石首市第一中学2024届高三下学期7月适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份石首市第一中学2024届高三下学期7月适应性考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．设复数z满足，i为虚数单位，则z在复平面上对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．在中,点M,N分别是,边上的中点,线段,交于点D,则的值为( )
A.B.C.D.
4．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，侧棱长为.“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”.则该“升”的“平升”约可装( )
升：量粮食的器具
A.B.C.D.
5．已知数列的前n项和为.若p：数列是等比数列；，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6．某校银杏大道上共有20盏路灯,为了节约用电,学校打算关掉3盏路灯,头尾两盏路灯不能关闭,关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯,则不同的方案种数是( )
A.324B.364C.560D.680
7．已知函数在上恰有1个零点，则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8．在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.数据7，5，3，10，2，6，8，9的中位数为7
B.已知，，若，则M，N相互独立
C.已知一组数据，，，的方差为3，则，，.，的方差为3
D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点为，则
10．已知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个蓝球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得红球的概率为，从各盒中取得红球的个数为，则( )
A.B.
C.D.
11．已知非零实数a，b，，，则可能正确的是( )
A.B.C.D.
12．意大利著名数学家莱昂纳多.斐波那契(LenardFibnacci)在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为，则下列结论正确的有( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．展开式中的系数为___________.
14．写出两个与直线相切和圆外切的圆的圆心坐标_______.
15．设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作斜率为-3的直线l交双曲线的渐近线点A，B两点(点A第一象限)，过O作AB的垂线，垂足为H，且，则该双曲线的离心率是_______.
16．若函数且存在极大值点，则a的取值范围是___________.
四、解答题
17．已知数列满足，______，以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.
①，
②
③
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项积为，求的最大值.
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，求.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面平面ABCD，.
（1）求证：平行四边形ABCD为矩形：
（2）若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为，求点B到平面ACE的距离.
20．某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：
假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；
（2）记X为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求X的分布列和数学期望：
（3）假设A表示事件“室外温度低于10度”，B表示事件“某学生去打乒乓球”，，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：.
21．已知点，在椭圆上.
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线l与椭圆M交于C，D两个不同的点(异于A，B)，过C作x轴的垂线分别交直线AB，AD于点P，Q，当P是CQ中点时，证明.直线l过定点.
22．已知函数有两个零点，.
（1）证明：；
（2）求证：
①
②
参考答案
1．答案：B
解析：,,,故选:B.
2．答案：D
解析：，故z在复平面上对应的点为，在第四象限，故选D.
3．答案：C
解析：方法一：可由三角形重心的性质知：
方法二：设,则,
由B,D,N共线可知,,,故,
故选：C.
4．答案：C
解析：棱台的高，
5．答案：A
解析：若是等比数列，则，，于是，即；若，取，，显然不是等比数列，故p是q的充分不必要条件.
6．答案：B
解析：关掉的三盏路灯不相邻,故选择用插空法,首先拿出两盏亮的路灯备用,
把15盏亮的路灯先放好,把三盏关掉的等插进去,因为头尾两盏路灯不能关闭,
所以是除头尾之外的14个位置上插入三盏关掉的灯,共种,
再在每两盏关掉的路灯之间再各放入一盏备用的路灯,
这样就保证了关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯,
故选：B.
7．答案：B
解析：令，因为函数在上恰有1个零点，即转化为，，只有1个零点，故可得，即，又，要使上述方程组有解，则需，所以，故，2，当时，，当，.
8．答案：B
解析：如图，先作出的外接圆，当D在的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，故可使D点动到一个使得的位置，取AC的中点M，因为，，所以，，故即为二面角的平面角，的外心为，过作平面ABC的垂线，过的外心作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；在平面ABC内，设，则，，因为，所以，所以，所以
令，则，所以，当且仅当时取等，故选B.
9．答案：BC
解析：对于A选项，将这些数从小到大排列2，3，5，6，7，8，9，10，中位数
为6和7的平均数，即6.5，故A错误；对于B选项，，于是，故B正确；对于C选项，每一个数据都加1不改变离散程度，方差不变，故C正确；对于D选项，散点不一定在回归方程上，故D错误。综上，选BC.
