2023-2024学年度湖北省武汉市部分重点中学下学期高一期末联考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年度湖北省武汉市部分重点中学下学期高一期末联考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1−z)i=2，则复数z的虚部为( )
A. −iB. −1C. 2iD. 2
2.已知向量a与b的夹角为30∘，|a|= 3，|b|=2，则|a−b|=( )
A. 1B. 2− 3C. 2+ 3D. 13
3.已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是( )
A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5
4.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为xi(i=1,2,3,4,5)，平均数为x，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为yi(i=1,2,3,4)，平均数为y，下面说法正确的是( )
A. 新数据的极差不可能等于原数据的极差
B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C. 若x=y，则新数据的方差一定小于原数据方差
D. 若x=y，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数
5.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份(如图)，等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共1000人，需要准备的粘土量(不计损耗)约为( ) (参考数据：π≈3.14)
A. 1.3m3B. 1.5m3C. 1.8m3D. 2.2m3
6.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A. α/​/β，l//αB. α⊥β，l⊥β
C. α与β相交，且交线平行于lD. α与β相交，且交线垂直于l
7.如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，AC⊥BC，∠DAC=30∘，∠BAC=45∘现将△ACD沿AC折起，并连接BD，使得平面ACD⊥平面ABC，若所得三棱锥D−ABC的外接球的表面积为8π，则三棱锥D−ABC的体积为( )
A. 14B. 34C. 38D. 33
8.已知棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1，点E是棱AB的中点，点F是棱CC1的中点，动点P在正方形AA1D1D(包括边界)内运动，且PB1//面DEF，则PD的长度范围为( )
A. [ 13, 19]B. [3 355,2 5]C. [12 1717,2 5]D. [3 395, 19]
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.供电部门对某社区100位居民6月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这100位居民，下列说法正确的是( )
A. 6月份人均用电量人数最多的一组有40人
B. 6月份人均用电量在[30,40)内的有30人
C. 6月份人均用电量不低于20度的有50人
D. 在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在[20,30)一组的人数为3
10.将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是( )
A. 底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体B. 底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体
C. 底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱D. 棱长为6cm的正四面体
11.已知圆锥SO的底面半径为10cm，其母线SA长40cm，底面圆周上有一动点B，下列说法正确的有( )
A. 截面SAB的最大面积为100 15cm2
B. 若∠AOB=π3，则直线SB与平面SOA夹角的正弦值为14
C. 当三棱锥O−SAB的体积最大时，其外接球的表面积为1700πcm2
D. 若C∈SA，且CA=10cm，一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为18cm
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，∠BAC=60∘，AB=3，AC=2，若D为BC边的中点，则|AD|= ．
13.某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形A′B′C′D′(如图所示)，已知A′D′//B′C′，∠A′B′C′=45∘，A′D′=A′B′=12B′C′=1，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为 ．
14.如图所示，某甜品店将上半部是半球(半球的半径为2)，下半部是倒立的圆锥(圆锥的高为4)的冰淇淋模型放到橱窗内展览，托盘是边长为6的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acsA−bcsC=ccsB.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2 3，求b+c的取值范围．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，AB/​/DC，AB⊥BC，AB=4，BC=DC=2，PA=PB=3，点M为PB的中点．
(1)求证：CM/​/平面PAD;
(2)求二面角P−BD−C的余弦值．
17.(本小题12分)
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式.某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．
(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流.如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家?
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对(1)中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计(单位：元)，所得频率分布直方图如图2所示.请根据频率分布直方图计算下面的问题：
(ⅰ)估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数(结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(ⅱ)若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
18.(本小题12分)
如图所示，在三棱锥O−ABC中，OA⊥BC，OB⊥AC．
(1)证明：OC⊥AB;
(2)若△ABC是边长为2的等边三角形，点O到平面ABC的距离为2 63.试问直线OB与平面ABC所成夹角是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值;若不是请说明理由;线面角
(3)在(2)的条件下，取OB中点为P，并取一点Q使得AQ=λAC(0<λ<1).当直线PQ与平面ABC所成角的正切值最大时.试求异面直线OQ与PC所成角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知数据x1，x2，⋯xn的平均数为x，方差为sx2，数据y1，y2，⋯，yn的平均数为y，方差为sy2.类似平面向量，定义n维向量OP=(x1−x,x2−x,⋯,xn−x)，OQ=(y1−y,y2−y,⋯,yn−y)的模|OP|= i=1n(xi−x)2，|OQ|= i=1n(yi−y)2，数量积OP⋅OQ=i=1n(xi−x)(yi−y).若向量OP与OQ所成角为θ，有恒等式OP⋅OQ=|OP||OQ|csθ，其中n∈N∗，n≥2.
