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所属成套资源：2024年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用）
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专题01 图形的初步（1）（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）
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这是一份专题01 图形的初步（1）（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用），文件包含专题01图形的初步1分层训练全国通用原卷版docx、专题01图形的初步1分层训练全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
【基础训练】
一、单选题
1．（2022上·河南郑州·七年级校考期中）金水河是郑州最古老的河流．2500年来，金水河像一条飘带，由西向东，流淌在郑州市民身边，和郑州这座城市结下了不解之缘．近年来，市政府在金水河治理过程中，有时会将弯曲的河道改直，这一做法的主要依据是（ ）
A．两点之间，射线最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短D．两点之间，线段最短
2．（2022·陕西西安·二模）如图，在第24届北京冬奥会的口号“一起向未来”五个字及会徽被分开印刷在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与北京冬奥会会徽相对的面上的字是（ ）
A．一B．起C．向D．未
3．（2022上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）正方体的六个面上分别写有“重庆南开中学”这六个字，将正方体按三种不同的方式摆放，如图为从前米看到的三个不同的图形，则可以确定“南”字对面的字是（ ）
A．重B．庆C．开D．中
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，如图1，它有五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，共七块板，可组成一个面积是1的大正方形．图2是一个用七巧板拼成的装饰图，将其放入矩形ABCD内，则矩形内空白处的面积是（ ）
A．2−12B．22+18C．1−24D．1
5．（2022·宁夏银川·校考二模）图①是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图②的正方体，则图①中正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是（ ）
A．22B．2C．5D．1
6．（2023上·福建福州·八年级福建省福州格致中学校考期中）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．128
7．（2023上·山东淄博·六年级统考期中）如图所示是一个正方体包装盒的表面展开图，如在其中的三个正方形A，B，C内分别填上适当的数，使得这个表面展开图折成正方体后，相对面上的数相加和为6，则填在A，B，C内的三个数依次是（ ）．
A．5，3，4B．3，4，5C．4，3，5D．5，4，3
8．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）如图，直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A．−4,0B．−3,0C．−2,0D．−1,0
9．（2023·广东广州·统考一模）下列说法正确的是（ ）
A．直线BA与直线AB是同一条直线B．延长直线AB
C．射线BA与射线AB是同一条射线D．直线AB的长为2cm
10．（2023·黑龙江佳木斯·校考二模）△ABC中，AC=BC=4,∠ACB=90∘,D是BC边上的中点，E是AB上的一个动点，则EC+ED的最小值为（ ）
A．4B．25C．42D．22+2
11．（2023·河北沧州·统考一模）如图，是某几何体的展开图，AD=16π，则r=（ ）
A．2B．4C．8D．16
12．（2023上·广东佛山·七年级统考期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（ ）
A．几何体是三棱锥B．几何体有6条侧棱
C．几何体的侧面是三角形D．几何体的底面是三角形
13．（2023·北京平谷·统考一模）展开图可能是如图的几何体是（ ）
A．三棱柱B．圆柱C．四棱柱D．圆锥
14．（2023上·内蒙古赤峰·七年级统考期末）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“赤”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．建B．设C．美D．丽
15．（2023·河南南阳·统考二模）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考期末）如图，AB=10，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则MN= ．
17．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点E，F分别是AB，AD的中点，OB=OC=EF，OF=EB，用这四块纸片拼成一个与正方形ABCD不重合的长方形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则长方形MNPQ的周长是 ．
18．（2023上·江苏常州·七年级常州市兰陵中学校考阶段练习）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有 个；各面都没有涂色的有 个．
19．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一动点．△A′B′C≌△ABC，将△A′B′C绕点C按逆时针方向旋转，点E是边A′C的中点，则PE长度的最小值为 ．
20．（2023上·云南曲靖·七年级阶段练习）如图，请你在有序号的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，你选择的两个正方形是 (填序号，任填一组即可)．
21．（2023·湖南永州·中考真题）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB=60°，在∠AOB内有一点P4,3，M，N分别是OA,OB边上的动点，连接PM,PN,MN，则△PMN周长的最小值是 ．
22．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝65，BD、CE为△ABC的两条中线，且BD⊥CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM+BC的最小值为 ．
23．（2022上·宁夏银川·八年级校考阶段练习）如图，直线l是一条河，A，B两地到l的距离AC和BD分别长为5km，7km，且CD=5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，其中铺设最短的管道长是 ．
24．（2023下·广东河源·八年级统考期末）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EM+CM的最小值为 ．
25．（2022·广东·校联考模拟预测）如图，在ΔABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，∠ABC的平分线交线段DE于点F，若AB=6，BC=9，则线段EF的长为 ．
三、解答题
26．（2023上·江西抚州·八年级江西省临川第三中学校考阶段练习）如图，已知正方体纸盒的表面积为12cm2；
（1）求正方体的棱长；
（2）剪去盖子后，插入一根长为5cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多少？
（3）一只蚂蚁在纸盒的表面由A爬到B，求蚂蚁行走的最短路线.
