专题05 函数综合检测（基础版）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
1．在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是（ ）
A．(−2,3)B．(4,−1)C．(1,3)D．(−3,−1)
【答案】B
【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号特征处理．
【详解】解：第四象限内点横坐标为正，纵坐标为负；
故选：B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系与坐标，理解各象限内点坐标的符号特征是解题的关键．
2．下列函数的图像在每一个象限内，y随着x的增大而增大的是（ ）
A．y=−1xB．y=x2−1C．y=1xD．y=−x−1
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的性质，分析四个选项中得函数解析式，根据系数的正负结合各函数的性质即可得出其增减性，由此即可得出结论．
【详解】解：A、y=−1x中k=−1<0，
∴函数y=−1x的图象在第二、四象限内y随着x的增大而增大；
B、y=x2−1中a=1>0，且图象关于y轴对称，
∴函数y=x2−1的图象，当x≥0时，在第一、第四象限y随着x的增大而增大，当x<0时，在第二、三象限y随着x的增大而减小；
C、y=1x中k=1>0，
∴函数y=1x的图象在第一、三象限内y随着x的增大而减小；
D、y=−x−1中k=−1<0，b=−1<0，
∴函数y=−x−1的图象在第二、三、四象限内y随着x的增大而减小．
故选：A．
3．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1）D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质进行计算，依次判断即可得．
【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线：x=−−2a2a=1，则若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线：x=−−2a2a=1，若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，选项说法正确，符合题意；
C、当a=1，x=−1时，y=1+2−1=2，则当a＝1时，函数图像不经过点（﹣1，1），选项说法错误，不符合题意；
D、当a＝﹣2时，y=−2x2+4x−1，Δ=42−4×(−2)×(−1)=8>0，则函数图像与x轴有两个交点，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
4．将抛物线平移，若有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”，现将抛物线C1：y=x−22−4向右平移mm>0个单位长度后得到新的抛物线C2，若3,n为“平衡点”，则m的值为（ ）
A．2B．1C．4D．3
【答案】A
【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线C2的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点3,n代入两个解析式求值即可．
【详解】解：依题意得抛物线C2为：y=x−2−m2−4，
∵3,n为“平衡点”，
∴3,n既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，
∴n=3−22−4n=3−2−m2−4，
解得m=2或m=0，
∵m>0，
∴m=2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像的平移和二次函数图像上点的坐标特征，理解“平衡点”的定义，掌握二次函数图像的平移的规律是解题关键．
5．如图，A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（ ）

A．3B．2C．3.5D．4
【答案】A
【分析】如图所示，分别过点A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，根据反比例函数比例系数的几何意义得到S△ACO=S△BDO=k2，进而证明S△AOB=S梯形ACDB，求出A、B的坐标，得到AC=2，BD=1，CD=2，再根据梯形面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，分别过点A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，
∵A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，
∴S△ACO=S△BDO=k2，
∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ACDB，
∴S△AOB=S梯形ACDB，
在y=4x中，当x=2时，y=2，当x=4时，y=1，
∴A2，2，B4，1，
∴AC=2，BD=1，CD=2，
∴S△AOB=S梯形ACDB=AC+BD2⋅CD=2+12×2=3，
故选A．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，证明S△AOB=S梯形ACDB是解题的关键．
6．函数y1=x，y2=13x+43，当y1
A．x<−1B．−12D．x>2
【答案】B
【分析】由图象可知：函数y1=x与y2=13x+43的图象交于点−1,1，2,2，y1的图象落在y2图象下方的部分对应的x的取值范围即为所求．
【详解】解：由图象可知：当−1所以当y1故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是（－2，1），（2，3），（－3，－1），由三角形ABC经过平移得到的三角形顶点坐标可能是（ ）
A．（0，3），（0，1），（－1，－1）B．（－3，2），（3，2），（－4，0）
C．（1，－2），（3，2），（－1，－3）D．（－1，3），（3，5），（－2，1）
【答案】D
【解析】略
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，点B、C在反比例函数y=kxx>0的图象上，若△OAB的面积等于6，且S△BOC=S△AOC，则k的值为（ ）

