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中职数学第6章 三角计算精品当堂达标检测题
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这是一份中职数学第6章 三角计算精品当堂达标检测题，文件包含串讲01三角计算考点串讲原卷版docx、串讲01三角计算考点串讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
二、常考题型
三、知识梳理
1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
两角和与差的余弦公式：.
两角和与差的正弦公式：
两角和与差的正切公式：
2.二倍角的正弦、余弦及正切公式
(1)sin2α＝2sinαcsα(S2α)．
(2)cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α(C2α)．
(3)tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)(T2α)．
3.二倍角公式的变形
（1）．降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
（2）．升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
4．辅助角(“二合一”)公式：
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，
其中cs φ＝ eq \f(a,\r(a2＋b2)) ，sin φ＝ eq \f(b,\r(a2＋b2)) .
5.正弦定理和余弦定理
6.在△ABC中，常有以下结论
1．∠A＋∠B＋∠C＝π.
2．在三角形中，大边对大角，大角对大边．
3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．sin(A＋B)＝sin C；cs(A＋B)＝－cs C
5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A7.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
四、常考题型探究
考点一 公式的直接应用
1．(1)求值：cs15°＝ ；
(2)求值：sin7°cs23°＋sin83°cs67°＝ ；
(3)求值：sin70°sin65°－sin20°sin25°＝ .
(4)tan255°＝( )
A．－2－eq \r(3)B．－2＋eq \r(3)
C．2－eq \r(3)D．2＋eq \r(3)
【解析】 (1)cs15°＝cs(45°－30°)＝cs45°·cs30°＋sin45°·sin30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
(2)原式＝cs83°cs23°＋sin83°sin23°＝cs(83°－23°)＝cs60°＝eq \f(1,2).
（3）原式＝sin70°cs25°－cs70°sin25°＝sin(70°－25°)＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
(4)tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－1×\f(\r(3),3))＝eq \f(3＋\r(3),3－\r(3))＝eq \f(12＋6\r(3),6)＝2＋eq \r(3).
2．计算：cs(α－35°)cs(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝ .
【解析】原式＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]＝cs(－60°)＝cs60°＝eq \f(1,2).
3．求值：sin347°cs148°＋sin77°cs58°；
【解析】 (1)原式＝sin(360°－13°)cs(180°－32°)＋sin(90°－13°)cs(90°－32°)
＝sin13°cs32°＋cs13°sin32°
＝sin(13°＋32°)＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
3. sin15°＋sin75°＝ ；
【解析】sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)
＝sin45°cs30°－cs45°·sin30°＋sin45°cs30°＋cs45°sin30°＝2sin45°cs30°＝eq \f(\r(6),2).
4．计算：eq \f(1＋tan15°,\r(3)－tan60°tan15°)＝ .
【解析】原式＝eq \f(tan45°＋tan15°,\r(3)1－tan45°tan15°)＝eq \f(1,\r(3))tan(45°＋15°)
＝eq \f(1,\r(3))tan60°＝eq \f(1,\r(3))×eq \r(3)＝1.
考点二 给值求值
5．已知sinα＝－eq \f(4,5)，sinβ＝eq \f(5,13)，且180°<α<270°，90°<β<180°，则cs(α－β)＝ ；
【解析】 ∵180°<α<270°，∴csα＝－eq \f(3,5)；
又∵90°<β<180°，∴csβ＝－eq \f(12,13)；
cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ
＝(－eq \f(3,5))×(－eq \f(12,13))＋(－eq \f(4,5))×eq \f(5,13)＝eq \f(16,65).
6．求值：已知α，β为锐角，且sinα＝eq \f(\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，则sin(α＋β)的值为 ，sin(α－β)的值为 .
【解析】∵α，β都是锐角，且sinα＝eq \f(\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，
∴csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\f(\r(5),5)2)＝eq \f(2\r(5),5)，
csβ＝eq \r(1－sin2β)＝eq \r(1－\f(\r(10),10)2)＝eq \f(3\r(10),10).
∴sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),5)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),10).
7．若tanα＝2，tanβ＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)＝( )
A．－eq \f(3,4)B．eq \f(3,4)
C．3 D．eq \f(1,3)
【解析】 tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)
＝eq \f(2－\f(1,2),1＋2×\f(1,2))＝eq \f(3,4).
8.已知sin α＝eq \f(4,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，cs β＝－eq \f(5,13)，β是第三象限角，求cs(α－β)的值．
【解析】 由sinα＝eq \f(4,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，得
csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\f(4,5)2)＝－eq \f(3,5).
又由csβ＝－eq \f(5,13)，β是第三象限角，得
sinβ＝－eq \r(1－cs2β)＝－eq \r(1－－\f(5,13)2)＝－eq \f(12,13).
所以cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ＝(－eq \f(3,5))×(－eq \f(5,13))＋eq \f(4,5)×(－eq \f(12,13))＝－eq \f(33,65).
9.已知sinα＝eq \f(15,17)，α∈(eq \f(π,2)，π)，求sin(eq \f(π,3)－α)的值；
【解析】 因为sinα＝eq \f(15,17)，α∈(eq \f(π,2)，π)，所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\f(15,17)2)＝－eq \f(8,17).
所以sin(eq \f(π,3)－α)＝sineq \f(π,3)csα－cseq \f(π,3)sinα
＝eq \f(\r(3),2)×(－eq \f(8,17))－eq \f(1,2)×eq \f(15,17)＝－eq \f(15＋8\r(3),34).
