2023-2024学年山西省晋城高三（上）第七次调研数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年山西省晋城高三（上）第七次调研数学试卷（10月份），共19页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合P＝{x∈N|x（x﹣3）≥0}，Q＝{2，4}，则（∁NP）∪Q＝（ ）
A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，4}
2．（5分）命题“∃x＜2，x2﹣2x＜0”的否定是（ ）
A．∃x≥2，x2﹣2x≥0B．∀x≥2，x2﹣2x≥0
C．∃x＜2，x2﹣2x≥0D．∀x＜2，x2﹣2x≥0
3．（5分）设a＝（）0.5，b＝（）0.4，c＝lg（lg34），则（ ）
A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
4．（5分）的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按如表分段累计计算：
有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（ ）
A．2000元B．1500元C．990元D．1590元
6．（5分）已知函数，则f（x）的最小正周期为（ ）
A．1B．πC．2D．2π
7．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则ω的值是（ ）
A．B．2C．或2D．无法确定
8．（5分）已知点P在函数f（x）＝lnx﹣x+2的图象上，点Q在直线l：x+2y﹣2ln2﹣6＝0上，记M＝|PQ|2，则（ ）
A．M的最小值为
B．当M最小时，点Q的横坐标为
C．M的最小值为
D．当M最小时，点Q的横坐标为
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
（多选）9．（5分）如图，在△ABC中，若点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，设AD，BE，CF交于一点O，则下列结论中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）10．（5分）下列各式正确的是（ ）
A．（1+tan1°）（1+tan44°）＝2
B．
C．
D．
（多选）11．（5分）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）在上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，则g（x）为偶函数
（多选）12．（5分）已知函数的两个极值点分别是x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0或a＞4
B．
C．
D．不存在实数a，使得f（x1）+f（x2）＞0
三.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（5分）设为两个不共线的向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为 ．
14．（5分）已知，则α+β＝ ．
15．（5分）设函数f（x）＝﹣4x+2x+1﹣1，g（x）＝lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围为 ．
16．（5分）已知a＞1，若对于任意的x∈[，+∞），不等式﹣2x+ln3x≤+lna恒成立，则a的最小值为 ．
四、解答题（17题10分，其余题各12分，共70分）
17．（10分）已知数列{an}各项均为正数，且．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记数列前n项的和为Sn，求Sn的取值范围．
18．（12分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．
（1）求A；
（2）若b+c＝4，△ABC的面积为，求a的值．
19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝PA＝4，BC＝CD＝2，PB＝2，PD＝2．
（1）求证：AD⊥BP；
（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
20．（12分）俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升．燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查．现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组[20，30），第2组[30，40），第3组[40，50），第4组[50，60），第5组[60.70]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求样本中数据落在[50，60）的频率；
（2）求样本数据的第50百分位数；
（3）若将频率视为概率，现在要从[20，30）和[60，70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在[20，30）这一组的概率．
21．（12分）已知焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点P（2，t）到F的距离是4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线l′与x轴交于点E，直线OA，OB与l′分别交于点M，N，若|ME|•|NE|＝8，证明：直线l过定点．
22．（12分）设函数f（x）＝x2﹣alnx，g（x）＝（a﹣2）x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点x1，x2，求满足条件的最小正整数a的值．
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
1．【分析】化简集合P，根据补集和并集的定义计算即可．
【解答】解：因为集合P＝{x∈N|x（x﹣3）≥0}，Q＝{2，4}，