A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】先证明C是AB的中点，设点A的坐标是(a，0)，点B的坐标是(m，n)．则mn=k，点C的坐标是m+a2，n2，然后根据点C在反比例函数上，则m+a2⋅n2=k，再根据三角形的面积公式可得an=12，据此即可求解．
【详解】解：∵S△BOC=S△AOC，
∴点C是AB的中点，
设点A的坐标是(a，0)，点B的坐标是(m，n)．则mn=k．
∴点C的坐标是m+a2，n2，
∵点C在反比例函数上，
∴m+a2⋅n2=k，即(m+a)n=4k，mn+an=4k．
∵△OAB的面积等于6，
∴12an=6，即an=12，
∴k+12=4k，
解得k=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，正确设出未知数，转化为k的关系是关键．
9．如图，这是某区域海水盐度随着纬度的变化情况，下列说法中不正确的是（ ）

A．北纬0°的海水盐度为3.50%
B．从北纬0°到北纬30°，海水盐度不断升高
C．北纬30°的海水盐度最高
D．此区域海水最高盐度与最低盐度之差为2.08%
【答案】B
【分析】观察图象的变化情况以及最高点和最低点，即可求解．
【详解】解：观察图象，
A、北纬0°的海水盐度为3.50%，说法正确，本选项不符合题意；
B、从北纬0°到北纬30°，海水盐度先下降再升高，原说法错误，本选项符合题意；
C、图象的最高点为30°所对的的海水盐度，说法正确，本选项不符合题意；
D、此区域海水最高盐度为3.58%，最低盐度为1.50%，相差为2.08%，说法正确，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图象的识别能力，观察图象的变化情况以及最高点和最低点，即可求解．
10．如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1,3)，与x轴的一个交点是B(4,0)，点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论正确的是( )

A．abc>0
B．方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根
C．x(ax+b)≤a+b
D．点P到直线AB的最大距离328
【答案】C
【分析】根据图象可知a<0，c>0，再由对称轴可知b=−2a＞0，可判断①；根据抛物线的顶点可知方程ax2+bx+c=3有且只有一个实数根，可判断②；当x=1时函数有最大值a+b+c，由此可判断③；求出函数的解析式和直线AB的解析式，当△PAB的面积最大值时，P点到AB的距离最大，过P点作PG∥y轴交AB于点G，用同一参数的代数式分别表示点P，G的坐标，表示出PG，运用二次函数性质，可求得PG的最大值，当PG取最大值时，△PAB的面积最大，从而求得P点到AB的距离最大值，由此判断④．
【详解】解：由图象可知开口向下，
∴a<0，
∵函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∵对称轴为直线x=1，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，
故A不符合题意；
∵抛物线的顶点坐标是A(1,3)，
∴ax2+bx+c=3时，方程的解为x=1，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，
故B不符合题意；
当x=1时，a+b+c=3，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，
故C符合题意；
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∴4k+m=0k+m=3，
解得k=−1m=4，
∴y=−x+4，
设抛物线y=a(x−1)2+3，将点B(4,0)代入，
∴9a+3=0，
解得a=−13，
∴y=−13(x−1)2+3=−13x2+23x+83，
过P点作PG∥y轴交AB于点G，
设P点坐标为(t,−13t2+23t+83)，则G(t，−t+4)，
∴PG=−13t2+23t+83−(−t+4)=−13t2+53t−43=−13(t−52)2+34，
∴当t=52 (1<52<4)时， PG有最大值34，此时S△ABP=12PG⋅(xB−xA)=12×3PG=32PG=32×34=18，为最大值，
由图，AB=32+(4−1)2=32，设点P到AB的距离为h，则
S△ABP=12AB⋅ℎ=12×32ℎ=322ℎ
当S△ABP最大时，h取最大值，
∴322ℎ最大值=18
解得，ℎ最大值=224
∴点P到直线AB的最大距离为224，
故D不符合题意；
故选：C．

