新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题07 基本初等函数（2份打包，原卷版+解析版）

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1、掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．
2、了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3、理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，知道指数函数是重要的函数模型．
4、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
5、理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，知道对数函数是重要的函数模型．
一、二次函数
【考点总结】
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
二、幂函数
【思维导图】
【考点总结】
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
三、指数与指数函数
【思维导图】
【考点总结】
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n>1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))
(2)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)；
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0，))n为偶数.))
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－eq \s\up6(\f(m,n))＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
四、对数与对数函数
【考点总结】
1．对数
2.对数函数的图象与性质
续 表
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【题型汇编】
题型一：二次函数的概念
题型二：二次函数的图象与性质
题型三：幂函数的图象与性质
题型四：指数函数的图象与性质
题型五：对数函数的图象与性质
【题型讲解】
题型一：二次函数的概念
一、单选题
1．（2022·上海松江·二模）已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 的边上，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算及二次函数求值域即可得解.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
综上可得， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
2．（2022·北京·北大附中三模）已知半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，则其圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出得圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，再利用点到直线的距离公式表示出距离，最后根据二次函数的最值求解方法可求得答案.
【详解】
依题意，设圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离等于到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
根据抛物线的定义可得圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
故选：B
方法二：可以设与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的抛物线的切线方程，联立方程，利用判别式等
于零，得到切线方程，再利用平行线的距离公式得解；
方法三：在第一象限分析问题，转化为求函数 SKIPIF 1 < 0 的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，再利用平行线的距离公式得解.
3．（2022·江西南昌·三模（理））已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件运用正弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 的长，根据 SKIPIF 1 < 0 设出边的关系，再利用余弦定理表示出 SKIPIF 1 < 0 ，从函数的角度求其最值.
【详解】
依题意，如图所示，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
对于二次函数 SKIPIF 1 < 0
开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·北京·二模）如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，则线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
利用坐标法，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
即线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式得集合A，求二次函数值域得集合B，然后由集合的交集运算可得.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
6．（2022·北京市第十二中学三模）若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由题意，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况讨论即可求解.
【详解】
解：由 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为R，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
分两种情况讨论：
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以只需 SKIPIF 1 < 0 ，显然成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
7．（2022·四川·三模（理））设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义城为R，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 时，使 SKIPIF 1 < 0 ，则k的最大值为（ ）．
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据 SKIPIF 1 < 0 得到从 SKIPIF 1 < 0 开始， SKIPIF 1 < 0 每右移1个单位，图像就会向上移1个单位，然后确定函数 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 由小到大， SKIPIF 1 < 0 第一次取到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的范围，进而可得该范围内函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式，令 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得k的最大值.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
即从 SKIPIF 1 < 0 开始， SKIPIF 1 < 0 每右移1个单位，图像就会向上移1个单位，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
故当函数 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 由小到大， SKIPIF 1 < 0 第一次取到 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若存在 SKIPIF 1 < 0 时，使 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以k的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若P是该双曲线右支上一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合双曲线的定义求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，然后在 SKIPIF 1 < 0 中，利用余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据面积公式及二次函数的知识即可求解.
【详解】
解：因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
9．（2022·安徽淮北·一模（理））已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为C上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用向量数量积的坐标表示可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，再结合条件及二次函数的性质即求.
【详解】
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
10．（2022·四川巴中·一模（理））已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的范围，与集合 SKIPIF 1 < 0 取交集
【详解】
集合 SKIPIF 1 < 0 中，根据 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，所以集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故选：B
二、多选题
1．（2022·重庆·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
对于A，利用基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
利用二次函数的性质知，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时，函数单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：BC
题型二：二次函数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·上海浦东新·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，现有如下两个结论：
①对于任意的实数 SKIPIF 1 < 0 ，存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
②存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
则（ ）
A．①②均正确B．①②均不正确
C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确
【答案】C
【解析】
【分析】
对①，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的几何意义，判断得出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 一定有两个交点分析即可
对②，通过化简 SKIPIF 1 < 0 ，将题意转换为：存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，再分析出当 SKIPIF 1 < 0 时函数有增区间，推出矛盾即可
【详解】
对①， SKIPIF 1 < 0 的几何意义为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点间的斜率，同理 SKIPIF 1 < 0 的几何意义为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点间的斜率.
