新高考数学三轮冲刺 押题卷练习第15题B 解三角形综合（解答题）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第17题）已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 边上的高．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)6
【分析】
（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求 SKIPIF 1 < 0 ,再由正弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据等面积法求解即可.
【详解】（1）
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第17题）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）方法1，利用三角形面积公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，作出 SKIPIF 1 < 0 边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出 SKIPIF 1 < 0 即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出 SKIPIF 1 < 0 即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方法2：在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）方法1：在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方法2：在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第18题）记 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求B；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 SKIPIF 1 < 0 化成 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出；
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 SKIPIF 1 < 0 化成 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）记 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求b．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合余弦定理及平方关系求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）记 SKIPIF 1 < 0 是内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，然后利用余弦定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，①
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．②
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故有 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点E，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
以向量 SKIPIF 1 < 0 为基底，有 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．③
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ④
联立③④，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为x轴，过点D垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线为y轴，
SKIPIF 1 < 0 长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．⑤
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．⑥
联立⑤⑥解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
代入⑥式得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边长分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
（2）是否存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形?若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在，且 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由正弦定理可得出 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进一步可求得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 SKIPIF 1 < 0 为钝角，由 SKIPIF 1 < 0 结合三角形三边关系可求得整数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）显然 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角形三边关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
正弦定理
基本公式：
SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径）
变形
SKIPIF 1 < 0
三角形中三个内角的关系
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
余弦定理
边的余弦定理
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
角的余弦定理
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
射影定理
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
角平分线定理
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，则有 SKIPIF 1 < 0
张角定理
SKIPIF 1 < 0
三角形的面积公式
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
倍角定理
在 SKIPIF 1 < 0 中,三个内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ,
(1)如果 SKIPIF 1 < 0 ,则有: SKIPIF 1 < 0
(2)如果 SKIPIF 1 < 0 ,则有: SKIPIF 1 < 0
(3)如果 SKIPIF 1 < 0 ,则有: SKIPIF 1 < 0
倍角定理的逆运用
在 SKIPIF 1 < 0 中,三个内角A、B、C的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ,
(1)如果 SKIPIF 1 < 0 ,则有: SKIPIF 1 < 0 。
(2)如果 SKIPIF 1 < 0 ,则有: SKIPIF 1 < 0 。
(3)如果 SKIPIF 1 < 0 ,则有: SKIPIF 1 < 0 。
中线长定理
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中线,则中线定理: SKIPIF 1 < 0
证明:
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中,用余弦定理有:
SKIPIF 1 < 0
三角恒等式
在 SKIPIF 1 < 0 中，
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 ；
⑤ SKIPIF 1 < 0 ；
⑥ SKIPIF 1 < 0 ；
⑦ SKIPIF 1 < 0 ；
⑧ SKIPIF 1 < 0 ；
⑨ SKIPIF 1 < 0 ；
⑩ SKIPIF 1 < 0
1．（2024·福建厦门·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有 SKIPIF 1 < 0 ，再由三角形内角性质即可求边长；
（2）应用余弦定理及已知得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，最后应用面积公式求面积.
【详解】（1）由题设 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）及已知，有 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2024·河北·一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；
（2）根据正弦定理以及二倍角公式，得到角和边的关系，再结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据正弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2024·浙江温州·二模）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而确定角 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.
【详解】（1）
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 为三角形内角，
故,得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 为三角形内角， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（2）
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 为三角形内角， ∴ SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 为三角形内角，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
4．（2024·江苏·一模）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；
（2）利用倍角公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用正弦定理可得
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，结合（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知在 SKIPIF 1 < 0 中，三边 SKIPIF 1 < 0 所对的角分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 外接圆的直径为4，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角 SKIPIF 1 < 0 ，解三角方程即得；
（2）由正弦定理求得边 SKIPIF 1 < 0 ，再由余弦定理求出边 SKIPIF 1 < 0 ，利用面积公式即得.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由正弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2024·浙江·一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设边 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到 SKIPIF 1 < 0 ，再结合余弦定理即可求出角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据三角形面积公式得到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，再结合中线向量公式计算即可.
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为边 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
7．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1） SKIPIF 1 < 0 中求出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2） SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求四边形ABCD的面积．
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
四边形ABCD的面积 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
8．（2024·浙江·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据同角三角函数关系求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 值，最后利用三角形面积公式即可.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不等于0， SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ①
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ②
由① SKIPIF 1 < 0 ②式得： SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
9．（2024·江苏·一模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求B的大小；
(2)延长BC至点M，使得 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的大小．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得 SKIPIF 1 < 0 ，可得B的大小；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理表示边角关系，化简求 SKIPIF 1 < 0 的大小.
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）法1：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ②．
①÷②，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
法2：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2024·河北·模拟预测）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：设 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，______.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由三角形中 SKIPIF 1 < 0 ，代入已知化简得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可计算得出答案；
（2）若选①：由余弦定理结合（1）与已知得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由①角化边得出 SKIPIF 1 < 0 ，两式联立解出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案；
若选②：由②结合余弦定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可结合已知与（1）化解得出 SKIPIF 1 < 0 的值，再由余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出答案.
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
若选①，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
若选②，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ．
11．（2024·辽宁·一模）已知在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求A；
(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的平分线，且与BC交于点M，若 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解；
（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程组，结合整体法即可得解.
【详解】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2024·辽宁大连·一模）在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 到边 SKIPIF 1 < 0 的距离:
(2)设 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，求 SKIPIF 1 < 0 外接圆的面积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由面积相等可得结果；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 的表达式并利用二次函数性质求得 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径可得结论.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ；
设点 SKIPIF 1 < 0 到边 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
点 SKIPIF 1 < 0 到边 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）如下图所示：

在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；
因此 SKIPIF 1 < 0 ；
易知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 外接圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
13．（2024·广东·一模）设锐角三角形 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上（与 SKIPIF 1 < 0 不重合），且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据条件，边转角得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 即可求出结果；
（2）根据题设得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果.
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又三角形 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .