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息，结合函数的性质，尤其是配方法求极值是解题的关键．
第II卷（非选择题）
11．如图，正方形OABC的边长为1，若反比例函数y=k−2x的图象与正方形OABC的边有两个交点，则k的取值范围为 ．

【答案】2【分析】显然，反比例函数与正方形有交点，只能在第一象限，可确定k−2>0，再考虑极值的位置，即反比例函数图象过点B，此时，图象与正方形只有一个交点求出此时的k，即可得到答案．
【详解】解：∵正方形OABC的边长为1，
∴B1,1，
当反比例函数经过点B时，反比例函数的图象与正方形的边有一个交点，此时k−2=1，
解得k=3，
又∵k−2>0即k>2，
∴当2故答案为：2【点睛】本题考查了反比例函数的图象和正方形的性质，正确理解题意是关键．
12．如图，反比例函数y=3x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为 ．

【答案】6
【分析】由反比例函数的系数k的几何意义可知：OA⋅AD=3，然后可求得OA⋅AB的值，从而可求得矩形OABC的面积．
【详解】解：∵y=3x，
∴OA⋅AD=3，
∵D是AB的中点，
∴AB=2AD．
∴矩形的面积=OA⋅AB=2AD⋅OA=2×3=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
13．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A20,0，C0,8，D为OA的中点，点P在边BC上运动，当PD=OD时，点P的坐标为 ．
【答案】4,8或16,8
【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，作DH⊥BC于H，分点P在H左边和右边两种情况，利用勾股定理求出PH，进而求出CP，即可得到点P的坐标．
【详解】解：如图，作DH⊥BC于H，
∵D为OA的中点，A20,0，
∴OD=10，
∵PD=OD，
∴DP=10，
当点P在H左边时，
在Rt△DHP中，由勾股定理得，PH=DP2−DH2=102−82=6，
当点P′在H右边时，HP′=PH=6，
∴CP=4，CP′=16，
∴P的坐标为4,8或16,8，
故答案为：4,8或16,8．
14．如果关于x的二次函数y=x2−2x+3k的图象与x轴只有一个交点，则k= .
【答案】13
【分析】把y=0代入y=x2−2x+3k得：x2−2x+3k=0，二次函数y=x2−2x+3k的图象与x轴只有一个交点，得出方程x2−2x+3k=0有两个相等的实数解，从而得出Δ=−22−4×3k=0，求出k的值即可．
【详解】解：把y=0代入y=x2−2x+3k得：x2−2x+3k=0，
∵二次函数y=x2−2x+3k的图象与x轴只有一个交点，
∴方程x2−2x+3k=0有两个相等的实数解，
∴Δ=−22−4×3k=0，
解得：k=13．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是根据题意得出Δ=−22−4×3k=0．
15．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝12x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是 ．
【答案】−12≤b≤1
【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝12x＋b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．
【详解】解：直线y＝12x＋b经过点B，将B(3，1)代入直线y＝12x＋b中，可得32+b=1，解得b=−12；
直线y＝12x＋b经过点A，将A(1，1)代入直线y＝12x＋b中，可得12+b=1，解得b=12；
直线y＝12x＋b经过点C，C(2，2)代入直线y＝12x＋b中，可得1+b=2，解得b=1；
故b的取值范围是−12≤b≤1．
故答案为：−12≤b≤1
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型．
16．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过 m.
【答案】1.2
【详解】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，
设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，
求得a=-12，
即抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x-2），
令x=1，解得y=1.5，
船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.
故答案为：1.2.

17．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1和反比例函数y=2x的图象如图所示.

