2025届宁夏回族自治区银川一中高三上学期八月开学复习巩固测试数学试题

这是一份2025届宁夏回族自治区银川一中高三上学期八月开学复习巩固测试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将集合变形，再根据集合间的关系及并集和交集的定义即可得解.
【详解】因为，
所以，且.
故选：C.
2．若正数，满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】由正数，满足，
得，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选：B
3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围.
【详解】由函数的定义域为，
设，则，
又单调递增，
当时，，，无单调性，不成立；
当时，在和上单调递增，
即在和上单调递增，
所以，则，即；
当时，在和上单调递减，
即在和上单调递减，不成立；
综上所述，
故选：C.
4．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.1B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件结合正态密度曲线的对称性可得，结合条件可求.
【详解】因为随机变量服从正态分布，
所以随机变量的均值,
所以随机变量的密度曲线关于对称，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
故选：A.
5．设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由运算“Δ”和“”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确.
【详解】由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数，
表示数、比较大的数．
当，时，，故选项A、C错误；
当时，，故选项B错误．
∵，且，∴，
∵，，∴，故选项D正确．
故选：D
6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由分段函数在两个区间上的单调性分别求出的范围，再考虑由时左右函数值的大小关系得到的的范围，求其交集即得
【详解】当时， ,依题须使恒成立，则；
当时，由在上递增，须使，即；
又由解得 .
综上可得，的取值范围是.
故选：C.
7．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择．
【详解】当时，，，则，排除选项B和C；
当时，，排除选项A，选项D符合题意.
故选：D
8．已知函数，，则存在，使得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意求出函数在区间上的值域，由此即可判断A，D；设，求导研究的单调性，进一步得到在上的值域,从而判断B；设结合零点存在定理判断在上是否存在零点，从而判断C.
【详解】当时，，，所以，
即，（一个正数乘以一个小于1的正数，积一定小于这个数）故排除A，D．
对于B，设，则．
因为当时，，所以，即，
所以在上单调递减，．
又当时，，，
所以，所以，即，故B错误．
对于C，令，因为，，且函数的图象是连续不断的，
所以函数在内存在零点，即存在，使得，
即存在，使得，故C正确.
故选：C．
【点睛】方法点睛：复合函数求导的一般步骤：（1）分析清楚函数是由哪些函数复合成的，也就是找出，，使得；（2）分别求对的导数和对的导数，再根据复合函数的求导法则，得到，注意最后结果中要把写成的形式．
二、多选题
9．在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么可能经过（ ）个小时会“药物失效”．（参考数据：）
A．5B．6C．7D．8
【答案】CD
【分析】设至少经过个小时才会“药物失效”，由题意可得，两边取对数求出答案.
【详解】依题意药物实验中，血液中药物含量为，即药物含量为，
设至少经过个小时才会“药物失效”，
根据题意可得，两边取对数得，
可得，
所以至少经过个小时才会“药物失效”，故符合题意的有C、D.
故选：CD.
10．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，，则
B．若，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】BCD
【分析】，，得到A选项；，得到B选项；由条件概率公式得到C、D选项.
【详解】选项A：因为，所以，选项A不正确；
选项B：若，则A，B互斥，由，，
得，选项B正确；
选项C：由，即,事件A，B相互独立，所以事件，也相互独立，
所以，
则，选项C正确；
选项D：由，，
得，，，
所以，
解得，选项D正确.
故选：BCD.
11．定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．
D．在上单调递增
【答案】BC
【分析】对于A，赋值令，求解；对于B，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C,赋值令，再令，再变形即可；对于D，赋值令，结合时，，举反例可解.
【详解】令，得到，则.故A错误.
令，得到，
则，
则或,
由于当时，，则此时，
故时，，故时，，所以，
而，故对任意恒成立，则关于对称.
可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位.
则的图象关于点对称，故B正确.
令，得到，
则.
令，得到
令，得到，
两式相减得，
变形，
即,
时，，两边除以，
即，故C正确.
令，则，
时，，则，
且，则，即.故D错误.
故选：BC.
【点睛】难点点睛：解答此类有关函数性质的题目，难点在于要结合抽象函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质.
三、填空题
12．已知点P在曲线上，过点P的切线的倾斜角为，则点P的坐标是 .
【答案】
【分析】由切线的倾斜角求出切线的斜率，利用切线的斜率等于该点的导函数值，可求得切点坐标.
【详解】设，由导数的定义易求得，
由于在曲线上，函数为二次函数，
过点的切线即是点处的切线，故，即，则.
故答案为：
13．不等式恒成立，则实数的最大值为 .
【答案】/
【分析】先明确函数的定义域，分离参数，利用进行放缩处理.
【详解】设，，则，因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，即.
所以在恒成立.
因为不等式可化为：，
由已知，设（）.
因为（当且仅当时取“=”），
因为函数与函数的图象有且只有一个交点，
所以方程有唯一解.
故函数（）的最小值为，
所以，所以实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立⇔；
（2）恒成立⇔.
14．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 .
【答案】1250
【分析】由题意知，可求出，由，得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可.
【详解】由题意知，所以，，
若，则，
即，即，
由切比雪夫不等式知，
要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，
则，解，
所以估计信号发射次数n的最小值为1250.
故答案为：1250
【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的期望和方差，考查切比雪夫不等式的应用，解题的关键是将变形为，考查理解能力和计算能力，属于较难题.
四、解答题
15．设函数，其中.