14．（2024·广东佛山·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)如图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 外一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由余弦定理分别得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
15．（2024·广东广州·一模）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可求得结果；
（2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得三角形周长.
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
由题可知， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
16．（2024·广东湛江·一模）已知在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求A；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 外接圆的直径为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2024·广东佛山·二模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角恒等变换得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而利用余弦定理列出关系式即可得解.
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，确定三边的长度关系，利用余弦定理可求 SKIPIF 1 < 0 ，再利用同角三角函数的关系求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②得， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0
同理在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理知
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2024·湖南长沙·一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .

(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的延长线上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 运动时，探究 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 为定值.
【分析】
（1）利用正弦定理与余弦定理的边角变换即可得证；
（2）利用诱导公式与余弦定理，结合（1）中结论化得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得解.
【详解】（1）
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
再由余弦定得得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
因为 SKIPIF 1 < 0 互补，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
结合余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为定值.
19．（2024·湖南·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由两角和的正弦公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
20．（2024·湖北武汉·二模）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边的中线长为2．
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求边 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由正弦边角关系，和角正弦公式及三角形内角和性质，即可求角；
（2）由题设 SKIPIF 1 < 0 ，应用数量积的运算律、基本不等式求得 SKIPIF 1 < 0 ，再应用余弦定理求边 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 边的中线长为2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，两侧平方可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2024·湖北·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，D为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求A；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根据两角和差及诱导公式结条件计算即可；
（2）应用余弦定理结合基本不等式即可得出最大值.
【详解】（1）
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （舍）.
SKIPIF 1 < 0 .
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）及余弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
由D为边 SKIPIF 1 < 0 的中点有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
22．（2024·湖北·一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调递增区间．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；
（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
23．（2024·山东济宁·一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求角 SKIPIF 1 < 0 的大小．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根据余弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，结合正弦型函数单调性进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合正弦定理、两角差的正弦公式进行求解即可.
【详解】（1）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理及 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以角B的大小为 SKIPIF 1 < 0 .
24．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 的角平分线交 BC于P点， SKIPIF 1 < 0 .

(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求△ABC的面积;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求BP的长.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；
（2）首先利用余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据三角恒变换求出 SKIPIF 1 < 0 ，最后再根据正弦定理即可.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 中，设角A、B、C的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ①
因 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ②
①②解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 中由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
25．（2024·山东枣庄·一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上的高，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，可求 SKIPIF 1 < 0 的值.
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为基底，由 SKIPIF 1 < 0 ，代入数据运算得 SKIPIF 1 < 0 的关系；或利用余弦定理和勾股定理，求出 SKIPIF 1 < 0 ，由平面向量基本定理求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理和同角三角函数的商数关系，
得 SKIPIF 1 < 0 ，由倍角公式得 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内角，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）方法一 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
方法二 ： SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由平面向量基本定理知， SKIPIF 1 < 0 ，

所以 SKIPIF 1 < 0 ．
26．（2024·山东聊城·一模）在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）借助两角和与差的正弦公式、两角和与差的余弦公式化简所给式子可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合图形可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）借助正弦定理与余弦定理计算即可得.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .

27．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为4.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1)4；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，根据正弦定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，再在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，利用三角形面积公式即可求得结果；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，在三角形 SKIPIF 1 < 0 中分别用正弦定理表示 SKIPIF 1 < 0 ，从而建立 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为4，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值1，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
28．（2024·福建·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，D为BC的中点，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）易知两角互补正弦值相等，再由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：

在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）由（1）不妨设 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0
29．（2024·浙江温州·一模）设 SKIPIF 1 < 0 的三个内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)0
【分析】
（1）首先应用余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
然后方法1：使用均值不等式求解 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
方法2：利用已知条件 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 转化成关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，进而求解最小值.
（2）方法1：利用三角形内角和为 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，将其代入原式中利用和差角公式即可化简求值；
方法2：将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入原式，然后利用和差角公式即可化简求值；
【详解】（1）由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，
方法1： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时取等，此时 SKIPIF 1 < 0 为正三角形.
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
方法2： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时取等.
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
方法1：因为 SKIPIF 1 < 0 .
所以原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
方法2：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
30．（2024·河北沧州·一模）已知在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，对角线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由余弦定理解出边长即可，注意判断 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，表示出四边形的面积等于两三角形面积和，再由正弦函数的最值求出面积的最大值.
【详解】（1）
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形不符合，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）作 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，四边形面积最大，最大面积为 SKIPIF 1 < 0 .考点
4年考题
考情分析
解三角形
大题综合
2023年新高考Ⅰ卷第17题
2023年新高考Ⅱ卷第17题2022年新高考Ⅰ卷第18题
2022年新高考Ⅱ卷第18题
2021年新高考Ⅰ卷第19题
2021年新高考Ⅱ卷第18题
2020年新高考Ⅰ卷第17题
2020年新高考Ⅱ卷第17题
解三角形大题难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考查正弦定理边角互化、余弦定理、面积公式及最值求解等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以正弦定理边角互化、余弦定理、面积公式、最值求解等知识点，展开命题．