四川省安宁河联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省安宁河联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题（Word版附解析），共14页。

注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、在等差数列中，，，则数列的公差（ ）
A.1B.2C.3 D.4
2、函数f(x)=lnx−x+1的图像在点(1,f(1))处的切线方程是（ ）
A.y=0 B.x=0 C.y=1 D.x=1
的二项展开式中，二项式系数之和等于，则二项展开式中二项式系数最大的项为 （ ）
A.1120x2B.1792x72C.448x12 D.112x5
4、为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：
A.B.C. D.
5、电影飞驰人生中对汽车的撞击能力进行检测，需要对汽车实施两次撞击，若没有受损，则认为该汽车通过质检.若第一次撞击后该汽车没有受损的概率为0.84，当第一次没有受损时第二次实施撞击也没有受损的概率为0.85，则该汽车通过检验的概率为（ ）

6、已知函数f(x)=lnx−ax2+x在区间1,2上单调递增，则实数的最大值是（ ）
A.1B.38C.34D.12
C
D
B
A
用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，
有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A.14种B.16种C.20种 D.18种
8、已知可导函数f(x)的定义域为(−∞,0),其导函数f/(x)满足xf/(x)+2f(x)>0,则不等式
(x+2024)2∙f(x+2024)−f(−1)<0的解集为 ( )
A.(−2025,−2024) B.(−2024,−2023) C. (−∞,−2024) D.(−∞,−2023)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9、设随机变量的分布列为，则（ ）
A.B.
C. D.
10、已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列选项正确的有（ ）
数列是递增数列
C.当时，取得最大值为 的最小值为
11、已知m∈R,n∈R,且mn≠0，为函数f(x)=−(n−mx)(x2−2x+1)的极小值点，则下列不等式可以成立的有（ ）
A.m2C.n2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12、若已知，则

13、某学校选派甲，乙，丙，丁共4位教师分别前往A,B,C三所中学支教，其中每所中学至少去一位教师，乙，丙不去C中学但能去其他两所中学，甲，丁三个学校都能去，则不同的安排方案的种数是______（用数字作答）
14、已知对任意的都有___________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、已知数列的前项和为，
证明：是等比数列，并求出的通项公式；
已知，求数列的前项和.
16、某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响．
(1)在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；
(2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望．
17、教育局为了了解本区高中生参加户外运动的情况，从本区随机抽取了600名高中学生进行在线调查，收集了他们参加户外运动的时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)为进一步了解这600名学生参加户外运动时间的分配情况，从参加户外运动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加户外运动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望；
(2)以调查结果的频率估计概率，从该区所有高中学生中随机抽取10名学生，用“”表示这10名学生中恰有名学生户外运动时间在]（单位:小时）内的概率，当最大时求的值。
18、已知等差数列的公差，且成等比数列，的前项和为，，设，数列的前项和为，
求数列的通项公式；
若不等式对一切恒成立，求实数的最大值.
19、已知函数f(x)=mx−lnx,g(x)=exx(m≠0)的定义域为(0,+∞).
(1)求g(x)的极值点；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若函数f(g(x))存在唯一极小值点，求m的取值范围；安宁河联盟2023～2024学年度下期高中2022级期末联考
数 学
考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、在等差数列中，，，则数列的公差（ ）

【答案】
解析：因为，，所以解得
2、函数f(x)=lnx−x+1的图像在点(1,f(1))处的切线方程是（ ）
A.y=0 B.x=0 C.y=1 D.x=1
【答案】A
的二项展开式中，二项式系数之和等于，则二项展开式中二项式系数最大的项为 （ ）