(1)求一次函数的解析式；
(2)当x>0时，直接写出不等式kx+1>2x的解集.
【答案】(1)y=x+1
(2)x>1
【分析】（1）由图象中给出交点的横坐标结合反比例函数表达式，可求得此点的坐标，进而求出一次函数的解析式．
（2）利用数形结合的思想，可求出不等式得解集．
【详解】（1）解：由图象知，
一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，且反比例函数表达式为y=2x，
则交点的纵坐标为2．
将(1,2)代入y=kx+1得，k=1．
所以一次函数的解析式为：y=x+1．
（2）解：当x>0，即图象在y轴的右侧，
观察图象发现：当图象在直线x=1的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
所以不等式kx+1>2x的解集为：x>1．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，以及用数形结合的思想求不等式的解集，由图象给出的信息，求出交点的一个坐标是解题的关键．
18．某商场推销一种新书包，在试销中发现这种书包每天的销售量y（个）与每个书包的销售价x（元）满足一次函数关系．当销售单价定为32元时，每天销售书包36个；当销售单价定为36元时，每天销售书包28个．
(1)求y与x的函数关系式．
(2)如果商场每天要销售这种书包30个，求书包的销售单价．
【答案】(1)y=−2x+100
(2)书包的销售单价应为35元
【分析】（1）根据待定系数法可求y关于x的函数关系式．
（2）把y=30代入表达式求解即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式y=kx+b，根据题意得：
32k+b=3636k+b=28，
解得：
k=−2b=100，
则y关于x的函数关系式y=−2x+100；
（2）解：把y=30代入表达式，得：
−2x+100=30，
解得：x=35．
故书包的销售单价应为35元．
【点睛】本题考查一次函数的应用和解二元一次方程组，关键用待定系数法求表达式．
19．如图，甲乙两地相距100千米，现有一辆汽车从乙地出发，以80千米时的速度向丙地行驶．
设x（时）表示汽车行驶的时间，y（千米）表示汽车与甲地的距离．
(1)写出y与x之间的函数关系式_______，y_____（填是或不是）x的一次函数；
(2)当汽车行驶1.5小时的时候，汽车离甲地的距离是多少？
【答案】(1)y=100+80x，是
(2)汽车离甲地的距离是220千米．
【分析】（1）根据汽车与甲地的距离=甲、乙间的距离+汽车行驶的路程，据此可得；
（2）将x=1.5代入（1）中所求函数解析式可得．
【详解】（1）解：根据题意得，y与x之间的关系式为y=100+80x，
根据一次函数的定义，y是x的一次函数；
故答案为：y=100+80x，是；
（2）解：x=1.5时，y=100+80×1.5=220．
所以汽车离甲地的距离是220千米．
【点睛】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．
20．平面直角坐标系xOy中，经过点（1，2）的直线y=kx+b，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)当b=3时，求k的值以及点A的坐标；
(2)若k=b，p是该直线上一点，当△OPA的面积等于△OAB面积的2倍时，求点P的坐标．
【答案】(1)k=−1，A(3,0)；
(2)点P的坐标为P(1,2)或(−3,−2)．
【分析】（1）利用待定系数法将点代入即可确定一次函数解析式；由函数与x轴的交点即可确定点A的坐标；
（2）利用待定系数法确定一次函数解析式，得出点B(0,1)，BO=1，点A(−1,0)，OA=1，S∆AOB=12，设P(x,y)，结合题意得出y=±2，分别代入求解即可确定点的坐标．
【详解】（1）解：当b=3时，y=kx+3，
将点(1,2)代入可得：2=k+3，
解得：k=−1，
∴一次函数解析式为：y=−x+3，
当y=0时，x=3，
∴A(3,0)；
（2）解：∵k=b，
∴y=kx+k，
将点(1,2)代入可得：2=k+k，
解得：k=1，
∴y=x+1，
当x=0时，y=1，点B(0,1)，BO=1，
当y=0时，x=−1，点A(−1,0)，OA=1，
∴S∆AOB=12OA·OB=12，
设P(x,y)，且y=x+1，如图所示，连接OP，
S∆AOP=2S∆AOB=1，
12OA·y=1，
∴y=2，
∴y=±2，
当y=2时，2=x+1，
解得：x=1，
∴P(1,2)；
当y=−2时，−2=x+1，
解得：x=−3，
∴P(−3,−2)；
综上可得：点P的坐标为P(1,2)或(−3,−2)．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式，直线与坐标轴的交点及一次函数的应用，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
21．在直角坐标系中，已知直线l:y=−12x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l上的点P(m,n)在第一象限内，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
（2）当S=3时，求点P的坐标；
（3）若直线OP平分△AOB的面积时，求点P的坐标．
【答案】（1）S=4−m，0＜m＜4；（2）点P的坐标为(1，32)；（3）点P的坐标为(2,1)
【分析】（1）根据点A、P的坐标求得△AOP的底边与高线的长度，然后根据三角形的面积公式即可求得S与m之间的函数关系式，根据点P(m,n)在第一象限内，即可求出m的取值范围；
（2）将S=3代入（1）中所求的式子，即可求出点P的坐标；
（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点，据此可以求出点P的坐标．
【详解】（1）∵直线l:y=−12x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(4，0)，B(0,2)，
∵P(m,n)，
S=12×4×(−12m+2)=4−m，
∴S=4−m，
∵点P(m,n)在第一象限内，
∴{m＞0−12m+2＞0，
解得：0＜m＜4；
（2）当S=3时，4−m=3，
解得：m=1，
此时y=−12×1+2=32，
∴点P的坐标为(1，32)；
（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点，
∵A(4，0)，B(0,2)，
∴点P的坐标为(2,1)．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，三角形的面积，三角形中线的性质，中点坐标公式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
22．某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是1000千克．
(1)预计明年这种水果的亩产量为1440千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少；
(2)某水果店从果农处直接以每千克30元的价格批发，专营这种水果．经调查发现，若每千克的销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的销售价每降低1元，则每天可多售出50千克．设水果店一天的利润为W元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)平均每年的增长率为20%
(2)当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．
（1）设这种水果去年到明年每田产量平均每年的增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设每千克的平均销售价为m元，由题意得关于m的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设这种水果去年到明年每亩产平均每年的增长率为x，
由题意，得：1000(1+x)2=1440，
解得：x1=0.2=20%,x2=−2.2(舍去)．
答：平均每年的增长率为20%；
（2）设每千克的平均销售价为m元，由题意得：
w=(m−30)[200+50×(40−m)] =−50(m−37)2+2450,
∵−50<0,
∴当m=37时，w有最大值为2450，
答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．
23．如图，在矩形ABCO中，AB=2，BC=4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kxx>0的图象经过点D，交于点E．

