山东省临沂第一中学2024届高三下学期高考模拟数学试卷(含答案)

这是一份山东省临沂第一中学2024届高三下学期高考模拟数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若偶函数在区间上单调递减，则( )
A.B.
C.D.
2．已知函数,则“”是“函数为奇函数”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知抛物线的焦点为F,M是抛物线E上一点,N是圆上一点,则的最小值为( )
A.4B.5C.6D.7
4．设M,N,U均为非空集合,且满足,则( )
A.MB.NC.D.
5．若x,,则的最小值为( )
A.B.C.D.
6．已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面,底面为正三角形,侧棱长与底面边长之比为,顶点都在一个球面上,若三棱柱的侧面积为162,则该球的表面积为( )
A.B.C.D.
7．如图,是边长为6的等边三角形,点P在所在平面外,平面平面,点D是棱的中点,点E,F分别在棱,上,且,,,现给出下列四个结论:①平面;②是定值;③三棱锥体积的最大值是;④若三棱锥的体积是,则该三棱锥外接球的表面积是.其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
8．如图所示,正方形的边长为2,切去阴影部分围成一个正四棱锥,则正四棱锥的侧面积取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知双曲线,对于且,则下列四个选项中因k改变而变化的是( )
A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程
10．为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
11．围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈,围棋也”,因此,“对弈"在当时特指下围棋,现甲与乙对弈三盘,每盘赢棋的概率是,其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘,每盘赢棋的概率是,而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立,甲与乙､丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和,则以下结论正确的是( )
A.
B.当时,
C.,使得对,都有
D.当时,
三、填空题
12．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”,如果函数,,（）的“新驻点”分别为,,,那么,,的大小关系是__________________.
13．点S、A、B、C在半径为的同一球面上,点S到平面ABC的距离为,,则点S与中心的距离为_____________.
14．已知正四棱柱的底面边长,侧棱长,它的外接球的球心为O,点E 是的中点,点P是球O上的任意一点,有以下命题：
①的长的最大值为9;
②三棱锥的体积的最大值是;
③存在过点E的平面,截球O的截面面积为;
④三棱锥的体积的最大值为20;
⑤过点E的平面截球O所得的截面面积最大时,垂直于该截面.
其中是真命题的序号是___________.
四、解答题
15．随机调查了200名高中生是否喜欢看篮球比赛,得到如下的列联表：
(1)能否有99%的把握认为“高中生是否喜欢看篮球比赛与性别有关”;（运算结果保留三位小数）
(2)用分层抽样的方法从喜欢看篮球比赛的120名学生中抽取6名学生,再从这6名学生中随机选取3人,设这3人中男生的人数为,求随机变量的分布列与期望.
附：
16．已知函数,其图象的一个对称中心是,将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
（1）求函数的解析式;
（2）若对任意,,当时,都有,求实数t的最大值;
（3）若对任意实数a,在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个,求实数的取值范围.
17．如图,已知空间四边形每条边长和对角线长都等于1,E,F,G分别是,,的中点.
(1)求证：;
(2)求的长;
(3)求异面直线和所成角的余弦值.
18．在探究函数,的最值中,
（1）先探究函数在区间上的最值,列表如下：
观察表中y值随x值变化的趋势,知________时,有最小值为_______;
（2）再依次探究函数在区间上以及区间上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？）,请写出你的探究结论,不必证明;
（3）请证明你在（1）所得到的结论是正确的.
19．已知圆：,点M是圆E上的动点,点,N为的中点,过N作交ME于S,设点S的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点的动直线l与曲线C相交于A,B两点.在平面直角坐标系中,是否存在与点P不同的定点Q,使恒成立？若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：因为为偶函数，所以，.因为，且在区间上单调递减，所以.
2．答案：C
解析：,所以,
函数为奇函数,
所以,所以.
所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.
故选：C.
3．答案：B
解析：如图所示,圆的圆心为,半径为,
直线l是抛物线的准线,过M作于H,则,
所以,
当且仅当C,M,H三点共线时,等号成立,
此时取得最小值为.
故选：B.
4．答案：D
解析：,
所以.
故选：D.
5．答案：A
解析：设点是函数图象上的点,点是直线上的点,
则可以转化为P,Q两点之间的距离,
即,
因为,设函数在点处的切线与直线l平行,
则直线的斜率为1,可得,整理得,
令,则,当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
且当时,,,当时,
所以有且仅有一个零点,
方程有且仅有一个解,则,
故的最小值为点到直线的距离,
即的最小值为.
故选：A.
6．答案：C
解析：由题意,设球的半径为,底面三角形边长为,
因为侧棱长与底面边长之比为,
所以侧棱长为,因为三棱柱的侧面积为162,
即满足,解得,
可知侧棱长为9,底面边长为6,如图所示,
设N,M分别是上､下底面的中心,MN的中点O是三棱柱外接球的球心,
则,,
,
所以.
故选：C.
7．答案：D
解析：对于①：如图取的中点M,连接,因为是边长为6的等边三角形,
所以,因,所以,又因为,所以,所以,因为平面平面,平面平面,
面,所以平面,故①正确;
对于②：连接,,因为平面,平面,所以,
因为,所以,又因为,所以,,,所以
为定值,故②正确;
对于③：因为三棱锥的高,当面积最大时三棱锥体积的最大值,当时面积最大,所以体积最大为
,故③正确;
对于④：取的中心G,则,过点G作面的垂线,垂足为G,设球心为O,则点O在垂线上,设,外接球的半径为R,
,过点P作的平行线交于点N,
则,则在中,,
在中,,解得：,所以,
所以外接球的表面积为,故④正确;所以正确的有4个,
故选：D.
