山东省青岛市2024届高三下学期模拟预测数学试卷(含答案)

这是一份山东省青岛市2024届高三下学期模拟预测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．若,且是纯虚数,则( )
A.B.1C.D.2
3．已知,,则的最小值为( )
A.6B.5C.4D.3
4．已知正方形ABCD的边长为2,正方形ABCD的内切圆上有一动点E,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．定义在R上的函数的导函数为,且,,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
6．6名同学排成一排,其中甲与乙互不相邻,丙与丁必须相邻的不同排法有( )
A.72种B.144种C.216种D.256种
7．已知椭圆的左､右焦点分别为,,点M在椭圆C上,当的面积最大时,内切圆半径为( )
A.1B.2C.D.5
8．已知O为坐标原点，直线：与y轴交于点M，与直线：交于点N，若的内角平分线过点P，且，则P不在直线( )上
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列是数列的前n项和.以下说法正确的是( )
A.B.是数列的第8项
C.当时,最大D.是公差为的等差数列
10．如图AB为圆O的直径,点C在圆周上（异于A,B点）,直线PA垂直于圆所在的平面,点M为线段PB的中点,则以下四个命题正确的是( )
A.B.平面PAB
C.平面PACD.平面平面PBC
11．已知双曲线C过点,且渐近线方程为,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C的实轴长是D.双曲线C的虚轴长是1
三、填空题
12．已知随机变量,且,则的展开式中常数项为___________.
13．计算:________.
14．已知平行四边形ABCD中,点M为线段CD的中点,AM交BD于点N,若,则________.
四、解答题
15．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求A;
（2）若内一点P满足:,,且,求.
16．已知数列的前n项和为,满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）记,数列的前n项和为,证明:.
17．在四棱锥中,平面平面ABCD,底面ABCD是边长为的正方形,,取AD的中点O,连接OP.请建立适当的空间直角坐标系,并解答下列问题:
（1）求异面直线PB与AD所成角的余弦值;
（2）求PD与平面PBC所成角的正弦值.
18．函数满足，，且与直线相切.
（1）求实数a，b，c的值；
（2）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
19．已知点,动点M满足.
（1）求动点M的轨迹方程;
（2）记动点M的轨迹为C,若A,B是C上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.
参考答案
1．答案：A
解析：若数列,都是等比数列,设其公比分别为q,p(q,p为常数),
则,,
所以当时,,为常数,
由等比数列的定义知,数列是以为首项,以为公比的等比数列,
故充分性成立;
若数列是等比数列,设,
当,时,满足,
但、都不是等比数列,故必要性不成立.
所以“数列、都是等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.
故选:A
2．答案：B
解析：设,,
则
因为是纯虚数,可得,即,所以.
故选：B.
3．答案：D
解析：由于,,所以,
由,
（当且仅当时取等号）,可得的最小值为3,
故选:D.
4．答案：B
解析：如图,建立平面直角坐标系,得,,
因为圆为单位圆,所以设,其中,
则,,
则.
故选:B
5．答案：B
解析：,且,可得,
故原不等式等价于,
构建,则,
,则恒成立,
在定义域内单调递减,且,
则对于,解得,
故不等式的解集为.
故选:B.
6．答案：B
解析：先将丙与丁看成一“个”人,与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空,
在其中选2个给甲和乙,有种方法;
再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排,有种排法;
最后将丙丁“松绑”,有种方法,由分步计数原理,可得不同排法数为:种.
故选:B.
7．答案：C
解析：由椭圆,得,,,
当的面积最大时,M为椭圆C的短轴的一个顶点,
不妨设为上顶点,点O为坐标原点,内切圆半径为r,
则,,,
则,
解得.
故选:C.
8．答案：C
解析：依题意，，联立，解得；
因为的内角平分线过点P，故存在，使得，
则，解得，故，
即，代入可得C不满足.
故选：C.
9．答案：BC
解析：由等差数列的首项,公差,可得,
对于A中,根据题意,可得,所以公差为,
所以数列的通项公式为,所以A错误;
对于B中,由,令,解得,所以B正确;
对于C中,令,解得,所以或时,取得最大值,所以C正确;
对于D中,由,可得,所以是公差为,所以D错误.
故选:BC.
10．答案：CD
解析：对于A,假设,由已知可得,
又,PA,平面PAB,平面PAB,而平面PAB,则,与是锐角矛盾,故A错误;
对于B,点C是圆周上的任意一点,OC与AB不一定垂直,
若平面PAB,则OC一定与AB垂直,故B错误;
对于C,点M为线段PB的中点,点O为AB的中点,,
而平面PAC,PA⊂平面PAC,平面PAC,故C正确;
对于D,PA垂直于圆所在的平面,,由已知得,
且,PA,平面,平面PAC,而平面PBC,则平面平面PBC,故D正确.
故选:CD.
11．答案：AC
解析：对于A,设双曲线方程为,
将点代入,可得,
又双曲线的渐近线方程为,所以,
联立,解得,所以双曲线的方程为,故A正确;
对于B,因为双曲线C为,所以,,,
所以双曲线C的离心率为,故B错误;
对于C,因为,所以双曲线C的实轴长是,故C正确;
对于D,因为,所以双曲线C的虚轴长是2,故D错误.
故选:AC.
12．答案：1215
解析：,,
,.
展开式第项：
,.
故答案为：1215.
13．答案：0
解析：由题意.
故答案为:0.
14．答案：/
解析：作图如下,
则,
故,,.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理及,
得,
又,所以,
故,
即.
又因为,所以,
又,解得.
（2）因为,,
所以,
设,
则
,
即,
在中,由正弦定理,得;
在中,由正弦定理,得;
则,
所以,
解得.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）,,
由及,
得,即,
是以2为首项,2为公比的等比数列,
;
（2）,
,从而,
,
;
又,
,
综上所述:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,且O为AD的中点,
,
又平面平面ABCD,且平面平面,
则平面ABCD,
取BC中点E,
则,
则以O为坐标原点,OE,OD,OP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
则,,
则,
所以异面直线PB与AD所成角的余弦值为;
（2）由（1）得,
则,,,
设平面PBC的法向量为,
则,即,
令,则,
,
所以PD与平面PBC所成角的正弦值为.
18．答案：（1），，
（2）
解析：（1）因为，，
，
又，，
所以有，解得，所以，.
因为函数与直线相切，设切点为，
则，，
即，解得，所以，，，，
所以.
（2）由（1）知，，即.
当时，，解得或（舍去）；
当时，有，，
所以有，整理可得，
因为，所以，即.
所以，是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，，.
则不等式对于任意恒成立，可转化为
，
即对于任意恒成立.
①当n为偶数时，即有恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，此时有；
②当n为奇数时，即有恒成立，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，，
所以当n为奇数时，最小值为.
所以，，即有.
综上所述，.
19．答案：（1）
（2）1
解析：（1）因为,
由双曲线定义可知:点M的轨迹是以,为焦点的双曲线的右支,
所以,,
所以动点M的轨迹方程为:.
（2）①当直线AB斜率不存在时,设直线AB方程为:,
此时,
所以;
②当直线AB斜率存在时,设直线AB方程为:,
代入双曲线C方程可得:,
可知其有两个不等的正实数根,,
解得:,
所以
.
由得,
,
综上所述,的最小值为1.