10. 已知csα＝－eq \f(4,5)，且α∈(eq \f(π,2)，π)，则tan(eq \f(π,4)－α)＝( )
A．－eq \f(1,7)B．－7
C．eq \f(1,7) D．7
【解析】 (1)由csα＝－eq \f(4,5)，且α∈(eq \f(π,2)，π)，得sinα＝eq \f(3,5)，
所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(3,4)，
所以tan(eq \f(π,4)－α)＝eq \f(tan\f(π,4)－tanα,1＋tan\f(π,4)tanα)＝eq \f(1－－\f(3,4),1－\f(3,4))＝7，故选D.
考点三 给值求角
11.已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，且α、β为锐角，求α＋β的值．
【解析】 ∵α、β为锐角，sinα＝eq \f(\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，
∴csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(2\r(5),5)，csβ＝eq \r(1－sin2β)＝eq \f(3\r(10),10)，
∴cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，
∵α、β为锐角，
∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝45°.
12.已知csα＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，且α，β∈(0，eq \f(π,2))，求β的值．
【解析】 ∵α，β∈(0，eq \f(π,2))，∴0<α＋β<π，
sinα＝eq \r(1－\f(1,49))＝eq \f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq \r(1－－\f(11,14)2)＝eq \f(5\r(3),14).
∴csβ＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)·sinα＝－eq \f(11,14)×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2)，
∴β＝eq \f(π,3).
13.若α，β∈(0，eq \f(π,2))且tanα＝eq \f(1,2)，tanβ＝eq \f(1,3)，则 α＋β＝ .
【解析】 tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,6))＝1.
考点四 辅助角公式的应用
14．求eq \r(3)sineq \f(π,12)＋cseq \f(π,12)的值：
【解析】 原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\f(π,12)＋\f(1,2)cs\f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,12)cs\f(π,6)＋sin\f(π,6)cs\f(π,12)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝2sineq \f(π,4)＝eq \r(2).
[方法归纳]公式asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)(或asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ))将形如asinα＋bcsα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
15．eq \r(2)cseq \f(π,12)＋eq \r(6)sineq \f(π,12)的值是( )
A．eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．eq \f(\r(2),2)
【解析】 (1)原式＝2eq \r(2)(eq \f(1,2)cseq \f(π,12)＋eq \f(\r(3),2)sineq \f(π,12))
＝2eq \r(2)sin(eq \f(π,12)＋eq \f(π,6))＝2eq \r(2)sineq \f(π,4)＝2，故选B.
16．y＝csx＋cs(x＋eq \f(π,3))的最大值是 .
【解析】y＝csx＋csx·eq \f(1,2)－sinx·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,2)csx－eq \f(\r(3),2)sinx
＝eq \r(3)(eq \f(\r(3),2)csx－eq \f(1,2)sinx)＝－eq \r(3)(eq \f(1,2)sinx－eq \f(\r(3),2)csx)
＝－eq \r(3)sin(x－eq \f(π,3))，当x＝2kπ－eq \f(π,6)时，(k∈Z)，ymax＝eq \r(3).
考点五 三角函数的周期
17．求下列函数的周期：
【解析】(1)∵ω＝eq \f(1,2)，∴T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π.
(2)∵ω＝eq \f(1,3)，∴T＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π.
(3)∵ω＝3，T＝eq \f(2π,3)
(4)∵ω＝eq \f(2,π)，∴T＝eq \f(2π,\f(2,π))＝π2.
【方法归纳】 求三角函数周期的方法
(1)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝eq \f(2π,|ω|)来求．对形如y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求．
(2)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
考点六 三角函数的奇偶性
18．函数是( )
A．奇函数B．非奇非偶函数
C．偶函数D．既是奇函数又是偶函数
【解析】 函数，
∵f(－x)＝(－x)cs(－x)＝－xcsx＝－f(x)，
且定义域为R，∴f(x)是奇函数．故选A
19．对于函数y＝cs(eq \f(π,2)－2x)，下列命题正确的是( )
A．函数是周期为2π的偶函数
B．函数是周期为2π的奇函数
C．函数是周期为π的偶函数
D．函数是周期为π的奇函数
【解析】 因为函数y＝cs(eq \f(π,2)－2x)＝sin2x，T＝eq \f(2π,2)＝π，且y＝sin2x是奇函数，
所以y＝cs(eq \f(π,2)－2x)是周期为π的奇函数．
20．判断函数f(x)＝xcs(π＋x)的奇偶性：
【解析】 函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝x·cs(π＋x)＝－x·csx，
∴f(－x)＝－(－x)·cs(－x)＝x·csx＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
21．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcsx中，奇函数的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
【解析】 ①③④是奇函数，故选C.
考点七 比较三角函数值的大小
22．下列各式中正确的是( )
A．tan735°>tan800°B．tan1>－tan2
C．taneq \f(5π,7)【解析】 taneq \f(9π,8)＝tan(π＋eq \f(π,8))＝taneq \f(π,8).
因为023．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)cseq \f(15π,8)，cseq \f(14π,9).
(2)cs1，sin1.
(3)sin164°与cs110°.
【解析】 (1)cseq \f(15π,8)＝cseq \f(π,8)，cseq \f(14π,9)＝cseq \f(4π,9)，因为0cseq \f(4π,9)，即cseq \f(15π,8)>cseq \f(14π,9).
