江苏省南京市六校2023-2024学年高二上学期期初联合调研数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市六校2023-2024学年高二上学期期初联合调研数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知直线方程，则倾斜角为( )
A.45°B.60°C.120°D.135°
2．已知直线和直线，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为( )
A.B.
C.D.
4．已知直线，则点到直线l距离的最大值为( )
A.B.C.5D.10
5．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，，则
6．有5件工艺品，其中合格品2件，不合格品3件，从中任取2件，若事件A的概率为，则事件A可以是( )
A.恰有1件合格品B.至少1件合格品
C.至多有1件合格品D.都不是合格品
7．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为( )
A.18B.21C.54D.63
8．设圆与圆，点A，B分别是，上的动点，M为直线上的动点，则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．对于数据2，6，8，2，3，4，6，9，则这组数据的( )
A.极差为7B.第25百分位数为2
C.平均数为5D.方差为
10．设A，B为两个随机事件，以下命题正确的是( )
A.若A，B是对立事件，则
B.若A，B是互斥事件，，，则
C.若，，且，则A，B是独立事件
D.若A，B是独立事件，，，则
11．以下四个命题正确的是( )
A.若点在圆外，则实数m的取值范围为
B.圆上有且仅有3个点到直线的距离等于
C.圆和圆外离
D.设b为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则
12．如图，点P在正方体的面对角线上运动（P点异于B，点），则下列结论正确的是( )
A.异面直线与所成角为
B.平面
C.三棱锥的体积不变
D.直线与平面所成角正弦值的取值范围为
三、填空题
13．圆与圆外切，则实数________.
14．过直线和直线的交点，且斜率为-1的直线的一般式方程为________.
15．已知圆，直线上点P，过点P作圆C的两条切线，（其中A，B为切点），则四边形面积的最小值为________.
16．已知三棱锥的四个顶点在半径为的球面上，是边长为3的等边三角形，平面平面，平面平面，则________.
四、解答题
17．全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作.2023年2月14日-24日在网上进行问卷调查，该调查是国家卫生城市评审的重要依据，居民可根据自身实际感受，对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，.
（1）求a的值及这100名居民问卷评分的中位数；
（2）若根据各组频率的比例采用分层随机抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取7人，查阅他们的答卷情况，再从这7人中选取2人进行专项调查，求这2人中恰有1人评分在内的概率.
18．已知圆，.
（1）过点A作圆C的切线m，求直线m的方程
（2）过点A作直线l与圆C相交，所得弦长不小于，求直线l的斜率的取值范围.
19．已知平面内两点，.
（1）求过点且与直线垂直的直线l的方程.
（2）若是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.
20．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点O，点P在线段上，且.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
21．某商场停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人在该商场临时停车，两人停车都不超过4小时.
（1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的率为，停车付费多于14元的概率为，求甲临时停车付费恰为6元的概率；
（2）若甲、乙两人停车的时长不超过1小时的概率分别为，，停车1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，停车2小时以上且不超过3小时的率分别为，，求甲乙两人停车付费相差16元的概率.
22．已知圆和点，P为圆C外一点，直线与圆C相切于点Q，.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）记（1）中的点P的轨迹为T，是否存在斜率为的直线l，使以l被曲线T截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：直线的斜率为-1，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：D.
2．答案：A
解析：若，则，解得或，
若，则直线：、直线：，可知；
若，则直线：、直线：，可知；
综上所述：或.
因为是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：C
解析：对于A，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；
对于B，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；
对于C，，，的坐标都满足圆的方程，
的坐标不满足圆的方程，
即圆过四个点中的三个点，故C符合题意；
对于D，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意.
故选：C.
4．答案：B
解析：直线l：，即，
由，得到，，所以直线过定点，
当直线l垂直于直线时，距离最大，此时最大值为，
故选：B.
5．答案：A
解析：对于A，因为，，可知.
对于B，若，，则或；
对于C，当，时，和位置关系不一定可以是也可以是；
对于D，若，，，和位置关系不一定垂直，也可以平行.
故选：A.
6．答案：C
解析：对于A，恰有1件合格品的概率为；
对于B，至少1件合格品的概率为；
对于C，至多有1件合格品的概率为；
对于D，都不是合格品的概率为；
故选：C
7．答案：B
解析：如图所示，
因为上下边长比为，
所以，
则棱台高，
根据体积公式可得，
故选：B.
8．答案：C
解析：
因为圆：的标准方程为；
圆：的标准方程为：
所以和的圆心坐标分别为、，半径，，
所以直线的斜率，而直线的斜率为1
所以直线与直线垂直，如图，
所以当M与和共线时最小，此时，
又此时，，
所以最小值为.
故选：C
9．答案：AC
解析：将题中数据进行从小到大排列：2，2，3，4，6，6，8，9
对于A，极差为7；
对于B，，所以第25百分位数为；
对于C，平均数为；
对于D，,故AC正确，BD错误，
故选：AC
10．答案：BCD
解析：对于A，因为A，B是对立事件，所以事件A，B是不可能同时发生的，则，故A错误；
对于B，因为A，B是互斥事件，则，故B正确；
对于C，若，，则，，所以，所以A，B是独立事件，故C正确；
对于D，因为A，B是独立事件，所以A，是独立事件，又，所以，所以，故D正确.