27．（2022·河北邢台·统考一模）已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是4，﹣6，x．
(1)求线段AB的长；
(2)若点A与点C关于点B对称，求x的值．
28．（2023·江苏泰州·高港实验学校校考二模）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．
（1）求证：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG＋EF的最小值．
29．（2023·陕西西安·统考三模）问题提出
（1）如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上作一点P，使得AP+BP的值最小．
问题探究
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是_________．
问题解决
（3）现在各大景区都在流行“真人CS”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为12m的正方形ABCD场地中，游戏者从AB边上的点E处出发，分别先后赶往边BC,CD,DA上插小旗子，最后回到点E．求游戏者所跑的最少路程．
30．（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，M、N分别为AC、BD的中点．
(1)若AB=10cm，CD=4cm，求AC+BD的长及M、N的距离．
(2)如果AB=a，CD=b，用含a、b的式子表示MN的长．
31．（2023上·山西太原·七年级成成中学校考阶段练习）A、B两点之间的距离表示为AB，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，在数轴上A，B两点之间的距离AB=a−b．
请用上面的知识解答下列问题：
（1）数轴上表示2和6的两个点之间的距离是__________，数轴上表示−1和−3的两点之间的距离是__________，数轴上表示2和−3的两点之间的距离是__________．
（2）数轴上表示x和−2的两点C和D之间的距离是_________；如果CD=3，那么x为__________．
（3）求x+1+x−2的最小值．
32．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1；
(2)在直线m上画一点P，使得△ACP的周长值最小，周长最小值为_________．（简要叙述点P的画法）
33．（2023·河北石家庄·校考三模）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．
（1）点A表示的数是： ；点B表示的数是： ．
（2）A，B两点间的距离是 个单位，线段AB中点表示的数是 ．
（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数．
34．（2023上·七年级课时练习）在桌面上放了一个正方体盒子，如图，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？要是爬到顶点C呢？
【能力提升】
35．（2022上·河南周口·七年级校考阶段练习）（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；
（2）若点C是直线AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）
36．（2022上·江苏苏州·七年级统考期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，AB=12，AC=13AB．
(1)点A表示的数是______；
(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；
(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当MC=2QB时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
37．（2022上·贵州黔西·七年级统考期末）【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是0+3t；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是0−2t．
【探究】已知数轴上A,B两点表示的数分别为a,b，且a,b分别为−4,8．
(1)如图1，若点P和点Q分别从点A,B同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒．
①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________；
②当P,Q两点之间的距离为4时，则t的值为_______．
(2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，M,N分别是线段AP,BP的中点，则在运动过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请直接写出线段MN的长度；若不是，请说明理由．
38．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如下图，某学校计划在校内一道路旁建造超市，将地图简化，如图1所示，宿舍楼A与校内道路l的距离AM为50米，教学楼B与校内道路l的距离BN为160米，MN=210米，现要在校内道路旁建造一超市．
(1)请在图1中画出点P（点P在道路l上，道路宽度忽略不记），使学生从宿舍楼A走到超市P，再走到教学楼所走路程最短，并求出最短路程．
(2)如图2所示，若宿舍楼A和教学楼B之间有一面70米长的校园文化墙CD，文化墙CD垂直于校内道路l，D到校内道路l的距离DR为40米，MR=120米，RN=90米，现在依然要求学生从宿舍楼A走到超市P，再走到教学楼B所走路程最短．
①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙CD这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为A′P2+P2B>A′P1+P1B，并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整：
证明：如图4，延长A′P1交BP2于点I，
∵A′P2+P2B=A′P2+P2I+IB，A′P2+P2I>A′I
∴A′P2+P2B>A′I+IB
又∵A′I+IB=A′P1+P1I+IB，________，
∴A′I+IB>A′P1+P1B
∴A′P2+P2B>A′P1+P1B
②如图5，延长BD交校内道路l于点T，过A作AX⊥l于点X，Y是l上T右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市P的位置应位于________（从以下四个选项中选择）．
A．X左侧 B．线段XT上 C．线段TY上（不含点T） D．Y右侧
③请在图6中画出超市P的位置，并求出最短路程．
39．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S梯形ABCD= ，S△EBC= ，S四边形AECD= ，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距150米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD=50米，BC=30米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当040．（2023·浙江金华·七年级期中）如图1，在直线l上依次取点C,A,B,D，点M、N分别是线段AC,BD的中点，AB=3cm,CD=9cm．
