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2024-2025学年第一学期人教版九年级数学期中模拟训练卷（解析版）
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一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．点M(4，-3)关于原点对称的点N的坐标是（ ）
A．(-4，-3)B．(-4，3)C．(4，3)D．(-3，4)
3．由平移得到抛物线，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
6 .如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，
使点落在边上，连接，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
7. 如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，
则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．B．C．D．
某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，
为占有市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现要在尽量优惠顾客情况下，
同时获利6120元，每件商品应降价（ ）元．
A．3B．2.5C．2D．2或3
9 . 如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60º，
得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB=60º；③∠ADE=∠BDC，
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．只有①
10．二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④当时，随的增大而减小．
其中结论正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上．
11.已知点与点关于原点O对称，则 ．
12.设m是方程的一个根，则的值为 ．
如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，
则∠AFB= °．
14．若关于x的方程x2＋5x＋m＝0的两个根分别为为x1，x2，且＝1，则m＝ .
15．抛物线与轴的一个交点为，则另一个交点坐标为 ．
16．美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出56个月饼，美术兴趣小组人数是______
已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
①，②，③，④，其中正确的是 ．
如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，
连接，则下列结论：①，②，③，④，
其中正确的是_____________（填序号）
三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．用适当的方法解方程：
(1)；
(2)．
20．ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：
(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
(2)将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A2B2C2，则B2的坐标为 ．
(3)求△A2B2C2面积．
21．已知关于x的方程．
(1)若此方程的一个根为1，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
22 如图，点O是等边ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD．
（1）求证：BCO≌ACD．
（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．
23．阅读下列材料
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为…①，
解这个方程得：．
当时，．∴；
当时，，∴
所以原方程有四个根： ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程时，若设，求出x．
（2）利用换元法解方程．
某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，
物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元，经市场调查发现：
目前销量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当时，，时，，
在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元．
25．综合与实践
问题情境：如图1，在中，，，，点在直线上运动，以为边作，使得，，．连接．当点在边上时，试判断线段，及之间的数量关系．
探究展示：勤奋小组发现，，并展示了如下论述过程：
理由如下：∵在和中，，，
．
∴，即．
在与中，
∴（依据1）．
∴（依据2）
∵，∴．
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是什么？
（2）如图2，缜密小组在勤奋小组的基础上继续探究，当点在延长线上时，
线段，及之间的数量关系是，且与的位置关系是；
请判断缜密小组的说法是否正确，若正确，请说明理由；
若不正确，请把你发现的结果写出并说明理由；
如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（2）中BC，CE，CD之间存在的关系是否成立？
如不成立，请直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系，并证明.
26．如图1，抛物线与x轴交于点A、B4,0（A点在B点左侧），与y轴交于点C0,6，点P是抛物线上一个动点，连接，，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P的横坐标为3，求的面积；
(3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，
并写出此时P点坐标．
若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，
使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．点M(4，-3)关于原点对称的点N的坐标是（ ）
A．(-4，-3)B．(-4，3)C．(4，3)D．(-3，4)
3．由平移得到抛物线，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
6 .如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，
使点落在边上，连接，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
7. 如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，
则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．B．C．D．
某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，
为占有市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现要在尽量优惠顾客情况下，
同时获利6120元，每件商品应降价（ ）元．
A．3B．2.5C．2D．2或3
9 . 如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60º，
得到△BAE，连接ED，则下列结论中：①AE∥BC；②∠DEB=60º；③∠ADE=∠BDC，
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．只有①
10．二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④当时，随的增大而减小．
其中结论正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：本大题共8个小题．每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上．
11.已知点与点关于原点O对称，则 ．
12.设m是方程的一个根，则的值为 ．
如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，
则∠AFB= °．
14．若关于x的方程x2＋5x＋m＝0的两个根分别为为x1，x2，且＝1，则m＝ .
15．抛物线与轴的一个交点为，则另一个交点坐标为 ．
16．美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出56个月饼，美术兴趣小组人数是______
已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
①，②，③，④，其中正确的是 ．
如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，
连接，则下列结论：①，②，③，④，
其中正确的是_____________（填序号）
三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．用适当的方法解方程：
(1)；
(2)．
20．ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：
(1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
(2)将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A2B2C2，则B2的坐标为 ．
(3)求△A2B2C2面积．
21．已知关于x的方程．
(1)若此方程的一个根为1，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
22 如图，点O是等边ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD．
（1）求证：BCO≌ACD．
（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．
23．阅读下列材料
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为…①，
解这个方程得：．
当时，．∴；
当时，，∴
所以原方程有四个根： ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程时，若设，求出x．
（2）利用换元法解方程．
某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，
物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元，经市场调查发现：
目前销量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当时，，时，，
在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元．
25．综合与实践
问题情境：如图1，在中，，，，点在直线上运动，以为边作，使得，，．连接．当点在边上时，试判断线段，及之间的数量关系．
探究展示：勤奋小组发现，，并展示了如下论述过程：
理由如下：∵在和中，，，
．
∴，即．
在与中，
∴（依据1）．
∴（依据2）
∵，∴．
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是什么？
（2）如图2，缜密小组在勤奋小组的基础上继续探究，当点在延长线上时，
线段，及之间的数量关系是，且与的位置关系是；
请判断缜密小组的说法是否正确，若正确，请说明理由；
若不正确，请把你发现的结果写出并说明理由；
如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（2）中BC，CE，CD之间存在的关系是否成立？
如不成立，请直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系，并证明.
26．如图1，抛物线与x轴交于点A、B4,0（A点在B点左侧），与y轴交于点C0,6，点P是抛物线上一个动点，连接，，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P的横坐标为3，求的面积；
(3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，
并写出此时P点坐标．
若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，
使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
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