－②得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，化简 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴ SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，两式作差得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，公比为2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·江苏·苏州中学高三阶段练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验 SKIPIF 1 < 0 满足上式子，故 SKIPIF 1 < 0
7．（2022·上海市西南位育中学高二期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
【详解】（1）因为对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 成立，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为5，公比为2的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
8．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式及 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0
在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
，…，
SKIPIF 1 < 0 ，
累加得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符合上式，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的是以首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
∴ SKIPIF 1 < 0
即： SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2022·山东德州·高三期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】(1) 由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
作差得 SKIPIF 1 < 0 , 即 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 , 即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项, 3 为公比的等比数列, SKIPIF 1 < 0 , 所以 SKIPIF 1 < 0 .
数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 , (1)
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,(2)
由(1) -(2)可得 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时,也符合上式, 故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2022·陕西·咸阳市高新一中高三开学考试（文））在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答.
已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，_____.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
注:如果选捀多个条件解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
（1）若选条件①：由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若选条件②：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
经检验： SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
若选条件③：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 法归类
角度1：已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系；或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系
用 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0
例子：已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0
角度2：已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系；或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系
SKIPIF 1 < 0 替换题目中的 SKIPIF 1 < 0
例子：已知 SKIPIF 1 < 0 ；
已知 SKIPIF 1 < 0
角度3：已知等式中左侧含有： SKIPIF 1 < 0
作差法（类似 SKIPIF 1 < 0 ）
例子：已知 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0