所以∁NP＝{x∈N|x（x﹣3）＜0}＝{1，2}，
所以（∁NP）∪Q＝{1，2，4}．
故选：D．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2．【分析】由特称命题的否定是全称命题即可求解．
【解答】解：命题“∃x＜2，x2﹣2x＜0”的否定是∀x＜2，x2﹣2x≥0．
故选：D．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3．【分析】由已知中，由指数函数的单调性和对数函数的单调性，我们可以判断出a，b，c与0，1的大小关系，进而得到答案．
【解答】解：∵，
∴＝1，即0＜a＜1
且，即b＞1
，即c＜0
故c＜a＜b
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是对数的运算性，指数函数的单调性和对数函数的单调性，其中根据指数函数的单调性和对数函数的单调性，判断出a，b，c与0，1的大小关系，是解答本题的关键．
4．【分析】根据题意，先分析函数的定义域，排除A和B，再分析函数的值域，排除D，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，其定义域为{x|x≠0}，排除A、B，
又由x2＞0，ex＞0，则有，排除D，
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的定义域，值域的分析，属于基础题．
5．【分析】根据已知条件，分别计算应纳税额15000元中每部分的纳税额，并对所求结果求和，即可求解．
【解答】解：20000﹣5000＝15000，其中3000元应纳税3%，9000元应纳税10%，3000元应纳税20%，
故一共纳税3000×3%+9000×10%+3000×20%＝1590元．
故选：D．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，考查计算能力，属于基础题．
6．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期即可．
【解答】解：f（x）＝
＝﹣cs2x+sin2x
＝，
所以最小正周期为＝π．
故选：B．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数的应用，三角函数的周期的求法，是基础题．
7．【分析】根据三角函数的奇偶性、诱导公式求得f（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，求得ω的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，∴φ＝，f（x）＝csωx．
根据它的图象关于点对称，可得＝kπ+，k∈Z，即ω＝k+①；
又f（x）在区间上是单调函数，∴ω•≤π，即ω≤2 ②，
结合①②可得ω＝或ω＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性、诱导公式，余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．
8．【分析】由两曲线的图像，可知M的最小值，直接解之．
【解答】解：由题意，把直线l平移与曲线f（x）相切时，直线l与切线的距离即为M的最小值，
∵直线l的斜率为，令，得x＝2，∴当M最小时，点P的坐标为（2，ln2），此时点P到直线l：x+2y﹣2ln2﹣6＝0的距离为，
所以M的最小值为，∴选项A，C都不正确．
过点P且垂直于l的直线方程为l'：2x﹣y+ln2﹣4＝0，联立两直线的方程，得点Q的横坐标为，选项B正确，D错误，
故答案为：B．
【点评】本题考查导数的运用，数形结合确定最佳位置，是基础题．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
9．【分析】利用向量的加减法则进行判断．
【解答】解；由题意可得，A正确；
因为点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
所以，B正确；
由题意知O是△ABC的重心，则AO＝，
所以＝＝，C错误；
由题意得，
所以＝（）＝﹣﹣＝﹣（）﹣＝，D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了向量的线性表示，属于基础题．
10．【分析】A：利用正切的和角公式化简即可判断；B：利用正弦的倍角公式以及辅助角公式化简即可判断；C：利用诱导公式以及余弦的倍角公式化简即可判断；D：利用诱导公式以及正弦的倍角公式和辅助角公式化简即可判断求解．
【解答】解：选项A，（1+tan1°）（1+tan44°）＝1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°，
∵tan45°＝，即tan1°+tan44°+tan1°tan44°＝1，
∴（1+tan1°）（1+tan44°）＝2，故选项A 正确；
选项B：因为＝＝＝4，故B错误，
选项C：因为＝＝＝2，故C正确，
选项D：原式＝﹣•cs10°＝﹣
＝＝＝﹣1，故D错误，
故选：AC．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
11．【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数性质及图象变换判断各选项．
【解答】解：对A，根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象，可得A＝2，
，所以ω＝2π，
利用五点法作图，可得，可得，所以，则Aω＝12φ＝4π，故A正确；
对B，令，求得f（x）＝0，故函数y＝f（x）的图象不关于直线对称，故B错误；
当x∈时，，则函数f（x）不单调，故C错误；
对D，，
把其图象向左平移个单位可得，
根据余弦函数y＝csx为偶函数，可知g（x）为偶函数，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，考查运算求解能力，属于中档题．
12．【分析】求出函数f（x）的导数f′（x），由f′（x）有两个零点求出a范围判断A；根据选项BCD的特征结合韦达定理表示成a的函数，再利用导数推理作答即可．
【解答】解：对于A，函数的定义域为（0，+∞），