数形结合可得，当 SKIPIF 1 < 0 时，存在 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立.
即对于任意的实数 SKIPIF 1 < 0 ，存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；
对②，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .即存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立.设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为减函数.故原题意可转化为：存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数.因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 一定为增函数，故不存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数.故②错误
故选：C
2．（2022·辽宁·三模）函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的平方关系将 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，配方后结合二次函数知识，求得答案.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，且最大值为3,
故选：B
3．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点 SKIPIF 1 < 0 ，极小值点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 ，由当 SKIPIF 1 < 0 时取得极大值，当 SKIPIF 1 < 0 时取得极小值，可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，根据一元二次方程根的分布可以得到参数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足的不等式组，画出其表示的平面区域，根据 SKIPIF 1 < 0 的几何意义即可求解
【详解】
SKIPIF 1 < 0 又因为当 SKIPIF 1 < 0 时取得极大值，当 SKIPIF 1 < 0 时取得极小值，可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，根据一元二次方程根的分布可得
SKIPIF 1 < 0 即： SKIPIF 1 < 0 作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包括边界），可求出边界交点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示平面区域内的点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率，由图可知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根据倾斜角的变化，可得 SKIPIF 1 < 0
故选:B
4．（2022·北京昌平·二模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
由二次函数的性质判断 SKIPIF 1 < 0 区间单调性，根据解析式知 SKIPIF 1 < 0 恒过 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，进而确定区间值域，再由对数函数性质求 SKIPIF 1 < 0 的对应区间值域，即可得不等式解集.
【详解】
由题设， SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 且图象开口向下，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 上递减，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒过 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，且 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
5．（2022·江苏·华罗庚中学三模）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域和值域的交集为空集，则正数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
首先得到函数的定义域，再分析当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的取值，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再对 SKIPIF 1 < 0 时分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况讨论，求出此时 SKIPIF 1 < 0 的取值，即可得到 SKIPIF 1 < 0 的值域，从而得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
要使定义域和值域的交集为空集，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故选：B
6．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
注意观察 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以让 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立即可，根据参变分离和换元方法即可得解.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，
，所以需要当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
原式转化为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 是二次函数，开口向下，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
7．（2022·北京·一模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
圆心必然在直线l上，得到 SKIPIF 1 < 0 的关系式，再考虑求最大值.
【详解】
由于直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上，
将圆的一般方程转变为标准方程： SKIPIF 1 < 0 ，
圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 是开口向下，以 SKIPIF 1 < 0 为对称轴的抛物线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
8．（2022·山东济南·二模）若二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据 SKIPIF 1 < 0 ，判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以二次函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
二、多选题
1．（2022·福建莆田·三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 有3个不同的零点，则a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 有4个不同的零点，则a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 有4个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 有4个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意，将问题转化为函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图像交点个数问题，进而数形结合求解即可得答案.
【详解】
解：令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即
所以 SKIPIF 1 < 0 零点个数为函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图像交点个数，
故，作出函数 SKIPIF 1 < 0 图像如图，
由图可知， SKIPIF 1 < 0 有3个不同的零点，则a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故A选项错误；
SKIPIF 1 < 0 有4个不同的零点，则a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故B选项正确；
SKIPIF 1 < 0 有4个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C选项正确；
由C选项可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 有4个不同的零点，a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D选项正确.