（1）求线段MN的长．
（2）如图1，若线段AB以1cm/s速度沿直线l向左运动，设运动时间为t，试探究线段MN的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图2求线段MN的长度，如果不变，通过图2计算说明理由．
（3）如图1，若线段AB以1cm/s速度沿直线l向右运动，设运动时间为t，试探究线段MN的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图3求线段MN的长度，如果不变，通过图3计算说明理由．
【基础训练】
一、单选题
1．（2022上·河南郑州·七年级校考期中）金水河是郑州最古老的河流．2500年来，金水河像一条飘带，由西向东，流淌在郑州市民身边，和郑州这座城市结下了不解之缘．近年来，市政府在金水河治理过程中，有时会将弯曲的河道改直，这一做法的主要依据是（ ）
A．两点之间，射线最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短D．两点之间，线段最短
2．（2022·陕西西安·二模）如图，在第24届北京冬奥会的口号“一起向未来”五个字及会徽被分开印刷在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与北京冬奥会会徽相对的面上的字是（ ）
A．一B．起C．向D．未
3．（2022上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）正方体的六个面上分别写有“重庆南开中学”这六个字，将正方体按三种不同的方式摆放，如图为从前米看到的三个不同的图形，则可以确定“南”字对面的字是（ ）
A．重B．庆C．开D．中
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，如图1，它有五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，共七块板，可组成一个面积是1的大正方形．图2是一个用七巧板拼成的装饰图，将其放入矩形ABCD内，则矩形内空白处的面积是（ ）
A．2−12B．22+18C．1−24D．1
5．（2022·宁夏银川·校考二模）图①是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图②的正方体，则图①中正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是（ ）
A．22B．2C．5D．1
6．（2023上·福建福州·八年级福建省福州格致中学校考期中）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．128
7．（2023上·山东淄博·六年级统考期中）如图所示是一个正方体包装盒的表面展开图，如在其中的三个正方形A，B，C内分别填上适当的数，使得这个表面展开图折成正方体后，相对面上的数相加和为6，则填在A，B，C内的三个数依次是（ ）．
A．5，3，4B．3，4，5C．4，3，5D．5，4，3
8．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）如图，直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A．−4,0B．−3,0C．−2,0D．−1,0
9．（2023·广东广州·统考一模）下列说法正确的是（ ）
A．直线BA与直线AB是同一条直线B．延长直线AB
C．射线BA与射线AB是同一条射线D．直线AB的长为2cm
10．（2023·黑龙江佳木斯·校考二模）△ABC中，AC=BC=4,∠ACB=90∘,D是BC边上的中点，E是AB上的一个动点，则EC+ED的最小值为（ ）
A．4B．25C．42D．22+2
11．（2023·河北沧州·统考一模）如图，是某几何体的展开图，AD=16π，则r=（ ）
A．2B．4C．8D．16
12．（2023上·广东佛山·七年级统考期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（ ）
A．几何体是三棱锥B．几何体有6条侧棱
C．几何体的侧面是三角形D．几何体的底面是三角形
13．（2023·北京平谷·统考一模）展开图可能是如图的几何体是（ ）
A．三棱柱B．圆柱C．四棱柱D．圆锥
14．（2023上·内蒙古赤峰·七年级统考期末）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“赤”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．建B．设C．美D．丽
15．（2023·河南南阳·统考二模）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考期末）如图，AB=10，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则MN= ．
17．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点E，F分别是AB，AD的中点，OB=OC=EF，OF=EB，用这四块纸片拼成一个与正方形ABCD不重合的长方形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则长方形MNPQ的周长是 ．
18．（2023上·江苏常州·七年级常州市兰陵中学校考阶段练习）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有 个；各面都没有涂色的有 个．
19．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一动点．△A′B′C≌△ABC，将△A′B′C绕点C按逆时针方向旋转，点E是边A′C的中点，则PE长度的最小值为 ．
20．（2023上·云南曲靖·七年级阶段练习）如图，请你在有序号的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，你选择的两个正方形是 (填序号，任填一组即可)．
21．（2023·湖南永州·中考真题）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB=60°，在∠AOB内有一点P4,3，M，N分别是OA,OB边上的动点，连接PM,PN,MN，则△PMN周长的最小值是 ．
22．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝65，BD、CE为△ABC的两条中线，且BD⊥CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM+BC的最小值为 ．
23．（2022上·宁夏银川·八年级校考阶段练习）如图，直线l是一条河，A，B两地到l的距离AC和BD分别长为5km，7km，且CD=5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，其中铺设最短的管道长是 ．
24．（2023下·广东河源·八年级统考期末）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EM+CM的最小值为 ．
25．（2022·广东·校联考模拟预测）如图，在ΔABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，∠ABC的平分线交线段DE于点F，若AB=6，BC=9，则线段EF的长为 ．
三、解答题
26．（2023上·江西抚州·八年级江西省临川第三中学校考阶段练习）如图，已知正方体纸盒的表面积为12cm2；
（1）求正方体的棱长；
（2）剪去盖子后，插入一根长为5cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多少？
（3）一只蚂蚁在纸盒的表面由A爬到B，求蚂蚁行走的最短路线.
