山东省聊城市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量抽测数学试卷(含答案)

这是一份山东省聊城市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量抽测数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若复数z满足（i为虚数单位）,则( )
A.1B.2C.D.4
2．一组数据6,4,a,8,6,10,12的平均数为7,则该组数据的( )
A.第50百分位数为8B.第50百分位数为6
C.第75百分位数为8D.第75百分位数为9
3．已知,是两个不重合的平面, 且直线,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．设,,任意一点P关于点A的对称点为M,关于点B的对称点为N,则等于( )
A.B.C.D.
5．P是所在平面上一点,满足,若,则的面积为( )
A.6B.4C.3D.2
6．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,则面积的最大值为( )
A.B.1C.D.
7．采购经理指数(PMI),是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一,具有较强的预测,预警作用.PMI高于50%时,反映经济总体较上月扩张;低于50%,则反映经济总体较上月收缩.根据2022年6月至2023年9月PMI.绘制出如下折线图.
根据该折线图,下列结论正确的是( ).
A.2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于50
B.2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第一季度各月的PMI的方差
C.2023年第1季度各月经济总体较上月扩张
D.2023年第3季度各月经济总体较上月扩张
8．某圆台的上、下底面半径分别为r、R,且,圆台的体积为,若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切,则该球的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．复数z在复平面内对应的点为,且（i为虚数单位）的实部为4,则( )
A.复数z的虚部为2
B.复数z的共轭复数对应的点在第四象限
C.若,则的最大值为
D.复数z是方程的一个根
10．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记录每次朝上的点数,设事件A为“第一次的点数是5”,事件B为“第二次的点数大于3”,事件C为“两次点数之和为奇数”,则( )
A.B.事件A与事件C互斥
C.事件A与C相互独立D.
11．在长方体中,,,点M,N分别在侧棱和底面ABCD上运动,且,则( )
A.直线BM与直线所成角的范围为
B.存在直线MN,使平面
C.设点P为线段MN的中点,则点P的轨迹与侧面的交线长度为
D.设点P为线段MN的中点,则三棱锥的体积的最小值为
三、填空题
12．复数（i为虚数单位）是纯虚数,则实数_______________.
13．如图,为测量某塔的高度,在地面上选择一个观测点C,在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°,45°.无人机距地面的高度AB为45米,且在A处无人机测得点M的仰角为15°,点B,C,N在同一条直线上,则该塔的高度MN为____________米.
四、双空题
14．甲,乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛,比赛分为自主传球,自主投篮2个环节,其中任何一人在每个环节获胜得2分,失败得0分,比赛中甲和乙获胜与否互不影响,各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为,乙在每个环节中获胜的概率都为p,且甲,乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为,则p的值为____________,“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为______________.
五、解答题
15．在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,,,.
(1)若点P满足,求点P的坐标;
(2)若点D满足,,求向量的坐标.
16．体育锻炼不仅能促进身体健康,提高心理素质,还能增强学习能力,对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况,从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间（单位：分钟）,整理得到频率分布直方图,如下图所示.
(1)求a的值,并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数;
(2)从所抽查的每天体育锻炼时间在,内的学生中,采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人,再从这6人中任选2人,求所选2人不在同一组的概率.
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧面PAD是等腰三角形,且,侧面平面ABCD.
(1)设M,N分别为PD,BC的中点,求证：平面PAB;
(2)设,在线段PD上是否存在一点Q,使得？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
18．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求角C大小;
(2)若点D为AB靠近点B的三等分点,且,,求的面积.
19．如图,在三棱柱中,,,,点在底面ABC的射影为BC的中点O,M为的中点.
(1)求证：平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)设点P为底面ABC内（包括边界）的动点,且平面,若点P的轨迹长度为,求三棱柱的侧面积.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,则,
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：由题意可得：,解得,
将数据按升序排列可得：3,4,6,6,8,10,12.
对于选项AB：因为,所以第50百分位数为第4位数6,故A错误,B正确;
对于选项CD：因为,所以第75百分位数为第6位数10,故CD错误;
故选：B.
3．答案：B
解析：若,则,或, 故充分性不成立;因为，是两个不重合的平面,直线,若, 则存在直线, 满足,因为,所以, 所以,故必要性成立.所以“”是 “ ”的必要不充分条件.故选B.
4．答案：D
解析：由题意可知：A,B分别为,的中点,则,且,
所以.
故选：D.
5．答案：B
解析：因为,则,
即点P为的一个三等分点（靠近点A）,
所以的面积为.
故选：B.
6．答案：C
解析：因为c=2,且,即,
整理可得,
由余弦定理可得,则,
且,可知,则,
又因为,当且仅当时,等号成立,
则,即,
所以面积的最大值为.
故选：C.
7．答案：C
解析：根据图表可知,共有10个月的PMI小于50,
所以各月的PMI的中位数小于50,A错误;
2022年第四季度各月的PMI比2023年第一季度各月PMI的波动大,
则方差也大,故B错误;
2023年第1季度各月PMI均大于50,则各月经济总体较上月扩张,C正确;同理D错误,
故选:C.
8．答案：B
解析：如图,
设圆台上、下底面圆心分别为,,
因为球与圆台的上,下底面及侧面均相切,
则圆台内切球的球心O在的中点处,
设球O与母线切于M点,
所以,且,,
则,
同理,所以,
过A作,垂足为G,
则,
所以,
,即圆台的高为,
该圆台的体积为,
解得,
则球的直径,半径为,
则球的体积为.