(2)因为cs1＝sin(eq \f(π,2)－1)，而0所以sin(eq \f(π,2)－1)(3)sin164°＝sin(180°－16°)＝sin16°，
cs110°＝cs(90°＋20°)＝－sin20°.
因为sin16°>0，－sin20°<0，所以－sin20°即cs11°【方法归纳】 三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]或[eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．
(2)不同名的函数化为同名的函数．
(3)自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．
24．比较tan1，tan2，tan3的大小；
【解析】 因为tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)．
又因为eq \f(π,2)<2<π，所以－eq \f(π,2)<2－π<0.
因为eq \f(π,2)<3<π，所以－eq \f(π,2)<3－π<0.
显然－eq \f(π,2)<2－π<3－π<1又y＝tanx在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))内是单调递增的，
所以tan(2－π)25．下列关系式中正确的是( )
A．sin11°B．sin168°C．sin11°D．sin168°【解析】 cs10°＝sin80°，sin168°＝sin12°.
sin80°>sin12°>sin11°，即cs10°>sin168°>sin11°.故选C
考点八 三角函数的单调区间
26．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是( )
A．[0，π]B．[eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]
C．[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]D．[π，2π]
答案C
27．求函数y＝eq \f(1,2)cs(2x＋eq \f(π,3))的单调递减区间：
【解析】 令z＝2x＋eq \f(π,3)，而函数y＝csz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．∴原函数的单调递减区间是[kπ－eq \f(π,6)，kπ＋eq \f(π,3)](k∈Z)．
28．求函数y＝tan(eq \f(1,2)x－eq \f(π,4))的单调区间．
【解析】 由kπ－eq \f(π,2)29．下列函数中在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是增函数的是( )
A．y＝sinxB．y＝csx
C．y＝sin2xD．y＝cs2x
【解析】 y＝sinx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是减函数，不满足条件．y＝csx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是减函数，不满足条件．y＝sin2x的周期是π，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上不单调，不满足条件．y＝cs2x的周期是π，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是增函数，满足条件．故选D.
【方法归纳】 单调区间的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数，
(1)当A>0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝csx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间．
(2)当A<0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝csx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y＝sinx或y＝csx的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．
考点九 周期性、奇偶性、单调性的综合应用
30．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cs|2x|B．y＝|sin2x|
C．y＝sin(eq \f(π,2)＋2x)D．y＝cs(eq \f(3π,2)－2x)
【解析】 y＝cs(eq \f(3π,2)－2x)＝－sin2x，满足既是奇函数，又是最小正周期为π的周期函数．故选D.
31．下列函数中，周期为π，且在[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)]上为减函数的是( )
A．y＝sin(2x＋eq \f(π,2))B．y＝cs(2x＋eq \f(π,2))
C．y＝sin(x＋eq \f(π,2))D．y＝cs(x＋eq \f(π,2))
【解析】 C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cs(2x＋eq \f(π,2))＝－sin2x，该函数在[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋eq \f(π,2))＝cs2x，该函数符合题意，选A.
32．对于函数y＝cs(eq \f(π,2)－2x)，下列命题正确的是( )
A．函数是周期为2π的偶函数
B．函数是周期为2π的奇函数
C．函数是周期为π的偶函数
D．函数是周期为π的奇函数
【解析】 因为函数y＝cs(eq \f(π,2)－2x)＝sin2x，T＝eq \f(2π,2)＝π，且y＝sin2x是奇函数，
所以y＝cs(eq \f(π,2)－2x)是周期为π的奇函数．故选D
考点十 利用正、余弦定理解三角形
33．在△ABC中，AB＝eq \r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝______.
【解析】 由正弦定理可知：eq \f(AB,sin[180°－75°＋45°])＝eq \f(AC,sin 45°)
⇒eq \f(\r(6),sin 60°)＝eq \f(AC,sin 45°)⇒AC＝2.
34．已知△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边c＝________.
【解析】 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcsC＝1＋1－2×1×1×(－eq \f(1,2))＝3，
∴c＝eq \r(3).
35．在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求角A，B，C．
【解析】 在△ABC中，由余弦定理得，
csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq \f(24\r(3)＋1,24\r(2)\r(3)＋1)＝eq \f(\r(2),2).
∴C＝45°，sinC＝eq \f(\r(2),2).由正弦定理得，sinA＝eq \f(asinC,c)＝eq \f(2\r(6)×\f(\r(2),2),4\r(3))＝eq \f(1,2).
∵a36．已知△ABC中，a＝4，b＝4eq \r(3)，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150°
C．60°D．60°或120°
【解析】 由正弦定理，得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，
∴sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(4\r(3)×sin30°,4)＝eq \f(\r(3),2)，
又∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或120°.
37．在△ABC中，已知a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝45°，解三角形.
【解析】 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accsB，
则2＝3＋c2－2eq \r(3)×eq \f(\r(2),2)×c，即c2－eq \r(6)c＋1＝0，解得c＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)，或c＝eq \f(\r(6)－\r(2),2).
当c＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)时，由余弦定理得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(2＋\f(\r(6)＋\r(2),2)2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),2))＝eq \f(1,2).
∵0°当c＝eq \f(\r(6)－\r(2),2)时，由余弦定理得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(2＋\f(\r(6)－\r(2),2)2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)－\r(2),2))＝－eq \f(1,2).
∵0°∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(120°＋45°)＝15°.
故c＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)时，A＝60°，C＝75°；c＝eq \f(\r(6)－\r(2),2)时，A＝120°，C＝15°.