27．（2022·河北邢台·统考一模）已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是4，﹣6，x．
(1)求线段AB的长；
(2)若点A与点C关于点B对称，求x的值．
28．（2023·江苏泰州·高港实验学校校考二模）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．
（1）求证：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG＋EF的最小值．
29．（2023·陕西西安·统考三模）问题提出
（1）如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上作一点P，使得AP+BP的值最小．
问题探究
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是_________．
问题解决
（3）现在各大景区都在流行“真人CS”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为12m的正方形ABCD场地中，游戏者从AB边上的点E处出发，分别先后赶往边BC,CD,DA上插小旗子，最后回到点E．求游戏者所跑的最少路程．
30．（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，M、N分别为AC、BD的中点．
(1)若AB=10cm，CD=4cm，求AC+BD的长及M、N的距离．
(2)如果AB=a，CD=b，用含a、b的式子表示MN的长．
31．（2023上·山西太原·七年级成成中学校考阶段练习）A、B两点之间的距离表示为AB，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，在数轴上A，B两点之间的距离AB=a−b．
请用上面的知识解答下列问题：
（1）数轴上表示2和6的两个点之间的距离是__________，数轴上表示−1和−3的两点之间的距离是__________，数轴上表示2和−3的两点之间的距离是__________．
（2）数轴上表示x和−2的两点C和D之间的距离是_________；如果CD=3，那么x为__________．
（3）求x+1+x−2的最小值．
32．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1；
(2)在直线m上画一点P，使得△ACP的周长值最小，周长最小值为_________．（简要叙述点P的画法）
33．（2023·河北石家庄·校考三模）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．
（1）点A表示的数是： ；点B表示的数是： ．
（2）A，B两点间的距离是 个单位，线段AB中点表示的数是 ．
（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数．
34．（2023上·七年级课时练习）在桌面上放了一个正方体盒子，如图，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？要是爬到顶点C呢？
【能力提升】
35．（2022上·河南周口·七年级校考阶段练习）（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；
（2）若点C是直线AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）
36．（2022上·江苏苏州·七年级统考期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，AB=12，AC=13AB．
(1)点A表示的数是______；
(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；
(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当MC=2QB时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
37．（2022上·贵州黔西·七年级统考期末）【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是0+3t；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是0−2t．
【探究】已知数轴上A,B两点表示的数分别为a,b，且a,b分别为−4,8．
(1)如图1，若点P和点Q分别从点A,B同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒．
①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________；
②当P,Q两点之间的距离为4时，则t的值为_______．
(2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，M,N分别是线段AP,BP的中点，则在运动过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请直接写出线段MN的长度；若不是，请说明理由．
38．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如下图，某学校计划在校内一道路旁建造超市，将地图简化，如图1所示，宿舍楼A与校内道路l的距离AM为50米，教学楼B与校内道路l的距离BN为160米，MN=210米，现要在校内道路旁建造一超市．
(1)请在图1中画出点P（点P在道路l上，道路宽度忽略不记），使学生从宿舍楼A走到超市P，再走到教学楼所走路程最短，并求出最短路程．
(2)如图2所示，若宿舍楼A和教学楼B之间有一面70米长的校园文化墙CD，文化墙CD垂直于校内道路l，D到校内道路l的距离DR为40米，MR=120米，RN=90米，现在依然要求学生从宿舍楼A走到超市P，再走到教学楼B所走路程最短．
①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙CD这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为A′P2+P2B>A′P1+P1B，并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整：
证明：如图4，延长A′P1交BP2于点I，
∵A′P2+P2B=A′P2+P2I+IB，A′P2+P2I>A′I
∴A′P2+P2B>A′I+IB
又∵A′I+IB=A′P1+P1I+IB，________，
∴A′I+IB>A′P1+P1B
∴A′P2+P2B>A′P1+P1B
②如图5，延长BD交校内道路l于点T，过A作AX⊥l于点X，Y是l上T右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市P的位置应位于________（从以下四个选项中选择）．
A．X左侧 B．线段XT上 C．线段TY上（不含点T） D．Y右侧
③请在图6中画出超市P的位置，并求出最短路程．
39．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S梯形ABCD= ，S△EBC= ，S四边形AECD= ，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距150米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD=50米，BC=30米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当0
（1）求线段MN的长．
（2）如图1，若线段AB以1cm/s速度沿直线l向左运动，设运动时间为t，试探究线段MN的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图2求线段MN的长度，如果不变，通过图2计算说明理由．
（3）如图1，若线段AB以1cm/s速度沿直线l向右运动，设运动时间为t，试探究线段MN的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图3求线段MN的长度，如果不变，通过图3计算说明理由．
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