【答案】
解析：因为2n=256，所以，所以二项展开式的通项为，所以二项展开式中二项式系数最大的项为
4、为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：
B．C．D．
答案C
解析：依题意，
所以测试成绩不小于86的学生所占的百分比为
故选：C．
5、电影飞驰人生中对汽车的撞击能力进行检测，需要对汽车实施两次撞击，若没有受损，则认为该汽车通过质检.若第一次撞击后该汽车没有受损的概率为0.84，当第一次没有受损时第二次实施撞击也没有受损的概率为0.85，则该汽车通过检验的概率为（ ）
A．0.794B．0.684C．0.714D．0.684
答案：C.
解析：设表示第次撞击后该汽车没有受损，，
则由已知可得，，
所以由乘法公式可得，即该构件通过质检的概率是0.714.
故选：C.
6、已知函数f(x)=lnx−ax2+x在区间1,2上单调递增，则实数的最大值是（ ）
A．1B．38C34D．12
【答案】B
解析：由f(x)在区间上单增有f/(x)=1x−2ax+1≥0在1,2上恒成立，则2a≤1x2+1x,
易得当x=12时a的最大值为38
7、用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
C
D
B
A
A．14种B．16种C．20种D．18种
【答案】D
解析：先涂A，有3种涂法，再涂B有2种涂法，涂C时，与A同色，有1种涂法，此时D有2种涂法，当C与
A异色时有1种涂法，这是D有1种涂法，所以共有3×2×（1×2+1×1）=18种
8、已知可导函数f(x)的定义域为(−∞,0),其导函数f/(x)满足xf/(x)+2f(x)>0,则不等式
(x+2024)2∙f(x+2024)−f(−1)<0的解集为 ( )
A.(−2025,−2024) B.(−2024,−2023) C. (−∞,−2024) D.(−∞,−2023)
【答案】A
解析：令F(x)=x2∙f(x)则g/(x)=x∙xf/(x)+2f(x)<0,故g(x)在(−∞,0)单减。
不等式(x+2024)2∙f(x+2024)−f(−1)<可变形为(x+2024)2∙f(x+2024)<(−1)2∙f(−1),
即g(x+2024)所以有x+2024>−1,且x+2024<0得−2025二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9、设随机变量的分布列为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
10、已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列选项正确的有（ ）
数列是递增数列
当时，取得最大值为 的最小值为
【答案】
解析：因为，，解得，
令，解得，正确
数列是递减数列，因此数列是递增数列错误
，当时，取得最大值为. 正确
在时单调递增，的最小值为，正确
11、已知m∈R,n∈R,且mn≠0，为函数f(x)=−(n−mx)(x2−2x+1)的极小值点，则下列不等式可以成立的有（ ）
A．m2C．n2【答案】B，D
解析：f/(x)=(x−1)(3mx−m−2n),由f/(x)=0⇒x=1或x=m+2n3m,因为f(x)在x=1处取得极小值,
故m+2n3m≠1得m≠n。若m>0,则m+2n3m<1,得n若n>0时,n21,得n三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12、若已知，则

【答案】
解析：由，
令，则 ①
令，则 ②
由①+②得
所以
13、某学校选派甲，乙，丙，丁共4位教师分别前往A,B,C三所中学支教，其中每所中学至少去一位教师，乙，丙不去C中学但能去其他两所中学，甲，丁三个学校都能去，则不同的安排方案的种数是______（用数字作答）
【答案】14种
解析：C学校去一个人：C21∙C31∙A22；C学校去2个人：只能是甲，丁，故有：1×2
所以共有C21∙C31∙A22+2=14
14、已知对任意的都有___________
答案