(1)当n=2时，若向量OP=(−3,−4)，OQ=(5,−12)，求OP与OQ所成角的余弦值;
(2)当n=3时，证明：
①3sx2=x12+x22+x32−3x2;
②OP⋅OQ=x1y1+x2y2+x3y3−3xy;(3)当n∈N∗，n≥2时，探究(OP⋅OQ)2与(i=1nxi2−nx2)(i=1nyi2−ny2)的大小关系，并证明．
答案
1.D
2.A
3.C
4.B
5.A
6.C
7.D
8.C
9.ACD
10.BD
11.ACD
12. 192
13.3 5π
14.6+ 32
15.解：(1)由正弦定理得：2sinAcsA−sinBcsC=sinCcsB，
∴sinCcsB+sinBcsC=sin(B+C)=sin(π−A)=sinA=2sinAcsA，
∵A∈(0,π2)，∴sinA≠0，∴csA=12，∴A=π3．
(2)由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC=4，∴b=4sinB，c=4sinC，
∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(2π3−B)=4 3( 32sinB+12csB)=4 3sin(B+π6);
∵△ABC为锐角三角形，∴0∴π3即b+c的取值范围为(6,4 3].
16.解：(1)取AP中点G，连接GM，GD，如图1，因为M是PB中点，则MG//AB且MG=12AB，
又AB/​/CD，AB=2CD，所以MG//CD且MG=CD，所以MGDC是平行四边形，
所以CM//DG，DG⊂平面ADP，CM⊄平面ADP，所以CM/​/平面PAD;
(2)取AB中点F，连接PF，CF，CF交BD于点O，连接OP，
由已知AB/​/DC，AB⊥BC，AB=2CD，得CDFB是正方形，CF⊥BD，PA=PB，则PF⊥AB，
因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，PF⊂平面PAB，所以PF⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，所以PF⊥BD，又BD⊥FC，PF∩FC=F，PF，FC⊂平面PFC，
所以BD⊥平面PFC，又OP⊂平面PFC，所以BD⊥OP，
所以∠POC是二面角P−BD−A的平面角，又OF= 2，PF= 5，所以OP= 2+5= 7，
cs∠POF=OFOP= 2 7= 147，∴cs∠POC=− 147，
即二面角P−BD−C的余弦值为− 147．
17.解：(1)6040×(1−25%−15%−10%−5%−5%)=1624，
60×15%=9，
所以应抽取小吃类24家，生鲜类9家．
(2)(i)根据题意可得(0.001×3+a+0.003+0.005+0.007)×50=1，解得a=0.002，
设中位数为x，
因为(0.001+0.003)×50=0.2，
(0.001+0.003+0.007)×50=0.55，
所以(x−300)×0.007+0.2=0.5，解得x≈342.9，
平均数为(225×0.001+275×0.003+325×0.007+375×0.005+425×0.002+475×0.001+525×0.001)×50=352.5，
所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5．
(ii)(450−43050×0.002+0.001+0.001)×50×1200=168，
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为168．
18.【解答】
解：(1)过O作OH⊥平面ABC于点H，延长AH交BC于点M，延长BH交AC于点N，BC⊂平面ABC，则OH⊥BC，BC⊥OA，OH∩OA=O，则BC⊥平面OAH，∵AH⊂平面OAH∴BC⊥AH;同理由AC⊥OB可证明AC⊥BH，∴H为△ABC的垂心∴AB⊥CH，AB⊥OH，CH∩OH=H，
则AB⊥平面OHC.OC⊂平面OHC，∴AB⊥OC．
(2)∵OH⊥平面ABC，则直线OB与平面ABC所成的角即为∠OBH，△ABC为等边三角形，边长为2，则BH=2 33，∵OH=2 63，∴OB=2，∴cs∠OBH=BHOB=2 332= 33．
(3)取BH的中点G，连PG和GQ，∵P为OB的中点∴PG//OH，∵OH⊥平面ABC，∴PG⊥平面ABC，∠PQG即为直线PQ与平面ABC所成角，tan∠PQG=PGGQ= 63GQ最大时，即GQ最小．
由题意知GQ≥GN，则GQ最小时，Q和N重合时，取BN中点D，连接PD，DC，PC，则PD//ON，∠DPC即为异面直线OQ与PC所成的角，△DBC中，DB= 32，∠DBC=30∘，BC=2，
由余弦定理得DC= 72，又△DPC中，PD=12ON= 32，PC= 3，cs∠DPC=34+3−74 32⋅ 3=23．
19.解：(1)设向量OP与OQ所成角为θ，则csθ=OP⋅OQOPOQ=−15+485×13=3365．
(2)证明：当n=3时， ①3sx2=(x1−x)2+(x2−x)2+(x3−x)2
=x12+x22+x32−2x(x1+x2+x3)+3x2=x12+x22+x32−3x2，
②OP⋅OQ=i=13(xi−x)(yi−y)
=i=13(xiyi−xiy−xyi+x y)
=i=13xiyi−yi=13xi−xi=13yi+3x y
=x1y1+x2y2+x3y3−3x y
(3)当n∈N∗，n≥2时，i=1n(xi−x)2=i=1n(xi2−2xxi+x2)=i=1nxi2−2xi=1nxi+nx2
=i=1nxi2−2nx2+nx2=i=1nxi2−nx2．
同理可证i=1n(yi−y)2=i=1nyi2−ny2．
又OP⋅OQ=|OP||OQ|csθ= i=1n(xi−x)2 i=1n(yi−y)2csθ
∴(OP⋅OQ)2=(i=1nxi2−nx2)(i=1nyi2−ny2)cs2θ≤(i=1nxi2−nx2)(i=1nyi2−ny2)
即证(OP⋅OQ)2≤(i=1nxi2−nx2)(i=1nyi2−ny2).