故选：BCD
11．答案：AB
解析：对于A，圆的标准方程为，因为点在圆外，
所以点到圆心的距离，解得或，所以A正确；
对于B，圆心到直线l的距离，而圆的半径，
所以有且仅有3个点到直线l的距离等于，所以B正确；
对于C，圆的圆心坐标和半径为，，圆的圆心坐标和半径为，，
因为圆心之间的距离，所以两圆相交，所以C错误；
对于D，曲线，即表示一个半径为1的半圆，如图所示，
当直线经过点时，得，
当直线经过点时，得，此时直线也恰好过点，
当直线与半圆相切时，，得（舍去），或，
由图可知当，或时，直线与曲线恰有一个公共点，所以D错误.
故选：AB
12．答案：BCD
解析：
对于A，因为正方体中，故异面直线与夹角为，
故A错误；
对于B，由正方体的性质可知，，面，
平面，又因为面
，同理可得平面，又因为面
，
又因为面,
平面，故B正确；
对于C，因为,面,面，所以面
所以为定值，故C正确；
对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，
，，，，，
则，
所以，
由正方体的性质知：平面的法向量为，
直线与平面所成角正弦值为，
因为，，所以当时取得最大值，若时取得为，所以，故D正确.
故选：BCD.
13．答案：±4
解析：两圆的圆心为，，半径为1和4，
因为两圆外切，则，解得.
故答案为：±4
14．答案：
解析：解析过程略
15．答案：
解析：
四边形的面积,
当与直线垂直时，此时取最小值，故最小值为，
又半径，所以，则四边形面积的最小值为.
故答案为：
16．答案：4
解析：将三棱锥转化为正三棱柱，设正三棱柱的外接球球心为，半径为，
取,中点为D,E，连接,交于，
因为是等边三角形，所以，，
平面平面，平面平面，面，则面，
平面平面，平面平面，面，则面，
因为平面，平面，所以，，
因为相交，且都属于平面，所以平面，
在中，外接圆半径，
所以由，得，解得，
故答案为：4
17．答案：（1）0.02，77.5；
（2）
解析：（1）解得，
因为，所以中位数在之间，
设中位数为x，则，
解得，所以中位数为77.5.
（2）评分在和的频率为0.1和0.25，
由分层抽样可得在中抽取人，设为a,b，
在中抽取人，设为A,B,C,D,E，
从人中选取2人的情况为：，共21种情况；
2人中恰有1人评分在内的情况为：，共10种情况；
所以2人中恰有1人评分在内的概率为.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）点在圆上，设直线m方程为，
因为相切，所以，解得，
所以直线m的方程为.
（2）由（1）的，设直线与圆交于C，D两点，
所以，即，即，即，
即，即，两边平方得到，
即，解得或者.
则求直线l的斜率的取值范围为或者.
19．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）由题意得，则直线l的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线l的方程为：，
即.
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即.
因为是以C为顶点的等腰直角三角形，
所以点C在直线上，
故设点C为，
由可得：，
解得或，
所以点C坐标为或，
则直线的方程为或.
20．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）平面平面，且两平面交于，又，
平面.
在中，，，.
且，是等腰直角三角形，
，.
，，
又，为等腰直角三角形，.
，，
又，所以，平面,平面，
平面.
（2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系.
可得，，，
即，.
设平面的法向量为，则，
解得.
平面的法向量为.
设二面角为，所以，
则.
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）停车费多于14元，则停车时间超过2小时.
设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则.
（2）由题意可得，
甲停车的时长不超过1小时的概率为：，即甲付费6元的概率为：，
甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，即甲付费14元的概率为：，
甲停车2小时以上且不超过3小时的率为，即甲付费22元的概率为：，
甲停车3小时以上且不超过4小时的率为：，即甲付费30元的概率为：，
乙停车的时长不超过1小时的概率为：，即乙付费6元的概率为：，
乙停车1小时以上且不超过2小时的概率为，即乙付费14元的概率为：，
乙停车2小时以上且不超过3小时的率为，即乙付费22元的概率为：，
乙停车3小时以上且不超过4小时的率为：，即乙付费30元的概率为：，
又甲乙停车付费相差16元的情况有，，，共四种，
（i）甲付费6元，乙付费22元的概率为：，
（ii）甲付费22元，乙付费6元的概率为：，
（iii）甲付费14元，乙付费30元的概率为：，
（iv）甲付费30元，乙付费14元的概率为：，
所以甲乙两人停车付费相差16元的概率为.
22．答案：（1）；
（2）存在，或
解析：（1）设点P坐标为，直线与圆C相切于点Q，
则，所以，
即，
化简得.
（2）设直线l方程为，点，.
联立方程，得，
所以.
因为以为直径得圆过点，则，
即，
化简得，
代入根与系数关系中，得，
解得或，
故直线l的方程为或.