38．在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝eq \r(37)，则最大角为________.
【解析】 ∵eq \r(37)>4>3，边c最大，则角C最大，
又csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(32＋42－37,2×3×4)＝－eq \f(1,2).
∴最大角C＝120°.
考点十一 三角形形状的判断
39．在△ABC中，已知eq \f(a2sinB,csB)＝eq \f(b2sinA,csA)，试判断△ABC的形状.
【解析】 ∵eq \f(a2sinB,csB)＝eq \f(b2sinA,csA)，a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∴eq \f(4R2sin2AsinB,csB)＝eq \f(4R2sin2BsinA,csA).
又∵sinAsinB≠0，∴sinAcsA＝sinBcsB，
即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝eq \f(π,2).
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
40．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccsBcsC，试判断△ABC的形状.
【解析】 解法一：∵b2sin2C＋c2sin2B＝2bccsBcsC，
∴利用正弦定理可得
sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinB·sinC·csB·csC，
∵sinBsinC≠0，∴sinB·sinC＝csBcsC，∴cs(B＋C)＝0，∴csA＝0，
∵0解法二：已知等式可化为b2－b2cs2C＋c2－c2·cs2B＝2bccsBcsC，
由余弦定理可得b2＋c2－b2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2－c2,2ab)))2－c2·(eq \f(a2＋c2－b2,2ac))2
＝2bc·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
【方法归纳】已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形，可以化边为角，通过三角变换求解，也可以化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等．
41．在△ABC中，acs(eq \f(π,2)－A)＝bcs(eq \f(π,2)－B)，判断△ABC的形状．
【解析】 ∵acs(eq \f(π,2)－A)＝bcs(eq \f(π,2)－B)，∴asinA＝bsinB．
由正弦定理，得a×eq \f(a,2R)＝b×eq \f(b,2R)，∴a2＝b2，∴a＝b，
故△ABC是等腰三角形．
42．在△ABC中，已知a︰b︰c＝1︰eq \r(3)︰2，试判断三角形的形状．
【解析】 在△ABC中，设a＝x(x>0)，则b＝eq \r(3)x，c＝2x.
显然c最大，故角C最大．
根据余弦定理，
csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(x2＋\r(3)x2－2x2,2·x·\r(3)x)＝eq \f(x2＋3x2－4x2,2\r(3)x2)＝0.
∴C＝eq \f(π,2)，即△ABC是直角三角形．
43．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcs C－2ccs B＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【解析】因为2bcs C－2ccs B＝a，所以2sin Bcs C－2sin Ccs B＝sin A＝sin(B＋C)，即sin Bcs C＝3cs Bsin C，所以tan B＝3tan C，又B＝2C，所以eq \f(2tan C,1－tan2C)＝3tan C，得tan C＝eq \f(\r(3),3)，C＝eq \f(π,6)，B＝2C＝eq \f(π,3)，A＝eq \f(π,2)，故△ABC为直角三角形．故选B.
考点十二 由余弦定理变形求角
44．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，则C的大小为 ( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,2)D．eq \f(2π,3)
【解析】 (a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(ab,2ab)＝eq \f(1,2)，
∵045．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于 ( )
A．30°B．60°
C．120°D．150°
【解析】 ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，∴A＝60°.
考点十三 求三角形的面积
46．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为 ( )
A．eq \f(1,2)B．1
C．eq \r(3)D．2
【解析】 ∵a2＝b2＋c2－bc，∴csA＝eq \f(1,2)，∴A＝eq \f(π,3)，又bc＝4，∴△ABC的面积为eq \f(1,2)bcsinA＝eq \r(3)，故选C．
47．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.若a＝eq \r(3)c，b＝2eq \r(7)，求△ABC的面积；
【解析】 由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×eq \r(3)c2×cs 150°.
解得c1＝－2(舍去)，c2 ＝2，从而a＝2eq \r(3).
△ABC的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2×sin 150°＝eq \r(3).
考点十四 正余弦定理的综合问题
48．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a︰b︰c＝7︰5︰3.
(1)求csA的值； (2)若△ABC的面积为45eq \r(3)，求△ABC外接圆半径的大小．
【解析】 (1)因为a︰b︰c＝7︰5︰3，
所以可设a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，
由余弦定理得
csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(5k2＋3k2－7k2,2×5k×3k)＝－eq \f(1,2).
(2)由(1)知csA＝－eq \f(1,2)，
因为A是△ABC的内角，所以sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(3),2).
由(1)知b＝5k，c＝3k，
因为△ABC的面积为45eq \r(3)，所以eq \f(1,2)bcsinA＝45eq \r(3)，
即eq \f(1,2)×5k×3k×eq \f(\r(3),2)＝45eq \r(3)，解得k＝2eq \r(3).
由正弦定理得2R＝eq \f(7k,sinA)＝eq \f(14\r(3),\f(\r(3),2))＝28，
解得R＝14，所以△ABC外接圆半径的大小为14.
49．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=5
(1)求cs A的值; (2)求sin(2B-A)的值.
解:(1)由asin A=4bsin B及asinA=bsinB,得a=2b.
由ac=5及余弦定理,得cs A=b2+c2-a22bc=-55ac2bc=-55.
(2)由(1),可得sin A=255,代入asin A=4bsin B,得sin B=asinA4b=55.
由(1)知,A为钝角,所以cs B=1-sin2B=255.