故选：BCD
题型三：幂函数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知对数函数 SKIPIF 1 < 0 的图像经过点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数可以解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合中间值法比较大小．
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故选：C．
2．（2022·江西·二模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
利用对数函数、三角函数、幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调递增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调递增函数，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
3．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
对于A、B：作出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的图像判断出：在 SKIPIF 1 < 0 上，有 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上，有 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上，有 SKIPIF 1 < 0 .即可判断A、B；对于C：判断出 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，即可判断；对于D：判断出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可判断.
【详解】
对于A、B：
作出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的图像如图所示：
其中 SKIPIF 1 < 0 的图像用虚线表示， SKIPIF 1 < 0 的图像用虚线表示.
可得，在 SKIPIF 1 < 0 上，有 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上，有 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上，有 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故C错误；
对于D： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故D错误.
故选：A
4．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性相同，且在 SKIPIF 1 < 0 上有相同单调性的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断奇偶性和 SKIPIF 1 < 0 单调性.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 为奇函数且在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
A、B： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 非奇非偶函数，排除；
C： SKIPIF 1 < 0 为奇函数，但在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，排除；
D： SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 且定义域关于原点对称，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，满足.
故选：D
5．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
结合对数函数、指数函数和幂函数的单调性直接比较大小即可.
【详解】
依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C．
6．（2022·广东·二模）定义在 SKIPIF 1 < 0 上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦函数，指数函数和幂函数的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案.
【详解】
A. SKIPIF 1 < 0 ,由正弦函数的性质可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不为增函数，故排除；
B. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故排除；
C. SKIPIF 1 < 0 ，故函数在 SKIPIF 1 < 0 上为偶函数，故排除；
D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故函数在 SKIPIF 1 < 0 上为奇函数，且由幂函数的性质知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，满足题意；
故选：D
7．（2022·内蒙古包头·二模（文））下列函数中是减函数的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数、正比例函数、指数函数、幂函数的单调性逐一判断即可.
【详解】
A：因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以该函数不是减函数，不符合题意；
B：因为函数 SKIPIF 1 < 0 是增函数，所以不符合题意；
C：因为函数 SKIPIF 1 < 0 是增函数，所以不符合题意；
D：因为函数 SKIPIF 1 < 0 是减函数，所以符合题意，
故选：D
8．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数单调性，即可求解.
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
二、多选题
1．（2022·山东威海·三模）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据幂函数、指数函数、对数函数的单调性分别可判断A、B、C，结合C和对数换底公式即可判断D.
【详解】
对于A，∵幂函数y= SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，∴根据 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，∵指数函数y= SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，∴根据 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，∵对数函数y= SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，∴根据 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，由C可知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．
故选：BC．
2．（2022·山东滨州·二模）若实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出a，b的关系，再利用不等式性质判断A，B；指对数函数、幂函数单调性分析判断C，D作答.
【详解】
因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，A不正确；
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
因 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BCD
题型四：指数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知求出m，n，p，再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））若函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．10C．4D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
首先得到 SKIPIF 1 < 0 的周期，再根据函数的周期性计算可得；
【详解】
解：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，且4是它的一个周期，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故选：B.
3．（2022·山东临沂·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
分别化简 SKIPIF 1 < 0 即可明显比较出三者大小关系.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角函数、对数、指数函数的单调性判断可得答案.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
5．（2022·江西师大附中三模（理））设 SKIPIF 1 < 0 ．则a，b，c大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据自然常数的定义和指数幂的运算性质可知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数研究函数的单调性可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结果.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
假设 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
6．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
先解出集合A、B，再求 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
7．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）设 SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数、指数函数的单调性以及作商法比较大小，即可求解.
【详解】
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：A
8．（2022·山西太原·三模（理））设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数和指数互化即可求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增. SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
二、多选题
1．（2022·山东烟台·三模）二进制是计算中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学家莱布尼兹发现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.现采用类似于二进制数的方法构造数列：正整数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），记 SKIPIF 1 < 0 .如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】
求得 SKIPIF 1 < 0 否定选项A；求得 SKIPIF 1 < 0 并与 SKIPIF 1 < 0 比较判断选项B；求得 SKIPIF 1 < 0 并与 SKIPIF 1 < 0 比较判断选项C；分别求得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 并进行比较判断选项D.