(1)若命题“”为假命题，求实数的取值范围；
(2)若函数在区间内恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，转化为命题“”为真命题，结合，即可求解；.
（2）根据题意，转化为在区间内恒成立，利用基本不等式求得的最小值为，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为函数，
由命题“”为假命题，即命题“”为真命题，
根据二次函数的性质，可得，解得或，
所以实数的取值范围为.
（2）解：由函数，可得，
因为函数在区间内恒成立，
即在区间内恒成立，
又因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
16．为普及人工智能相关知识，发展青少年科技创新能力，并为中学生生涯规划提供方向，某知名高校联合当地十所中学举办了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，并将最终从每所中学中各选拔一人进入高校进行为期一周的体验式活动.结合平时训练的成绩，红星中学的甲､乙两名学生进入校内最终选拔，组委会为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲､乙两人解答每道题目相互独立，现甲､乙从这6道题目中分别随机抽取3题进行解答：
(1)求甲､乙共答对2道题目的概率；
(2)设甲答对的题目个数为，求的分布列及数学期望；
(3)从期望和方差的角度进行分析，红星中学应选拔哪个学生代表学校参加体验活动？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，2
(3)甲代表学校参加体验训练.
【分析】（1）根据独立事件概率和公式及互斥事件概率和公式计算；
（2）应用超几何求出概率再写出分布列最后求出数学期望即得；
（3）先根据二项分布得出数学期望和方差，再应用已知做出判断即可.
【详解】（1）甲､乙两人共答对2道题目的情况分为：甲2乙0，甲1乙1，
所以甲､乙共答对2道题目的概率为.
（2）依题意，的可能取值为1，2，3.
则，，
X的分布列为
所以.
（3）
设乙答对的题目个数为，则.
所以.
因为，
可知甲乙答对题目的均值是一样的，而甲的方差小于乙的方差，
所以甲的发挥较稳定，所以可以选拔甲代表学校参加体验训练.
17．已知函数在处的切线方程为.
(1)求实数a的值；
(2)探究在区间内的零点个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)在区间有且仅有两个零点,理由见解析.
【分析】（1）运用导数几何意义，结合斜率可解;
（2），令，运用的正负判定的单调性，再运用的正负得到单调性，结合零点存在性定理可解.
【详解】（1）由题可知，
由处的切线方程为，
把点代入得．
（2）由（1）可知，
令，
当时，，则在区间上单调递增．
，
由零点存在定理可知，存在，使得，即
当时，，则在区间上单调递减；
当时，，则在区间上单调递增，
又，
由零点存在定理可知在区间上有且仅有一个零点．
当时，；
当时，：
在区间上单调递增．
又，
由零点存在定理可知，存在唯一零点，使得，
综上可得，在区间有且仅有两个零点．
18．甲、乙两个课外兴趣小组分别对本地某一蔬菜交易市场的一种蔬菜价格进行追踪.
(1)甲小组得出该种蓅菜在1-8月份的价格P（元/kg）与月份t近似满足关系，月交易是Q（单位：吨）与月份t近似满足关系，求月交易额y（万元）与月份t的函数关系式.并估计1-8月份中第几个月的月交易额最大；
(2)乙小组通过追踪得到该种疏菜上市初期和后期因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又出现供大于求使价格连续下跌.现有三种函数模拟价格（单位：元）与月价x之间的函数关系：①（，且）；②；③.
①为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数?并说明理由；
②若，，求出所选函数的解析式（注：函数的定义域是，其中表示1月份，表示2月份，…，以此类推），并估计价格在5元/kg以下的月份有几个.
【答案】(1)；4月
(2)①应选③，理由见解析；②，估计有4个月价格在5元/kg以下
【分析】（1）求出关于的解析式即可求解；
（2）①根据各函数的性质即可求解；②先求出，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由题意得：，
所以，
当时，根据二次函数的性质得时取最大月交易额为万元，
当时，同理可得时取得最大月交易额为万元，
所以估计月的月交易额最大；
（2）①①函数是单调函数，不符合题意，
②二次函数的的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，
不符合题意，
③当时，函数在上的图象时下降的，
在上的图象是上升的，在上的图象是下降的，
满足条件，应选：③；
②因为，，
所以，所以，，
所以，令，
所以，，
由一次函数图象易知时价格在5元/kg以下，
即月、月、月、月价格在5元/kg以下,
所以有个月价格在5元/kg以下.
19．对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系.
(1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若与具有关系，求的取值范围；
(3)已知，为定义在上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有.
判断与是否具有关系，并说明理由.
【答案】(1)与具有关系，理由见解析
(2)；
(3)不具有关系，理由见解析
【分析】（1）根据三角函数的性质可得，结合新定义即可下结论；
（2）根据三角函数与二次函数的性质可得、，则，结合新定义即可求解；
（3）根据函数的对称性和周期性求出、、的值域. 当、时，有；当、时，有，进而，结合新定义即可下结论.
【详解】（1）与具有关系，理由如下：
当时，，，
当，，当时，，
此时，
则与具有关系；
（2），
，
因为，则当时，，则，
所以，
则；
（3）不具有关系，理由如下：
因为在上，当且仅当时，取得最大值1；
又为定义在上的奇函数，
故在上，当且仅当时，取得最小值-1，
由对任意，有，
所以关于点对称，
又，
所以的周期为，故的值域为，，，
当时，，；
时，，，
若，则，，
此时有；
当时，，；
时，，，
若，则，时，
有；
由于，
所以，
故不存在，，使得，
所以与不具有关系.
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的图象与性质.
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