于是sin 2B=2sin Bcs B=45,cs 2B=1-2sin2B=35,故sin(2B-A)=sin 2Bcs A-cs 2Bsin A=45×-55-35×255=-255.定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C) ＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2＝ b2＋c2－2bccs A
b2＝ a2＋c2－2accs B
c2＝ a2＋b2－2abcs C
常见
变形
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C
②sin A＝ eq \f(a,2R) ，sin B＝ eq \f(b,2R) ，sin C＝ eq \f(c,2R)
③a：b：c＝ sin Asin Bsin C
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
解决解斜三角形的问题
(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求各角
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
三角函数
周期
二、常考题型
三、知识梳理
1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
两角和与差的余弦公式：.
两角和与差的正弦公式：
两角和与差的正切公式：
2.二倍角的正弦、余弦及正切公式
(1)sin2α＝2sinαcsα(S2α)．
(2)cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α(C2α)．
(3)tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)(T2α)．
3.二倍角公式的变形
（1）．降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
（2）．升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α.
4．辅助角(“二合一”)公式：
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，
其中cs φ＝ eq \f(a,\r(a2＋b2)) ，sin φ＝ eq \f(b,\r(a2＋b2)) .
5.正弦定理和余弦定理
6.在△ABC中，常有以下结论
1．∠A＋∠B＋∠C＝π.
2．在三角形中，大边对大角，大角对大边．
3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．sin(A＋B)＝sin C；cs(A＋B)＝－cs C
5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
四、常考题型探究
考点一 公式的直接应用
1．(1)求值：cs15°＝ ；
(2)求值：sin7°cs23°＋sin83°cs67°＝ ；
(3)求值：sin70°sin65°－sin20°sin25°＝ .
(4)tan255°＝( )
A．－2－eq \r(3)B．－2＋eq \r(3)
C．2－eq \r(3)D．2＋eq \r(3)
【解析】 (1)cs15°＝cs(45°－30°)＝cs45°·cs30°＋sin45°·sin30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
(2)原式＝cs83°cs23°＋sin83°sin23°＝cs(83°－23°)＝cs60°＝eq \f(1,2).
（3）原式＝sin70°cs25°－cs70°sin25°＝sin(70°－25°)＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
(4)tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－1×\f(\r(3),3))＝eq \f(3＋\r(3),3－\r(3))＝eq \f(12＋6\r(3),6)＝2＋eq \r(3).
2．计算：cs(α－35°)cs(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝ .
【解析】原式＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]＝cs(－60°)＝cs60°＝eq \f(1,2).
3．求值：sin347°cs148°＋sin77°cs58°；
【解析】 (1)原式＝sin(360°－13°)cs(180°－32°)＋sin(90°－13°)cs(90°－32°)
＝sin13°cs32°＋cs13°sin32°
＝sin(13°＋32°)＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
3. sin15°＋sin75°＝ ；
【解析】sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)
＝sin45°cs30°－cs45°·sin30°＋sin45°cs30°＋cs45°sin30°＝2sin45°cs30°＝eq \f(\r(6),2).
4．计算：eq \f(1＋tan15°,\r(3)－tan60°tan15°)＝ .
【解析】原式＝eq \f(tan45°＋tan15°,\r(3)1－tan45°tan15°)＝eq \f(1,\r(3))tan(45°＋15°)
＝eq \f(1,\r(3))tan60°＝eq \f(1,\r(3))×eq \r(3)＝1.
考点二 给值求值
5．已知sinα＝－eq \f(4,5)，sinβ＝eq \f(5,13)，且180°<α<270°，90°<β<180°，则cs(α－β)＝ ；
【解析】 ∵180°<α<270°，∴csα＝－eq \f(3,5)；
又∵90°<β<180°，∴csβ＝－eq \f(12,13)；
cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ
＝(－eq \f(3,5))×(－eq \f(12,13))＋(－eq \f(4,5))×eq \f(5,13)＝eq \f(16,65).
6．求值：已知α，β为锐角，且sinα＝eq \f(\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，则sin(α＋β)的值为 ，sin(α－β)的值为 .
【解析】∵α，β都是锐角，且sinα＝eq \f(\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，
∴csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\f(\r(5),5)2)＝eq \f(2\r(5),5)，
csβ＝eq \r(1－sin2β)＝eq \r(1－\f(\r(10),10)2)＝eq \f(3\r(10),10).
∴sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),5)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),10).
7．若tanα＝2，tanβ＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)＝( )
A．－eq \f(3,4)B．eq \f(3,4)
C．3 D．eq \f(1,3)
【解析】 tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)
＝eq \f(2－\f(1,2),1＋2×\f(1,2))＝eq \f(3,4).
8.已知sin α＝eq \f(4,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，cs β＝－eq \f(5,13)，β是第三象限角，求cs(α－β)的值．
【解析】 由sinα＝eq \f(4,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，得
csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\f(4,5)2)＝－eq \f(3,5).
又由csβ＝－eq \f(5,13)，β是第三象限角，得
sinβ＝－eq \r(1－cs2β)＝－eq \r(1－－\f(5,13)2)＝－eq \f(12,13).
所以cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ＝(－eq \f(3,5))×(－eq \f(5,13))＋eq \f(4,5)×(－eq \f(12,13))＝－eq \f(33,65).
9.已知sinα＝eq \f(15,17)，α∈(eq \f(π,2)，π)，求sin(eq \f(π,3)－α)的值；
【解析】 因为sinα＝eq \f(15,17)，α∈(eq \f(π,2)，π)，所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\f(15,17)2)＝－eq \f(8,17).