(1)求k的值及直线DE的解析式；
(2)在x轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，求△PDE的面积．
【答案】(1)k=4，直线DE的关系式为y=−12x+3
(2)点P103,0
(3)43
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，理解一次函数、反比例图象上点的坐标特征以及图形面积之间的和差关系是正确解答的前提．
（1）根据矩形的性质可求出点B，点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值，进而确定点E的坐标，再根据待定系数法求出直线DE的关系式即可;
（2）求出点D关于轴的对称点D′的坐标，求出直线DE与x轴的交点即可满足△PDE的周长最小;
（3）S△PDE=S梯形ABEP−S△BDE−S△ADP进行计算即可
【详解】（1）解：1.∵在矩形ABCO中，AB=2，BC=4，
∴点B4,2，
∵点D是边AB的中点，
∴点D4,1，
∵反比例函数y1=kxx>0的图象经过点D，
∴ k=4×1=4，
∴反比例函数的关系式为y=4x，
当y=2时，即2=4x，
解得x=2，
∴点E2,2 ，
设直线DE的关系式为y=kx+b，则，
2k+b=24k+b=1
解得， k=12b=3
∴直线DE的关系式为y=−12x+3
（2）∵点D4,1关于x轴的对称点D′的坐标为4,−1，
∴直线ED′与x轴的交点即为所求的点P，此时△PDE的周长最小，
设直线ED′的关系式为y=ax+c，则
2k+b=24k+b=−1
解得， k=32b=5
∴直线ED′的关系式为y=−32x+5 ，
当y=0时，即−32x+5=0，
解得x=103，
∴直线ED′与x轴的交点P103,0，
∴当△PDE的周长最小时，点P103,0，
（3）如图，
由（1）（2）知
A0,4，B4,2，D4,1，E2,2， P103,0
∴ AB=2，AP=4−103，EB=2，BD=1，AD=1
S△PDE=S梯形ABEP−S△BDE−S△ADP
=（AP+EB）⋅AB2−BE⋅BD2−AP⋅AD21
=12×4−103+2×2−12×2×1−12×4−103×1
=43
△PDE的面积为43．
24．如图，抛物线y=−x2+c−1x+c与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点C，OC=3OA．