8．答案：D
解析：设四棱锥一个侧面为三角形,,
则,
,,
,,
,
（当且仅当,即时取等号）而,故,
时,三角形是等腰直角三角形,
顶角,阴影部分不存在,折叠后A与O重合,构不成棱锥,
S的范围为.
故选：D.
9．答案：AC
解析：双曲线,且,
,,
焦距为,离心率,顶点坐标,渐近线方程为：.
因k改变而变化的是焦距和顶点坐标.
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确;
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确;
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为
(万元),超过6.5万元,故C错误;
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABC
解析：对于A,根据题意,甲与乙对弈只赢一盘的概率为,只赢两盘的概率为,
则,解得,故,
甲与丙对弈只赢一盘的概率为,只赢两盘的概率为,
则,解得,故,
故,则A正确;
对于B,由得,
则,即,
又,所以,所以,故B正确;
对于C,,使得对,结合B分析,只满足,都有,故C正确;
对于D,令,则,化简为,
故,即,
又因为,则,即,故D错误,
故选：ABC.
12．答案：
解析：,由,得;,由,得
由,,由零点存在定理得;,
由得,即,,,.
13．答案：
解析：如图所示：
设的外接圆的圆心为M,
连接,过S作于点E.
因为.
所以的外接圆半径.
所以.
因为点S到平面ABC的距离为,平面,
所以,即
在中： .
所以 .
故填：.
14．答案：①③④
解析：外接球半径为：,,
故的最大值为,①正确;
,高,故,②错误;
当截面与垂直时,,故,故③正确;
,,故,故④正确;
当过点E的平面截球O所得的截面面积最大时,截面过直线,,故⑤错误.
故答案为：①③④.
15．答案：（1）有99％的把握认为“高中生是否喜欢看篮球比赛与性别有关”
（2）2
解析：（1）,
有99％的把握认为“高中生是否喜欢看篮球比赛与性别有关”;
（2）由分层抽样可知6名学生中男生有4人,女生有2人,
X所有可能的取值为1,2,3,
,,,
故随机变量X的分布列为：
.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为函数,其图象的一个对称中心是,
所以有,,,的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
所以;
（2）由,
构造新函数为,由题意可知：任意,,当时,
都有,说明函数在上是单调递增函数,而的单调递增区间为：
,而,
所以单调递增区间为：,因此实数t的最大值为：;
（3）,其最小正周期,
而区间的长度为,
直线的交点个数不少于6个且不多于10个,则,且,
解得：.
17．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）设,,,则,,
所以,
所以
,
所以,即.
（2）因为,
所以
,
所以,即的长为.
（3）由题意得,,均为等边三角形且边长为1,
所以,
又,,
所以
,
设异面直线和所成角为,
则.
所以异面直线和所成角的余弦值为.
18．答案：(1)4
(2)见解析
(3)见解析
解析：(1)观察知,在的左侧, y值随x值增大而减小,
在的右侧,y值随x值增大而增大,处对应的函数值最小.
所以从表格中y值随x值变化的趋势看,时,有最小值为4.
(2)由(1)探究知,当时,有最小值为4.
,
,则是奇函数,
如图,由奇函数的图象关于原点对称,得在上有最大值-4,此时.
在的值域为.
在既无最大值,也无最小值.
(3)由(1)表格中的数值变化猜想：在区间单调递减,在区间单调递增,
当时,有最小值为4.
下面先证明在上单调递减.
设,是内的任意两个实数,且,
则
,
,,,,
,且,
,即,
又在上单调递减.
同理可证,在上单调递增.
在区间单调递减,在区间单调递增,当时,有最小值为4.
19．答案：（1）
（2）存在与点P不同的定点,使得恒成立,具体见解析.
解析：（1）依题意可知圆E的标准方程为,圆心,
因为线段的垂直平分线交于点S,所以,
动点S始终满足,故动点S满足椭圆的定义,
曲线C是以E,F为焦点的椭圆,设椭圆方程为,
因此,,解得,,
椭圆C的方程为.
（2）存在与点P不同的定点,使得恒成立.理由如下：
当直线l与x轴平行时,由椭圆的对称性可知,
又因为得,则,从而点Q必在y轴上,可设,
当直线l与x轴垂直时,则,,如果存在定点Q满足条件,
由,即,解得或,
若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只能是;
当直线l不平行于x轴且不垂直与x轴时,可设直线l的方程为,
联立,消去y并整理得：,
,设A、B的坐标分别为、,
,,
又点B关于y轴对称的点的坐标为,
又,,
,则Q、A、三点共线,;
故存在与点P不同的定点,使得恒成立.
喜欢
不喜欢
总计
男
80
20
100
女
40
60
100
总计
120
80
200
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
x
···
0.1
0.2
0.5
0.7
0.9
1
1.1
1.2
1.3
2
3
4
5
···
y
···
30.00
15.01
6.13
4.63
4.06
4.00
4.06
4.23
4.50
9.50
28.00
64.75
125.60
···
X
1
2
3
P