所以sin(eq \f(π,3)－α)＝sineq \f(π,3)csα－cseq \f(π,3)sinα
＝eq \f(\r(3),2)×(－eq \f(8,17))－eq \f(1,2)×eq \f(15,17)＝－eq \f(15＋8\r(3),34).
10. 已知csα＝－eq \f(4,5)，且α∈(eq \f(π,2)，π)，则tan(eq \f(π,4)－α)＝( )
A．－eq \f(1,7)B．－7
C．eq \f(1,7) D．7
【解析】 (1)由csα＝－eq \f(4,5)，且α∈(eq \f(π,2)，π)，得sinα＝eq \f(3,5)，
所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(3,4)，
所以tan(eq \f(π,4)－α)＝eq \f(tan\f(π,4)－tanα,1＋tan\f(π,4)tanα)＝eq \f(1－－\f(3,4),1－\f(3,4))＝7，故选D.
考点三 给值求角
11.已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，且α、β为锐角，求α＋β的值．
【解析】 ∵α、β为锐角，sinα＝eq \f(\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，
∴csα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(2\r(5),5)，csβ＝eq \r(1－sin2β)＝eq \f(3\r(10),10)，
∴cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，
∵α、β为锐角，
∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝45°.
12.已知csα＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，且α，β∈(0，eq \f(π,2))，求β的值．
【解析】 ∵α，β∈(0，eq \f(π,2))，∴0<α＋β<π，
sinα＝eq \r(1－\f(1,49))＝eq \f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq \r(1－－\f(11,14)2)＝eq \f(5\r(3),14).
∴csβ＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)·sinα＝－eq \f(11,14)×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2)，
∴β＝eq \f(π,3).
13.若α，β∈(0，eq \f(π,2))且tanα＝eq \f(1,2)，tanβ＝eq \f(1,3)，则 α＋β＝ .
【解析】 tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,6))＝1.
考点四 辅助角公式的应用
14．求eq \r(3)sineq \f(π,12)＋cseq \f(π,12)的值：
【解析】 原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\f(π,12)＋\f(1,2)cs\f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,12)cs\f(π,6)＋sin\f(π,6)cs\f(π,12)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝2sineq \f(π,4)＝eq \r(2).
[方法归纳]公式asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)(或asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ))将形如asinα＋bcsα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
15．eq \r(2)cseq \f(π,12)＋eq \r(6)sineq \f(π,12)的值是( )
A．eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．eq \f(\r(2),2)
【解析】 (1)原式＝2eq \r(2)(eq \f(1,2)cseq \f(π,12)＋eq \f(\r(3),2)sineq \f(π,12))
＝2eq \r(2)sin(eq \f(π,12)＋eq \f(π,6))＝2eq \r(2)sineq \f(π,4)＝2，故选B.
16．y＝csx＋cs(x＋eq \f(π,3))的最大值是 .
【解析】y＝csx＋csx·eq \f(1,2)－sinx·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,2)csx－eq \f(\r(3),2)sinx
＝eq \r(3)(eq \f(\r(3),2)csx－eq \f(1,2)sinx)＝－eq \r(3)(eq \f(1,2)sinx－eq \f(\r(3),2)csx)
＝－eq \r(3)sin(x－eq \f(π,3))，当x＝2kπ－eq \f(π,6)时，(k∈Z)，ymax＝eq \r(3).
考点五 三角函数的周期
17．求下列函数的周期：
【解析】(1)∵ω＝eq \f(1,2)，∴T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π.
(2)∵ω＝eq \f(1,3)，∴T＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π.
(3)∵ω＝3，T＝eq \f(2π,3)
(4)∵ω＝eq \f(2,π)，∴T＝eq \f(2π,\f(2,π))＝π2.
【方法归纳】 求三角函数周期的方法
(1)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝eq \f(2π,|ω|)来求．对形如y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求．
(2)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
考点六 三角函数的奇偶性
18．函数是( )
A．奇函数B．非奇非偶函数
C．偶函数D．既是奇函数又是偶函数
【解析】 函数，
∵f(－x)＝(－x)cs(－x)＝－xcsx＝－f(x)，
且定义域为R，∴f(x)是奇函数．故选A
19．对于函数y＝cs(eq \f(π,2)－2x)，下列命题正确的是( )
A．函数是周期为2π的偶函数
B．函数是周期为2π的奇函数
C．函数是周期为π的偶函数
D．函数是周期为π的奇函数
【解析】 因为函数y＝cs(eq \f(π,2)－2x)＝sin2x，T＝eq \f(2π,2)＝π，且y＝sin2x是奇函数，
所以y＝cs(eq \f(π,2)－2x)是周期为π的奇函数．
20．判断函数f(x)＝xcs(π＋x)的奇偶性：
【解析】 函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝x·cs(π＋x)＝－x·csx，
∴f(－x)＝－(－x)·cs(－x)＝x·csx＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
21．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcsx中，奇函数的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
【解析】 ①③④是奇函数，故选C.
考点七 比较三角函数值的大小
22．下列各式中正确的是( )
A．tan735°>tan800°B．tan1>－tan2
C．taneq \f(5π,7)
因为0
(1)cseq \f(15π,8)，cseq \f(14π,9).
(2)cs1，sin1.
(3)sin164°与cs110°.