故选：B.
9．答案：BC
解析：对于选项A：由题意可知：,则,
可得,即复数的虚部为4,故A错误;
对于选项B：复数z的共轭复数为,对应的点为,在第四象限,故B正确;
对于选项C：设复数z,在复平面内对于的点分别为A,P,
则,,则,
且,
所以的最大值为,故C正确;
对于选项D：因为,则,解得,
所以复数z不是方程的一个根,故D错误;
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：对于选项A：因为第二次的点数有1,2,3,4,5,6,共6个可能值,
事件B包含的点数有4,5,6,共3个可能值,所以,故A正确;
因为第一次的点数有1,2,3,4,5,6,共6个可能值,可得,
对于事件C,列表可得：
可知共有个基本事件,且,则,
又因为事件,即,则.
对于选项B：因为,所以事件A与事件C不互斥,故B错误;
对于选项C：因为,可知事件A与C相互独立,故C正确;
对于选项D：因为,故D正确;
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：对于选项A：取,且,则线段,即,
因为,且,
可知直线BM与直线所成角为,
若M与A重合,可知;
若M与E重合, 可知;
所以直线BM与直线所成角的范围为,故A错误;
对于选项B：分别取,的中点为M,N,
则,,可得符合题意,此时,
因为,且,可知为平行四边形,
则,可得,
且平面,平面,可得平面,
所以存在直线MN,使平面,故B正确;
对于选项CD：因为平面,且平面,则,
且,点P为线段MN的中点,
则（点N与点A重合依然成立）,
可知点P的轨迹为以A为球心,半径为1的球的,
则点P的轨迹与侧面的交线为以A为球心,半径为1的圆的,
所以交线长度为,故C正确;
在中,,,边上的高为,
设点A到平面的距离为d,
由三棱锥的体积可得,解得,
由球的性质可知：点P到平面的距离最小值为,
所以三棱锥的体积的最小值为
,故D正确;
故选：BCD.
12．答案：1
解析：由题意可得：,解得m=1.
故答案为：1.
13．答案：90
解析：中,,,则,
由图可知,,
则,
中,由正弦定理,得,
中,（米）,
故答案为：90.
14．答案：,
解析：记事件 “两人在自主传球环节得分之和为2分”,“甲在自主传球环节得i分”,“乙在自主传球环节得j分”,
由题意可知,与相互独立,且,事件与互斥,
故,解得;
记事件“‘梦队’在比赛中得分不低于6分”, “甲在自主投篮环节得k分”,“乙在自主投篮环节得l分”,
由题意可知,,,相互独立,
则,
且事件,,,,两两互斥,
则.
故答案为：;.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)设点P的坐标为,则,,
因为,则,解得,
所以点P的坐标为.
(2)设向量的坐标为,即,
则,,,
因为,,则,解得,
所以向量的坐标为.
16．答案：(1)44.5分
(2)
解析：(1)由题意可知：每组频率依次为,,,,,,
则,解得;
可得,
估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数为44.5分.
(2)由题意可知：在内抽取人,记为a,b;
在内抽取人,记为1,2,3,4;
从这6人中任选2人,则样本空间为：,
则,
记“所选2人不在同一组”为事件A,
则,可知,
所以.
17．答案：(1)证明见详解
(2)存在,
解析：(1)取的中点E,连接,,
因为E,M分别为,的中点,则,,
又因为N为BC的中点,且ABCD是正方形,则,,
可得,且,可知为平行四边形,则,
且平面PAB,平面PAB,所以平面PAB.
(2)因为ABCD是正方形,则,
且侧面平面ABCD,侧面平面,平面ABCD,
可知平面,由平面,可得,
且,,,平面,
所以平面,由平面,可得,
反之,若,同理可证平面,即可得,
所以等价于,
不妨设,则,可知边上的高为,
由的面积可得,解得,
则,
所以在线段PD上是存在一点Q,使得,此时.
18．答案：(1)
(2)33
解析：(1)因为,由正弦定理可得,
整理可得,
由余弦定理可得,
且,所以.
(2)由题意可知：,,,
在中,由余弦定理
可得,
在中,可得,
则,可得,
且,则,可得,,
所以的面积.
19．答案：(1)证明见详解
(2)
(3)
解析：(1)连接,,
因为,M为的中点,则,
又因为平面,且,平面,则,
由,,平面,可得平面,
在平行四边形中,O,M分别为,的中点,则,,
且,,可得,,
可知为平行四边形,则,
所以平面.
(2)不妨设,则,
且平面,可知,
因为平面,平面,可得,
则,即,则,
可知为矩形,则,
由(1)可知：,则二面角的平面角为,
在中,可得,
所以二面角的正弦值为.
(3)连接,,
由(1)可知：,且平面,平面,
可得平面,
在平行四边形中,O,M分别为,的中点,则,,
可知为平行四边形,则,
且平面,平面,可得平面,
且,,平面,所以平面平面,
且平面平面,可知点P的轨迹为线段,
即,由题可知：,且为矩形,
则,
在中,因为,则边上的高,
可得,
所以三棱柱的侧面积.
1
2
3
4
5
6
1
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2
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