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、已知数列的前项和为，
证明：是等比数列，并求出的通项公式；
已知，求数列的前项和.
解析：（1）因为，
当时，，；分
当时， ，，两式相减得，分
又，分
数列是首项为3，公比为2的等比数列，分
分
（2） 分
分 分
16、某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响．
(1)在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；
(2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望．
解析：（1）设事件老师表示通过，事件老师表示通过，事件老师表示通过，
事件歌手通过晋级，事件歌手经过复审，则，
，
，因此，
所以它经过了复审的概率为.
（2）依题意，的可能取值为，显然，，则
所以的分布列如下：
数学期望为E(X)=3×12=32.
17、教育局为了了解本区高中生参加户外运动的情况，从本区随机抽取了600名高中学生进行在线调查，收集了他们参加户外运动的时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)为进一步了解这600名学生参加户外运动时间的分配情况，从参加户外运动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加户外运动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望；
(2)以调查结果的频率估计概率，从该区所有高中学生中随机抽取10名学生，用“”表示这10名学生中恰有名学生户外运动时间在]（单位:小时）内的概率，当最大时求的值。
解析：（1）由频率分布直方图得:
解得
这600名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为:，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从参加公益劳动时间在[14，16]内的学生中抽取:,
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
的分布列为:
则其期望为
（2）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率
所以
依题意，即，解得
因为为非负整数，所以，
即当最大时，
18、已知等差数列的公差，且成等比数列，的前项和为，，设，数列的前项和为，
求数列的通项公式；
若不等式对一切恒成立，求实数的最大值.
解析：（1）由已知等差数列得解得，分
所以，分
所以 分
（2），①
，②
所以①-②得 分
所以 分
所以 分
由（1）得，所以 分
不等式对一切恒成立
且 分
对一切恒成立 分
即对一切恒成立， 分
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，即；
当时，，单调递增；
综上，的最小值为，分
，的最大值为. 分
19、已知函数f(x)=mx−lnx,g(x)=exx(m≠0)的定义域为(0,+∞).
(1)求g(x)的极值点；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若函数f(g(x))存在唯一极小值点，求m的取值范围；
解析：(1)g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),g/(x)=ex(x−1)x2, (1分)
令g/(x)>0得x>1,令g/(x)<0得x<1且x≠0
故g(x)在(−∞,0)和(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增。 (2分)
所以x=1是g(x) 的极小值点，无极大值点 (3分)
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f/(x)=m−1x=mx− (4分)
若m<0,f/(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减
若m>0,令f/(x)>0得x>1m;令f/(x)<0得0所以f(x)在(0,1m)上单调递减，在(1m,+∞)上单调递增(6分)
综上，当m<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减，
当m>0时，f(x)在(0,1m)上单调递减，在(1m,+∞)上单调递增 (7分)
令F(x)=f(g(x))=mexx−x+lnx,则F/(x)=(x−1)(mex−x)x2.
令ℎ(x)=mex−x,则ℎ/(x)=mex−1. (8分)
①当m<0时，ℎ/(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
故当x∈(0,1)时，F/(x)>0,F(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时，F/(x)<0,F(x)单调递减.
所以F(x)有唯一极大值点，没有极小值点，不满足题意。 (9分)
②当m≥1时，ℎ/(x)≥ex−1>0在(0,+∞)恒成立,ℎ(x)在（0，+∞）单增，ℎ(x)>ℎ(0)=m>1
故当x∈(0,1)时，F/(x)<0,F(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时，F/(x)>0,F(x)单调递增.
所以F(x)有唯一极小值点，满足题意。(10分)
③当00,得x>−lnm
故ℎ(x)在(0,−lnm)上单调递减，在(−lnm，+∞)上单调递增.
则令ℎ(x)min=ℎ(−lnm)=1+lnm≥0,得m≥ (11分)
当1e≤m<1时，ℎ(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，由②可知F(x)有唯一极小值点，满足题意. (12分)
当00,ℎ(−2lnm)=1m+2lnm=1m−2ln1m>0,
又因为ℎ(x)在(0,−lnm)上单调递减，在(−lnm，+∞)上单调递增,
所以存在唯一实数x1∈(0,−lnm),x2∈(−lna,2lnm)使得ℎ(x1)=0,ℎ(x2)=0，又ℎ(1)=me−1<0
故当x∈(0,x1)时，F/(x)<0；当x∈(x1,1)时，F/(x)>0；当x∈(1,x2)时，F/(x)<0；
当x∈(x2，+∞)时，F/(x)>(15分)
故F(x)在(0,x1)上单调递减，在(x1,1)上单调递增，在(1,x2)上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增.
所以F(x)的极小值点为x1，x2，不唯一，不满足题意。 (16分)
所综上，m的取值范围为1e,+∞)(17分)
X
0
1
2
3
0
1
2
3