【详解】
选项A： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .判断错误；
选项B： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .判断正确；
选项C： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .判断错误；
选项D： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .判断正确.
故选：BD
2．（2022·山东烟台·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率 SKIPIF 1 < 0 与工作年限 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），劳累程度 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），劳动动机 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）相关，并建立了数学模型 SKIPIF 1 < 0 .已知甲､乙为该公司的员工，则下列说法正确的有（ ）
A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱
C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高
D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.
【详解】
设甲与乙的工人工作效率 SKIPIF 1 < 0 ，工作年限 SKIPIF 1 < 0 ，劳累程度 SKIPIF 1 < 0 ，劳动动机 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即甲比乙劳累程度弱，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即甲比乙劳累程度弱，故B正确.
对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即甲比乙工作效率高，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即甲比乙工作效率高，故D 正确；
故选：BCD.
题型五：对数函数的图象与性质
一、单选题
1．（2022·浙江·高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．25B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
2．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 SKIPIF 1 < 0 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 SKIPIF 1 < 0 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，二氧化碳处于液态
B．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，二氧化碳处于气态
C．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系图可得正确的选项.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面， SKIPIF 1 < 0 时对应的是非超临界状态，故C错误.
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，因 SKIPIF 1 < 0 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
3．（2022·全国·高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ， 导数判断其单调性，由此确定 SKIPIF 1 < 0 的大小.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故选：C.
4．（2022·上海青浦·二模）“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的一个必要而不充分条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
先求解 SKIPIF 1 < 0 ，再根据必要不充分条件的意义对比选项判断即可
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的一个必要而不充分条件是“ SKIPIF 1 < 0 ”
故选：D
5．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为“同形”函数
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为“同形”函数，且它们与 SKIPIF 1 < 0 不为“同形”函数
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为“同形”函数，且它们与 SKIPIF 1 < 0 不为“同形”函数
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为“同形”函数，且它们与 SKIPIF 1 < 0 不为“同形”函数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中“同形”函数的定义和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均可化简成以3为底的指数形式，可得答案．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象可分别由 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位、向右平移1个单位得到，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为“同形”函数．
故选：A．
6．（2022·北京·北大附中三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案.
【详解】
解：依题意， SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
在同一坐标系中作出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示：
如图可得 SKIPIF 1 < 0 的解集为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
7．（2022·北京·人大附中三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 SKIPIF 1 < 0 的定义域，判断出其在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，由 SKIPIF 1 < 0 即可得到不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集.
【详解】
函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数.
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
8．（2022·江西师大附中三模（理））已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式不等式和对数不等式的运算求出集合A、B，结合并集的定义和运算即可得出结果.
【详解】
由题意得，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多选题
1．（2022·广东佛山·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】
作差法判断选项A；利用对数函数单调性判断选项B；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C；举反例排除选项D.
【详解】
选项A： SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .判断错误；
选项B：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上减函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .判断正确；
选项C：由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 为R上减函数，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上增函数，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上增函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .判断正确；
选项D：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .判断错误.
故选：BC
2．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论可能成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】
去绝对值分类讨论，判断一个命题是假命题要举反例
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
故B错误
对于D， 当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故D错误
故选：AC
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－eq \f(b,2a)对称
y＝ax (a>0且a≠1)
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
在R上是增函数
在R上是减函数
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝lgaN(a>0，且a≠1)
lga1＝0，lgaa＝1，algaN＝N(a>0，且a≠1)
运算法则
lga(M·N)＝lgaM＋lgaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN
lgaMn＝nlgaM(n∈R)
换底公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
a>1
0图象
a>1
0性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0当0当x>1时，y<0当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数