江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题及解析

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如果事件，互斥，且事件，分别是，的对立事件，那么（）
A.是必然事件B.是必然事件
C.与一定互斥D.与一定不互斥
2.已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是（）
A.若，，且，则B.若，，且，则
C.若，，且，则D.若，，且，则
3.勾股定理是数学史上非常重要的定理之一.若将满足（）的正整数组称为勾股数组，则在不超过10的正整数中随机选取3个不同的数，能组成勾股数组的概率是（）
4.在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有（）
A.15个B.20个C.35个D.41个
5.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
由上表求得回归方程，当广告费用为3万元时销售额为（）
A.39万元B.38万元C.38.5万元D.37.3万元
6.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：（）的蒙日圆为，则的离心率为（）
7.杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（）
8.已如圆：与轴正半轴的交点为，从直线：上任一动点向圆作切线，切点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（）
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部知对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列结论证确的是（）
A.若随机变量，满足，则
B.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1
C.在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位
D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（），可判断与有关
10.已知，则（）
A.B.
C.D.
11.一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个.现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别的，表示事件“第一次取出白球，”“第一次取出红球”；分别用，表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（）
12.在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法证确的是（）
A.若，则点轨迹所在直线与平面平行
B.若，则
C.若，则的最小值为
D.若与平面所成们的大小为，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知随机变量服从正态分布，且，则______.
14.记样本、、…、的平均数为，样本、、…、的平均数为（）.若样本、、…、、、、…、的平均数为，则的值为______.
15.在的展开式中，的系数是______.
16.已知直线是抛物线：的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.11分制兵乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束.
（1）求；
（2）求事件“且甲获胜”的概率.
18.2023年4月，我国航天领域首个大科学装置“地面空间站”正在开展联合调试试运行工作，部分装置已经在为用户提供科研服务，预计2023年底整体工程完成验收.这标志着我国航天领域又新增一个大国重器，这对于我国航天事业和空间科学探测能力的提升将起到重要支撑作用.为了研究大学生对我国航天领域的了解程度，增强学生热爱科学的意识，某高校组织了一次有关航天领域的知识竞赛（满分100分），共有100名大学生参赛，对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，记成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”，得到如下未填写完整的列联表.
（1）当时，若从这100名参赛学生中抽出2人参加航天志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均为“良好”的概率；
（2）若有95%以上的把握认为大学生对航天领域的了解程度与性别有关，且，求，的值.
附：.
19.如图，在三棱台中，平面平面，且，，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：
作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足关系式，其中，均为大于0的常数.
（1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；
（2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中㭃苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
21.有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球.现按照如下规则摸球.从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球的结果是一红一白.
（1）你认为较大可能选择的是哪个盒子？请做出你的判断，并说明理由；
（2）如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为，求的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）.
22.已知椭圆：（）的离心率为，上顶点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，，，点是椭圆上的动点，过作直线，，分别交椭圆于另外，，三点，求的取值范围.广告费用（万元）
4
2
3
5
销售额（万元）
49
26
？
54
良好
不良好
合计
男生
20
女生
20
合计
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
第天
1
4
9
16
25
36
49
高度
0
4
7
9
11
12
13