浙江省杭州市2024届高三下学期模拟预测数学试卷(含答案)

这是一份浙江省杭州市2024届高三下学期模拟预测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．若复数是纯虚数，则实数( )
A.1B.C.D.0
3．中国茶文化是中国制茶､饮茶的文化.中国是茶的故乡，中国人发现并利用茶，据说始于神农时代，至少有4700多年历史中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含物质文化层面，还包含深厚的精神文明层次.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还有杀青､揉捻､干燥等制作流程.现在某茶厂新招聘了6位工人，分配到这三个工序，揉捻工序至少要分配两位工人，杀青､干燥工序各至少分配一位工人，则不同分配方案数为( )
A.120B.240C.300D.360
4．若点P是函数图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l倾斜角的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．如图，在四面体中，，，.点M在上，且，N为中点，则等于( )
A.B.C.D.
6．已知，且，，则M、N的大小关系是( )
A.B.C.D.不能确定
7．若，则( )
A.B.C.D.
8．设直线被圆所截得的弦的中点为,则的最大值为( )
A.B.C. D.
二、多项选择题
9．若平面平面，直线，点，过点M的所有直线中( )
A.一定存在与a垂直的直线B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线
10．已知数列满足,,则数列( )
A.有可能是常数数列
B.有可能是等差数列
C.有可能是等比数列
D.有可能既不是等差数列,也不是等比数列
11．设，为椭圆的两个焦点，为C上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则( )
A.B.C.D.O、I、P三点共线
三、填空题
12．计算：________.
13．已知，则的值为________.
四、双空题
14．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则________，若，则________.
五、解答题
15．已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值.
16．在中，，，.
(1)求A的大小；
(2)求外接圆的半径与内切圆的半径.
17．已知函数.
(1)用定义法证明：函数在是单调递增函数；
(2)若，求函数的最小值.
18．如图，在四棱锥中，底面是一个平行四边形，底面，，点E是的中点，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小.
19．已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)过抛物线E的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为、两点，以线段为直径的圆C过点，求圆的方程.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意，，所以.
故选：A.
2．答案：B
解析：由，
根据题意可知.
故选：B
3．答案：D
解析：根据题意，新招聘了6位工人，分配到这三个工序，揉捻工序至少要分配两位工人，杀青､干燥工序各至少分配一位工人，可分为三类情况：
①若揉捻工序分配2人，有种分配方案；
②若揉捻工序分配3人，有种分配方案；
③若揉捻工序分配4人，有种分配方案；
由分类计数原理可得，共有种分配方案.
故选：D.
4．答案：C
解析：函数中，，即，设点，
求导得
，由，得，即，
因此函数的图象在点P处的切线l斜率，显然直线l的倾斜角为钝角，所以直线l的倾斜角的取值范围是.
故选：C
5．答案：D
解析：因为，N为中点，
故.
故选：D
6．答案：C
解析：已知.则，，，
所以，
，因此，.
故选:C.
7．答案：A
解析：，
所以，
故选：A.
8．答案：C
解析：直线过定点,
因为M是弦的中点,
所以,
故M的轨迹方程为：,
设,即
即是直线与圆的公共点,
由直线与圆的位置关系可得,,解得,
所以的最大值为.
故选：C.
9．答案：AD
解析：显然，过点M和直线a确定平面为，
设，又，
由于，所以，则过点M且与直线b垂直的直线均与直线a垂直，故A正确；
假设平面内过B还有一个直线c与a平行，即，则，
但b，c有公共点B，矛盾，因此过M有且只有一条直线与a平行，故BC错误，
故选：AD.
10．答案：BCD
解析：由可得,
即,
若对任意的,有且,此时数列是公比为的等比数列,
若对任意的,有且,此时数列是公差为1的等差数列,
取数列各项为:1、、0、1、、、,则数列满足条件,
此时,数列既不是等差数列,也不是等比数列,BCD对,
若数列为常数列,不妨设（c为常数）对任意的恒成立,
由可得,可得,与矛盾,
故数列不可能是常数列,A错.
故选:BCD.
11．答案：BC
解析：如图所示，设切点为A，B，C，内切圆半径为r，
对于A，由椭圆方程得，，，
则，
所以，，
所以，故A错误；
由题意得
，
又因为，解得，B正确；
从而，
所以，
所以，而，
所以，，C正确；
由题知，若O、I、P三点共线，
则为的中线，
又因此时为的角平分线，
所以只能是时，上述成立，
而P在C上且在第一象限，
所以O、I、P三点不可能共线，D错误.
故选：BC
12．答案：0
解析：由题意.
故答案为：0.
13．答案：/
解析：由已知，所以，
所以.
故答案为：.
14．答案：35；10
解析：由题意知，第1个五角形数记作，
第2个五角形数记作，
第3个五角形数记作，
第4个五角形数记作，
第5个五角形数记作，
第n个五角形数记作，即，
则
，
由，即，解得.
故答案为：35；10.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）设数列的公差为，
因为，所以，即，
又因为，，成等比数列，
所以，即，
因为，所以，
所以，，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，
两式相减得
.
故.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由余弦定理得，
因为，所以.
（2）设外接圆的半径与内切圆的半径分别为R，r，由正弦定理得，则.
的面积，
由，得.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）不妨设，所以，
因为，所以，，即，
所以函数在是单调递增函数.
（2）若，则，
所以
，
，
若，则单调递减，
所以此时，
若，则，
若，则单调递增，
所以此时，
综上所述，.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）证明：平面，平面，.
，，平面.
又平面，因此，平面平面.
（2）因为平面，，以点C为坐标原点，以、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，，则，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，所以，，
由图可知，二面角为锐角，故二面角为.
19．答案：(1)；
(2)
解析：（1）抛物线的焦点到准线的距离，
所以抛物线E的标准方程是.
（2）由（1）得抛物线的标准方程是，焦点，准线方程，
依题意可知直线与x轴不重合，设直线的方程为，
由消去x并化简得，，
设，，
则，，，，
，，所以，即，
，
所以圆C的方程为，
即，将代入得，解得，
所以圆C的方程为.