10．答案：ABC
解析：方法一：可以利用平均值的原理去快速解决问题，甲盒中有2个红球，1个蓝球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个蓝球；乙盒中有1个红球，2个蓝球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个蓝球，那么拿出一个球后，放入丙盒子中后，相当于甲盒子内还有个红球，个蓝球，乙盒子内还有个红球，个蓝球，丙盒子中有1个红球，1个蓝球，故，，，，满足两点分布，故，，，，，，故选ABC.
方法二：也可用全概率公式求解，比如，以下同方法一.
11．答案：BC
解析：令，，，先可证得，，，，所以，，当时，，，而因为，所以，所以，，而c有两解，一正一负，因为，，而在单调递增，所以.当时，，，而在单调递增，所以，所以；当时，，故选：BC
12．答案：ACD
解析：因为，所以，所以
，故A正确.
因为，所以，即，所以，而，故B错误；
，所以故C正确；
，进一步可得，，故D正确
13．答案：-64
解析：的系数来自两个方面,如果第一个括号提供了,则第二个括号提供,
故系数为,如果第一个括号提供了,则第二个括号提供了,
故系数为,所以的系数为.
14．答案：（0，0）或（2，4）（答案不唯一）
解析：的圆心为，半径为1，设圆心坐标为，则，故圆心到的距离和到直线的距离相等，圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，故，只要满足该式即可.
15．答案：
解析：设，则，由题意知，，，故，则，而，所以，从而.
16．答案：
解析：令，可得，令，所以，
当时，，在上单调递增，且当，，当，，故，所以，即有变号根，所以，，当，，，当，，此时必存在一个零点，且这个零点的左边导函数为正，右边导函数为负数，该零点即为极大值点，故
17．答案：（1）
（2）6
解析：（1）若选①：已知数列满足，则，则，，是首项为，公比为的等比数列，故，即.
若选②：，则是首项为，公差为4的等差数列，故，即
若选③：因为，所以当时，，两式作差得，即，又因为满足上式，所以
（2），故不增，又，故当或4时，最大，最大值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，即由正弦定理，且所以，且.则，，所以.
（2）因为，由正弦定理得.
又，，所以，
整理可得，即，
所以，所以或，即或，
当时，；当时，.综上，.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AD中点M，连接PM
为正三角形，M为AD中点
面面ABCD，面面，面PAD，
面ABCD
，，面PAD，面PAD，分
面PAD
平行四边形ABCD为矩形.
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，设，，，，，设面ACE的法向量为
，，
令，则，，，
设面ABP的法向量为
，
令，则，，，
，解得.
面ACE的法向量为
点B到平面ACE的距离.
20．答案：（1）
（2）分布列见解析，期望为1.82
（3）证明见解析
解析：（1）设事件C为“早上甲打篮球”，事件D为“下午甲打篮球”，则，.
（2）由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为0.4，乙上下午都选择篮球的概率为0.2，甲上下午都选择乒乓球的概率为0.2，乙上下午都选择乒乓球的概率为0.5，记X为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则X的所有可能取值为1、2，所以，分所以X的分布列为：.
所以.
（3）由题知，即，即
即，
即，即，
即
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题知，，得，所以椭圆M的方程为.
（2）由题意知，当轴时，不符合题意，故l的斜率存在，设l的方程为，
联立消去y
得，
则，
即
设，，，，
AB的方程为，令得，
AD的方程为，令得，
由P是CQ中点，得，即，
即，
即，
即，所以得或，
当，此时由，得，符合题意；
当，此时直线l经过点A，与题意不符，舍去.
所以l的方程为，即，
所以l过定点.
22．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）由，，得到，当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，由因为当时，，，所以，若，即时，则当时，，此时在上不存在零点，故.
（2）①要证明，不妨设，只要证
因为在上单调递增，故即证，
令，，
所以在单调递增，所以，所以，
即，得证；
②再证明：
引理1：当时，；
证明：当时，，得证.
利用引理，所以①
引理2：
证明：令
，，当时，，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以
利用引理2，因为，所以，可得，
所以②，所以由①，②可知.
上下午体育锻炼项目情况（上午，下午）
（篮球，篮球）
（篮球，乒乓球）
（乒乓球，篮球）
（乒乓球，乒乓球）
甲
20天
15天
5天
10天
乙
10天
10天
5天
25天
X
1
2
P
0.18
0.82