则，
令f′（x）＝0，则x2﹣ax+a＝0在（0，+∞）上有两个不等的实根，
因此，解得a＞4，故A错误；
对于B，因为a＞4，由韦达定理得x1+x2＝a，x1x2＝a，
则，故B正确；
对于C，，
令，则，
令，则，
即函数φ（a）在（4，+∞）上单调递减，
，则函数h（a）在（4，+∞）上单调递减，
于是h（a）＜h（4）＝4ln4﹣12﹣2+6＝8ln2﹣8＜0，
所以，故C正确；
对于D，，
令，，
即函数g（a）在（4，+∞）上单调递减，
g（a）＜g（4）＝﹣3+ln4＜0，
因此f（x1）+f（x2）＝a⋅g（a）＜0恒成立，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，是中档题．
三.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．【分析】由题意，先求出，根据∥，可得 ＝，由此求得k的值．
【解答】解：∵为两个不共线的向量，，
∴＝+＝2+（k+1），
若A，B，D三点共线，∥，∴＝，求得k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，三点共线的性质，属于基础题．
14．【分析】根据题目条件得到和，从而求出，结合和，得到，从而得到．
【解答】解：已知，
故csαsinβ＝﹣4sinαcsβ，
又，
故，
解得，
故，
则，
因为α，β∈（0，π），
所以α﹣β∈（﹣π，π），
因为，
所以α﹣β∈（0，π），α＞β，
因为，
所以tanα，tanβ异号，
从而，
故，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
15．【分析】函数f（x）＝﹣（2x﹣1）2≤0，（x∈R）．由对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），可得（﹣∞，0]⊆{g（x）|g（x）＝lg（ax2﹣4x+1）}，因此∀x∈R，都有lg（ax2﹣4x+1）≥0，可得∀x∈R，ax2﹣4x+1≥1，即ax2﹣4x≥0，对a分类讨论即可得出．
【解答】解：函数f（x）＝﹣4x+2x+1﹣1＝﹣（2x）2+2•2x﹣1＝﹣（2x﹣1）2≤0，（x∈R）．
∵对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），
∴（﹣∞，0]⊆{g（x）|g（x）＝lg（ax2﹣4x+1）}，
∴∀x∈R，都有lg（ax2﹣4x+1）≥0，∴∀x∈R，ax2﹣4x+1≥1，即ax2﹣4x≥0，
a≤0时不满足条件．
∴a＞0，Δ＝16﹣4a≤0，解得a≥4．
则实数a的取值范围为[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．
【点评】本题考查了二次函数与对数函数的单调性、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．【分析】根据题意可得，再构造，利用导数研究该函数的单调性，从而利用函数的单调性，可得3x≤ae2x，然后再参变量分离，将恒成立问题转为变量的最值，最后利用导数求出变量式的最值，从而得解．
【解答】解：因为lna+2x＝lna+lne2x＝lnae2x，
所以可化为：
，
设，则＝≥0，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
因为，所以3x≥1，，ae2x＞1，
所以可化为f（3x）≤f（ae2x），所以3x≤ae2x，
∴a≥在x∈[，+∞）上恒成立，
∴，x∈[，+∞），
设g（x）＝，x∈[，+∞），则g'（x）＝，
令g'（x）＞0，得；g'（x）＜0，得 ，
所以g（x）在上单调递增，在[上单调递减，
所以，所以，
即a的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查利用函数的单调性化简恒成立问题，参变量分离求解恒成立问题，利用导数研究函数的单调性与最值，化归转化思想，属中档题．
四、解答题（17题10分，其余题各12分，共70分）
17．【分析】（1）利用数列的递推关系式推出an+1﹣an＝2，然后求解{an}的通项公式；
（2）化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，然后推出Sn的取值范围．
【解答】解：（1）因为数列{an}各项均为正数，且．
所以（an+1﹣an）（an+1+an）＝2（an+1+an），
因为{an}各项均为正数，an＞0，
所以an+1﹣an＝2，
所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，an＝2+（n﹣1）×2＝2n．
（2），
数列前n项的和为Sn，
Sn＝
＝
＝．
因为n∈N*，故
所以，又Sn在其定义域上单调递增，所以，
所以．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
18．【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；
（2）根据题意，由三角形的面积公式可得bc＝6，结合余弦定理即可得到结果．
【解答】解：（1）原式化简可得：sin2B﹣2sinBsinC+sin2C＝sin2A﹣sinBsinC，
整理得：sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，
由正弦定理可得：b2+c2﹣a2＝bc，
∴，
∵A∈（0，π），∴；
（2）∵，
∴bc＝2，
∵a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（b+c）2﹣3bc＝16﹣6＝10，
∴．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
19．【分析】（1）先证明AD⊥平面PBD，又因为BP⊂平面PBD，然后再证明AD⊥BP；
（2）取BD中点O，连OP，OC，先证明∠OPC就是PC与平面PBD所成的角，然后再求解即可．
【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝4，BC＝CD＝2，
可得，
所以AD⊥BD，
在△PAD中，PA＝4，，
即PA2＝AD2+PD2，
所以AD⊥PD，
又PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，且PD∩BD＝D，
所以AD⊥平面PBD，
又因为BP⊂平面PBD，
所以AD⊥BP；
（2）解：由（1）可知，AD⊥平面PBD，
因为AD⊂平面ABCD，
则平面PBD⊥平面ABCD，
取BD中点O，连OP，OC，
因为BC＝CD，
所以OC⊥BD，
而OC⊂平面ABCD，且平面PBD∩平面ABCD＝BD，
即OC⊥平面PBD，
所以∠OPC就是PC与平面PBD所成的角，
在△BCD中，易得，
在△PBD中，，，
则，
则，
则OP2＝PD2+OD2﹣2×PD×OD×cs∠PDB，
则，
即，
所以，
所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了线线垂直、线面垂直，重点考查了线面角的求法，属基础题．
20．【分析】（1）利用概率和为1求解；
（2）由题意可得样本数据的第50百分位数落在第四组，再按百分数位定义求解即可；
（3）先求出抽取人数中年龄在[20，30）的有2人，在[60，70]的有4人，用列举法求解即可．
【解答】解：（1）依题意，样本中数据落在[50，60）为1﹣（0.01×2+0.02×2）×10＝0.4．
（2）样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为．
（3）[20，30）与[60，70]两组的频率之比为1：2，
现从[20，30）和[60，70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，则[20，30）组抽取2人，记为a，b，
[60，70]组抽取4人，记为1，2，3，4．
所有可能的情况为（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共15种．
其中至少有1人的年龄在[20，30）的情况有（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），共9种，
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在[20，30）组”为事件A，则．
【点评】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题．
21．【分析】（1）由抛物线的定义可知2+＝4，从而求出p的值，得到抛物线C的方程．
（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+n（n≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线方程，由韦达定理可得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，直线OA的方程为y＝x，令x＝﹣2可得M（﹣2，﹣），同理N（﹣2，﹣），由|ME|•|NE|＝|﹣|•|﹣|＝||＝﹣＝8可求出n的值，从而证得直线l过定点．
【解答】解：（1）由抛物线的定义可知2+＝4，
∴p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x．
证明：（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+n（n≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，消去x得y2﹣8my﹣8n＝0，
∴y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n，
∵抛物线的准线方程为x＝﹣2，∴E（﹣2，0），
∵直线OA的斜率为，∴直线OA的方程为y＝x，
令x＝﹣2得y＝﹣，∴M（﹣2，﹣），
同理可得N（﹣2，﹣），
∴|ME|•|NE|＝|﹣|•|﹣|＝||＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝＝8，
∴n＝4，
∴直线l的方程为x＝my+4，
故直线l恒过定点（4，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了直线过定点问题，属于中档题．
22．【分析】（1）由题意，对函数f（x）进行求导，对a≤0和a＞0这两种情况进行讨论，进而即可求解；
（2）先得到函数F（x）的解析式，对函数F（x）进行求导，再对a的取值进行分类讨论，利用函数F（x）的极小值为负数以及零点存在性定理即可确定最小正整数a的值．
【解答】解：（1）已知f（x）＝x2﹣alnx，函数定义域为（0，+∞），
可得，
当a≤0时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，，
当x∈时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；
（2）已知F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx﹣（a﹣2）x，函数定义域为（0，+∞），
可得，
当x∈时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
当x∈时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
所以当时，函数F（x）取得极小值也即是最小值，
要使函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点x1，x2，
需满足，
当a＝1时，，不符合题意；
当a＝2时，F（1）＝2﹣1﹣2ln1＝1＞0，不符合题意；
当a＝3时，，
因为，
所以，
所以函数F（x）＝x2﹣3lnx﹣x在上单调递减，在上单调递增，
又F（1）＝1﹣3ln1﹣1＝0，f（e）＝e2﹣3lne﹣e＝e2﹣e﹣3＞0，
因为，
其满足函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，
则最小正整数a的值为3．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、份额里讨论、转化思想和运算能力．全月应纳税所得额
税率
不超过3000元的部分
3%
超过3000元至12000元的部分
10%
超过12000元至25000元的部分
20%