湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数的虚部是( ).
A.B.C.D.
2．已知，，若，则( ).
A.B.C.D.
3．已知一组样本数据，，…，（）的方差为1.2，则，，⋯，的方差为( ).
A.5B.6C.25D.30
4．平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为( )
A.B.
C.D.
5．已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为( )
A.B.C.D.
6．袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为( ).
A.B.C.D.
7．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则( )
A.60°B.75°C.60°或120°D.15°或75°
8．已知中，，，，点M为AB中点，连接CM.将沿直线CM折起，使得点A到达的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则( )
A.图中a的值为0.015B.样本的第75百分位数约为217
C.样本平均数约为198.4D.样本平均数小于样本中位数
10．已知O是坐标原点，平面向量，，，且，，，则下列结论正确的是( )
A.；
B..
C.若，则A，B，C三点共线
D.若，则面积的最大值是
11．已知正方体的棱长为2，点E是线段上的动点，点F是线段的中点，则下列结论中正确的是( )
A.直线和直线始终异面
B.直线与直线始终垂直
C.直线与平面所成的角为，则的最大值为
D.三棱锥B-DEF的体积为定值
三、填空题
12．已知是关于x的方程（）的一个根，则实数________.
13．甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分.若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击1次，则甲得分不超过乙得分的概率为________.
14．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则λ的取值范围是________.
四、解答题
15．已知甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品数分别为400，600，400.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7个产品进行质量检验.
（1）应从甲、乙、丙三个工厂的产品中分别抽取多少个？
（2）从7个产品中随机抽取2个产品.设M为事件“抽取的2个产品来自同一工厂”，求事件M发生的概率
16．已知，，，，且.
（1）求点P的坐标；
（2）求实数t的值；
（3）求的值.
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积.
（1）求角A；
（2）若，求周长的取值范围.
18．甲、乙两篮球俱乐部举行篮球赛，约定第一场在甲俱乐部的主场比赛，第二场在乙俱乐部的主场比赛，交替更换场地进行，先连续获胜两场的队伍直接获胜，否则先获得3场胜利的球队获胜.已知甲俱乐部在主场获胜的概率是，乙俱乐部在主场获胜的概率是，
（1）求比赛恰好四场结束的概率；
（2）求甲俱乐部获胜的概率.
19．如图，四棱锥中，PC垂直平面ABCD，，，，，E是线段PB上的动点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若平面，求点E的位置.
参考答案
1．答案：A
解析：，
所以的虚部是.
故选：A.
2．答案：C
解析：由题意得，解得.
故选：C.
3．答案：D
解析：数据，，，的方差为1.2，
，，……的方差为：.
故选：D.
4．答案：C
解析：根据三角形中位线知：.
故选：C.
5．答案：A
解析：如图，S，O分别为上底面和下底面的中心，连接，
则底面，过点作于点T，则底面，
因为上、下底面边长分别为2和4，所以，，
故，，
，因为棱与底面所成的角为，则，故，则，
故该正四棱台的体积为.
故选：A.
6．答案：B
解析：设1个红球为，2个白球分别为，，2个黑球分别为，，则从袋子中任取2个球包含：
，
共10个基本事件，
其中取到红球，包含，共4个基本事件，
则取出的2个球都是红球的概率.
故选：B
7．答案：D
解析：在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，
利用正弦定理：，整理得，
所以或120°.
当时，，当时，.
故选：D.
8．答案：B
解析：取的中点D，过点D作的垂线，垂足为E，连接，
则，
因为在中，，，，点M为AB中点，
所以，，则为等边三角形，
所以，，，，
将沿直线CM折起，使得点A到达的位置，则为等边三角形，，，，，，
因为平面平面，且平面，，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，则二面角的平面角为，
在直角三角形中，，
所以，
故选：B
9．答案：ABC
解析：对于A，由题意，，解得，，故A正确；
对于B，因为用电量在以下的频率为，
用电量在以下的频率为，
所以样本的第75分位数在区间内，
设样本的第75分位数为x，则，解得，
即样本的第75分位数约为217，故B正确；
对于C，样本的平均数为，故C正确；
对于D，因为用电量在以下的频率为，
用电量在以下的频率为，
所以样本的中位数在区间内，
设样本的中位数为y，则，解得，
所以样本的中位数约为198，
因为，所以样本的中位数<样本的平均数，故D错误.