【解析】 (1)cseq \f(15π,8)＝cseq \f(π,8)，cseq \f(14π,9)＝cseq \f(4π,9)，因为0
(2)因为cs1＝sin(eq \f(π,2)－1)，而0
cs110°＝cs(90°＋20°)＝－sin20°.
因为sin16°>0，－sin20°<0，所以－sin20°
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]或[eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．
(2)不同名的函数化为同名的函数．
(3)自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．
24．比较tan1，tan2，tan3的大小；
【解析】 因为tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)．
又因为eq \f(π,2)<2<π，所以－eq \f(π,2)<2－π<0.
因为eq \f(π,2)<3<π，所以－eq \f(π,2)<3－π<0.
显然－eq \f(π,2)<2－π<3－π<1
所以tan(2－π)
A．sin11°
sin80°>sin12°>sin11°，即cs10°>sin168°>sin11°.故选C
考点八 三角函数的单调区间
26．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是( )
A．[0，π]B．[eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]
C．[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]D．[π，2π]
答案C
27．求函数y＝eq \f(1,2)cs(2x＋eq \f(π,3))的单调递减区间：
【解析】 令z＝2x＋eq \f(π,3)，而函数y＝csz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．∴原函数的单调递减区间是[kπ－eq \f(π,6)，kπ＋eq \f(π,3)](k∈Z)．
28．求函数y＝tan(eq \f(1,2)x－eq \f(π,4))的单调区间．
【解析】 由kπ－eq \f(π,2)
A．y＝sinxB．y＝csx
C．y＝sin2xD．y＝cs2x
【解析】 y＝sinx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是减函数，不满足条件．y＝csx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是减函数，不满足条件．y＝sin2x的周期是π，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上不单调，不满足条件．y＝cs2x的周期是π，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上是增函数，满足条件．故选D.
【方法归纳】 单调区间的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数，
(1)当A>0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝csx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间．
(2)当A<0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝csx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y＝sinx或y＝csx的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．
考点九 周期性、奇偶性、单调性的综合应用
30．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cs|2x|B．y＝|sin2x|
C．y＝sin(eq \f(π,2)＋2x)D．y＝cs(eq \f(3π,2)－2x)
【解析】 y＝cs(eq \f(3π,2)－2x)＝－sin2x，满足既是奇函数，又是最小正周期为π的周期函数．故选D.
31．下列函数中，周期为π，且在[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)]上为减函数的是( )
A．y＝sin(2x＋eq \f(π,2))B．y＝cs(2x＋eq \f(π,2))
C．y＝sin(x＋eq \f(π,2))D．y＝cs(x＋eq \f(π,2))
【解析】 C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cs(2x＋eq \f(π,2))＝－sin2x，该函数在[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋eq \f(π,2))＝cs2x，该函数符合题意，选A.
32．对于函数y＝cs(eq \f(π,2)－2x)，下列命题正确的是( )
A．函数是周期为2π的偶函数
B．函数是周期为2π的奇函数
C．函数是周期为π的偶函数
D．函数是周期为π的奇函数
【解析】 因为函数y＝cs(eq \f(π,2)－2x)＝sin2x，T＝eq \f(2π,2)＝π，且y＝sin2x是奇函数，
所以y＝cs(eq \f(π,2)－2x)是周期为π的奇函数．故选D
考点十 利用正、余弦定理解三角形
33．在△ABC中，AB＝eq \r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝______.
【解析】 由正弦定理可知：eq \f(AB,sin[180°－75°＋45°])＝eq \f(AC,sin 45°)
⇒eq \f(\r(6),sin 60°)＝eq \f(AC,sin 45°)⇒AC＝2.
34．已知△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边c＝________.
【解析】 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcsC＝1＋1－2×1×1×(－eq \f(1,2))＝3，
∴c＝eq \r(3).
35．在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求角A，B，C．
【解析】 在△ABC中，由余弦定理得，
csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq \f(24\r(3)＋1,24\r(2)\r(3)＋1)＝eq \f(\r(2),2).
∴C＝45°，sinC＝eq \f(\r(2),2).由正弦定理得，sinA＝eq \f(asinC,c)＝eq \f(2\r(6)×\f(\r(2),2),4\r(3))＝eq \f(1,2).
∵a
A．30° B．30°或150°
C．60°D．60°或120°
【解析】 由正弦定理，得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，
∴sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(4\r(3)×sin30°,4)＝eq \f(\r(3),2)，
又∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或120°.
37．在△ABC中，已知a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝45°，解三角形.
【解析】 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accsB，
则2＝3＋c2－2eq \r(3)×eq \f(\r(2),2)×c，即c2－eq \r(6)c＋1＝0，解得c＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)，或c＝eq \f(\r(6)－\r(2),2).
当c＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)时，由余弦定理得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(2＋\f(\r(6)＋\r(2),2)2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),2))＝eq \f(1,2).
∵0°
∵0°
故c＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)时，A＝60°，C＝75°；c＝eq \f(\r(6)－\r(2),2)时，A＝120°，C＝15°.
38．在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝eq \r(37)，则最大角为________.
【解析】 ∵eq \r(37)>4>3，边c最大，则角C最大，
又csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(32＋42－37,2×3×4)＝－eq \f(1,2).
∴最大角C＝120°.
考点十一 三角形形状的判断
39．在△ABC中，已知eq \f(a2sinB,csB)＝eq \f(b2sinA,csA)，试判断△ABC的形状.