(1)求抛物线的解析式；
(2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线CP与抛物线的对称轴相交于点M，若△ACM是以AC为底边的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)P是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，Q、N是抛物线对称轴上两点，NQ=PN． 求证：存在确定的点N，使直线PQ与抛物线只有唯一交点P．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)P4,−5
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可得点C的坐标为C0,c，即OC=c，进而得到A−13c,0，最后把．
A两点的坐标代入抛物线y=−x2+c−1x+c求出c的值即可；
（2）如图：设抛物线的对称轴QN交x轴于点Q，过点C作CN⊥QN于点N，连接CP交NQ于点M． 则AM=CM，再求出M点的坐标；直线PC的解析式为y=−2x+3．再与y=−x2+2x+3联立即可解答；
（3）设Pt,−t2+2t+3，再求得直线PQ解析式为y=2−2tx+t2+3，则Q1,t2−2t+5，如图：过点P作PM⊥QN于点M，则M1,−t2+2t+3．设N1,n，然后再运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：当x=0时，y=c，
∴C0,c，OC=c．
∵OC=3OA，
∴OA=13c，
∴A−13c,0．
∴−−13c2+c−1−13c+c=0，解得，c=3．
∴y=−x2+2x+3．
（2）解：如图：设抛物线的对称轴QN交x轴于点Q，过点C作CN⊥QN于点N，连接CP交NQ于点M． 则AM=CM．

∵直线NQ是x=1，C0,3，
∴CN=1，AQ=2，QN=3．
∵CN2+MN2=QM2+AQ2，
∴1+3−MQ2=4+MQ2．解得：MQ=1．
∴M1,1．
设直线CP的解析式为y=kx+b，
∵C0,3，M1,1在直线上，
∴直线PC的解析式为y=−2x+3．
联立y=−x2+2x+3，得，−2x+3=−x2+2x+3，解得：x1=0，x2=4．
当x=4时，y=−5．
∴P4,−5．
（3）解：设Pt, −t2+2t+3，设直线PQ解析式为：y=px+q，
联立y=px+q,y=−x2+2x+3，
∴x2+p−2x+q−3=0．
∵唯一交点，
∴x1=x2=t．
∴2t=2−p，t2=q−3，
∴p=2−2t，q=t2+3，
∴直线PQ解析式为：y=2−2tx+t2+3．
∴Q1,t2−2t+5．
过点P作PM⊥QN于点M，则M1,−t2+2t+3．

设N1,n，PN2=PM2+MN2=NQ2，
PM=t−1，MN=n−−t2+2t+3，NQ=t2−2t+5−n，
∴t−12+n+t2−2t−32=t2−2t+5−n2．
令t−12=m，则m+n+m−42=m+4−n2．
∴m=2m8−2n，1=16−4n，
∴n=154．
∴存在点N1,154，当PN=ND时，PQ与抛物线有唯一交点P．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、等腰三角形的性质、交点标特征等知识点，正确作出辅助线以及数形结合思想是解答本题的关键．
评卷人
得分
一、单选题
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二、填空题
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三、解答题