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：由，，得，
对于A，，A错误；
对于B，，而与都是非零向量，则，B正确；
对于C，由，得，则，
于是，即，又，有公共点A，因此A，B，C三点共线，C正确；
对于D，由，得，当C与A，B都不重合时，，
点C在以线段为直径的圆上，当C与A，B之一重合时，符合题意，
因此点C的轨迹是以线段为直径的圆，而，点C到距离的最大值为，因此面积的最大值是，D正确.
故选：BCD
11．答案：BD
解析：如图，设，则G为，的中点.
选项A，当E与G重合时，点A，E，C，均在平面内，故直线和直线均在平面内，即二者共面，故A错误；
选项B，因为平面，所以是在平面内的射影，
因为及三垂线定理，所以，同理有.
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以，故B正确；
选项C，因为平面平面，
所以直线EF与平面所成的角，即为直线EF与平面所成的角，即，所以，故C错误；
选项D，因为，点E在直线上，所以点E到直线的距离为定值，则为定值.
又F到面的距离h也为定值，所以也为定值，故D正确.
故选：BD
12．答案：
解析：因为是关于x的方程的一个根，
所以为方程的另一个根，
所以由韦达定理可得，，解得，
故答案为:.
13．答案：
解析：甲得分超过乙得分的事件，即得2分，乙得0分的事件，其概率为，所以甲得分不超过乙得分的概率为.
故答案为：
14．答案：
解析：因为，
由正弦定理可得，则，
在中，可得或，所以或（舍去），
则，
在锐角中，，解得，
由正弦定理可得
，
因为，则，所以，
所以.
故答案为：.
15．答案：（1）2个，3个，2个；
（2）.
解析：（1）依题意，从甲工厂抽取的产品个数是，
从乙工厂抽取的产品个数是，从乙工厂抽取的产品个数是，所以应从甲、乙、丙三个工厂的产品中分别抽取2个，3个，2个.
（2）甲工厂抽取的2个产品记为，，乙工厂抽取的3个产品记为，，，丙工厂抽取的2个产品记为，，
从7个产品中随机抽取2个产品，样本空间
，共21个样本点，
事件，共5个样本点，
所以事件M发生的概率.
16．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）依题意，设，
因为，，，
所以，，
则，解得，
所以点P的坐标为.
（2）因为，，
所以，
，
又，所以，解得.
（3）因为，，
所以，，
则，，，
所以.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，，，
所以，则，即，
又，所以.
（2）的周长为，
因为，即，
因为，所以，
所以，则，即，
又，所以，即，
所以的周长的取值范围为.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）若比赛恰好四场结束，则可能甲胜或乙胜，且均为胜负胜胜，
若甲胜，则概率为；
若乙胜，则概率为；
所以比赛恰好四场结束的概率.
（2）若甲俱乐部获胜，则甲可能两场、三场、四场和五场获胜，
若两场获胜，其概率为；
若三场获胜，则负胜胜，其概率为；
若四场获胜，由（1）可知其概率为；
若五场获胜，则胜负胜负胜或负胜负胜胜，
其概率为；
所以甲俱乐部获胜的概率.
19．答案：（1）证明见详解；
（2）；
（3）点E为线段的三等分点，且
解析：（1）取的中点M，连接，，
由题意可知：，，则为平行四边形，
且，可知为矩形，则，
可得，，即，则，
因为平面ABCD，平面ABCD，
则，，，
且，平面，可得平面，
且平面，所以.
（2）由（1）可知：，，
且，平面，可得平面，
且平面，所以，
可知二面角的为，
且，，可得，
所以二面角的正弦值.
（3）设，连接，
若平面，且平面，平面平面，
则，可得，
又因为，则，可得，
所以点E为线段的三等分点，且.