【解析】 ∵eq \f(a2sinB,csB)＝eq \f(b2sinA,csA)，a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∴eq \f(4R2sin2AsinB,csB)＝eq \f(4R2sin2BsinA,csA).
又∵sinAsinB≠0，∴sinAcsA＝sinBcsB，
即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝eq \f(π,2).
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
40．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccsBcsC，试判断△ABC的形状.
【解析】 解法一：∵b2sin2C＋c2sin2B＝2bccsBcsC，
∴利用正弦定理可得
sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinB·sinC·csB·csC，
∵sinBsinC≠0，∴sinB·sinC＝csBcsC，∴cs(B＋C)＝0，∴csA＝0，
∵0
由余弦定理可得b2＋c2－b2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2－c2,2ab)))2－c2·(eq \f(a2＋c2－b2,2ac))2
＝2bc·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
【方法归纳】已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形，可以化边为角，通过三角变换求解，也可以化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边的关系等等．
41．在△ABC中，acs(eq \f(π,2)－A)＝bcs(eq \f(π,2)－B)，判断△ABC的形状．
【解析】 ∵acs(eq \f(π,2)－A)＝bcs(eq \f(π,2)－B)，∴asinA＝bsinB．
由正弦定理，得a×eq \f(a,2R)＝b×eq \f(b,2R)，∴a2＝b2，∴a＝b，
故△ABC是等腰三角形．
42．在△ABC中，已知a︰b︰c＝1︰eq \r(3)︰2，试判断三角形的形状．
【解析】 在△ABC中，设a＝x(x>0)，则b＝eq \r(3)x，c＝2x.
显然c最大，故角C最大．
根据余弦定理，
csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(x2＋\r(3)x2－2x2,2·x·\r(3)x)＝eq \f(x2＋3x2－4x2,2\r(3)x2)＝0.
∴C＝eq \f(π,2)，即△ABC是直角三角形．
43．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcs C－2ccs B＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【解析】因为2bcs C－2ccs B＝a，所以2sin Bcs C－2sin Ccs B＝sin A＝sin(B＋C)，即sin Bcs C＝3cs Bsin C，所以tan B＝3tan C，又B＝2C，所以eq \f(2tan C,1－tan2C)＝3tan C，得tan C＝eq \f(\r(3),3)，C＝eq \f(π,6)，B＝2C＝eq \f(π,3)，A＝eq \f(π,2)，故△ABC为直角三角形．故选B.
考点十二 由余弦定理变形求角
44．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，则C的大小为 ( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,2)D．eq \f(2π,3)
【解析】 (a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(ab,2ab)＝eq \f(1,2)，
∵0
A．30°B．60°
C．120°D．150°
【解析】 ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，∴A＝60°.
考点十三 求三角形的面积
46．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为 ( )
A．eq \f(1,2)B．1
C．eq \r(3)D．2
【解析】 ∵a2＝b2＋c2－bc，∴csA＝eq \f(1,2)，∴A＝eq \f(π,3)，又bc＝4，∴△ABC的面积为eq \f(1,2)bcsinA＝eq \r(3)，故选C．
47．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.若a＝eq \r(3)c，b＝2eq \r(7)，求△ABC的面积；
【解析】 由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×eq \r(3)c2×cs 150°.
解得c1＝－2(舍去)，c2 ＝2，从而a＝2eq \r(3).
△ABC的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2×sin 150°＝eq \r(3).
考点十四 正余弦定理的综合问题
48．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a︰b︰c＝7︰5︰3.
(1)求csA的值； (2)若△ABC的面积为45eq \r(3)，求△ABC外接圆半径的大小．
【解析】 (1)因为a︰b︰c＝7︰5︰3，
所以可设a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，
由余弦定理得
csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(5k2＋3k2－7k2,2×5k×3k)＝－eq \f(1,2).
(2)由(1)知csA＝－eq \f(1,2)，
因为A是△ABC的内角，所以sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(3),2).
由(1)知b＝5k，c＝3k，
因为△ABC的面积为45eq \r(3)，所以eq \f(1,2)bcsinA＝45eq \r(3)，
即eq \f(1,2)×5k×3k×eq \f(\r(3),2)＝45eq \r(3)，解得k＝2eq \r(3).
由正弦定理得2R＝eq \f(7k,sinA)＝eq \f(14\r(3),\f(\r(3),2))＝28，
解得R＝14，所以△ABC外接圆半径的大小为14.
49．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=5
(1)求cs A的值; (2)求sin(2B-A)的值.
解:(1)由asin A=4bsin B及asinA=bsinB,得a=2b.
由ac=5及余弦定理,得cs A=b2+c2-a22bc=-55ac2bc=-55.
(2)由(1),可得sin A=255,代入asin A=4bsin B,得sin B=asinA4b=55.
由(1)知,A为钝角,所以cs B=1-sin2B=255.
于是sin 2B=2sin Bcs B=45,cs 2B=1-2sin2B=35,故sin(2B-A)=sin 2Bcs A-cs 2Bsin A=45×-55-35×255=-255.定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C) ＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2＝ b2＋c2－2bccs A
b2＝ a2＋c2－2accs B
c2＝ a2＋b2－2abcs C
常见
变形
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C
②sin A＝ eq \f(a,2R) ，sin B＝ eq \f(b,2R) ，sin C＝ eq \f(c,2R)
③a：b：c＝ sin Asin Bsin C
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
解决解斜三角形的问题
(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求各角
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
三角函数
周期
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