广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测数学试卷 Word版含答案

这是一份广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测数学试卷 Word版含答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

顺德区2021届高三第二次教学质量检测
数学试卷
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x-7≤8-2x），则A∩B＝（ ）
A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
2．设复数z满足z（1＋i）＝i，则z在复平面内对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某校高一学生选课时，要求从政治、地理、化学、生物四门课程中选择两科进行选修，甲乙两人所选课程中完全不同的选法的种数是（ ）
A．36 B．24 C．12 D．6
4．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著．是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，下列说法错误的是（ ）
A．“羡除”有且仅有两个面为三角形 B．“羡除”一定不是台体
C．不存在有两个面为平行四边形的“羡除” D．“羡除”至多有两个面为梯形
5．2020年，各国医疗科研机构都在积极研制“新冠”疫苗，现有A、B两个独立的医疗科研机构，它们能研制出疫苗的概率均为，则至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中，其图象与函数y＝ln（x＋1）的图象关于直线x＝1对称的是（ ）
A．y＝ln（1-x） B．y＝ln（3-x） C．y＝ln（1＋x） D．y＝ln（3＋x）
7．已知p是边长为2的正三角形ABC的边BC上的一点，则的取值范围是（ ）
A．[2，6] B．[2，4] C．（2，4） D．（0，4）
8．已知函数f（x）＝ln（2|x|-1）＋x2-1，则不等式xf（x-2）＜0的解集是（ ）
A．（-∞，0）∪（2，3） B．（-3，-1）∪（0，＋∞）
C．（-∞，0）∪（1，2）∪（2，3） D．（-3，0）∪（0，2）∪（2，＋∞）
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点为 B．渐近线方程为3x±4y＝0
C．离心率 D．焦点到渐近线的距离为4
10．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，）的部分图像如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
11．已知函数，方程f（x）-x＝0在区间[0，2n]（n∈N*）上的所有根的和为bn，则（ ）
A．f（2020）＝2019 B．f（2020）＝2020
C．bn＝22n-1＋2n-1 D．
12．已知a＞b＞0，且a＋b＝1，则（ ）
A．logab＞logba B． C．ab＜ba D．2a-2b＞2-b-2-a
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题
13．写出曲线x2＋y2-2x-4y＝0的一条对称轴所在的直线方程________．
14．将数列{3n＋1}中的项数为奇数的项按照从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
15．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边绕原点逆时针旋转后与单位圆x2＋y2＝1交于点，则sin2α＝________．
16．三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，已知△ABC是边长为2的正三角形，PA＝PB，则△PAB面积的最大值为________．
四、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在①sinA＝2sinB，②a＋b＝6，③ab＝12．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，c＝3，________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．在等比数列{an}中，a3-a2＝6，且a1，a2＋1，a3-2成等差数列．
（I）Sn为{an}的前n项和，证明2Sn＝3an-1；
（II）Tn为{an}的前n项的积，求数列{Tn}中落入区间[310，321]中项的个数．
19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PB＝PD．

（I）证明：BD⊥平面PAC
（II）若PA⊥CD，2PA＝CD，求二面角D-PC-A的余弦值．
20．某篮球职业联赛分为常规赛和季后赛两个阶段．常规赛采用循环赛，分主场比赛和客场比赛两种，积分高的球队进入季后赛；季后赛采用五局三胜制进行淘汰赛，最终决出总冠军．（“5局3胜”制是指先胜3局者获得比赛胜利，比赛结束）．下表是甲队在常规赛80场比赛中的比赛结果记录表．
季度
比赛次数
主场次数
获胜次数
主场获胜次数
1季度
23
13
16
11
2季度
27
11
21
8
3季度
30
16
23
13
（I）根据表中信息，能否在犯错误概率不超过0.100的前提下认为“主客场”与“胜负”之间有关？
（Ⅱ）已知甲队和乙队在季后赛首轮比赛中相遇，假设每局比赛结果相互独立，以甲队常规赛80场比赛获胜的频率估计甲队在季后赛每局比赛获胜的概率，记X为本轮比赛结束时甲队和乙队所进行的比赛的局数，求X的分布列及甲队获得这轮比赛胜利的概率．
附：，
P（K2≥k）
0.100
0.050
0.025
k
2.706
3.841
5.024
21．已知函数（a为常数）.
（I）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若存在x0≥1使得f（x0）＜0，求a的取值范围．
22．设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，过椭圆C上一点P（2，3）作两条不重合且倾斜角互补的直线PA、PB分别与椭圆C交于A、B两点，且AB中点为M．
（I）求椭圆C方程．
（II）椭圆C上是否存在不同于P的定点N，使得△MNP的面积为定值，如果存在，求定点N的坐标；如果不存在，说明理由．
















顺德区2021届高三第二次教学质量检测
数学参考答案
一、单项选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
D
C
B
B
C
二、多项选择题：
题号
9
10
11
12
答案
BC
ABD
BC
AD
三、填空题：
13．只要经过点（1，2）的直线即可．如x＝1，y＝2x等
14．3n2＋n 15． 16．
四、解答题：
17．【解析】解法一：由
结合正弦定理可得：
因为sinA≠0，所以
因为 所以
因为，所以
因为C∈（0，π），所以，所以C＝60°
解法二：由
结合正弦定理可得：
因为sinA≠0，所以
因为，C（0，π），所以或者（舍去）
所以A＋B＝2C，所以C＝60°
由余弦定理得c2＝a2＋b2-2abcosC，所以9＝a2＋b2-ab
选择条件①的解析：根据sinA＝2sinB，结合正弦定理得a＝2b
联立方程组解得：
所以△ABC的面积
选择条件②的解析：
联立方程组，化简得：解得
（注：没有解出a，b，则需说明△ABC存在）
所以△ABC的面积
选择条件③的解析：由9＝a2＋b2-ab≥2ab-ab＝ab得ab≤9
与ab＝12矛盾，所以问题中的三角形不存在
18．【解析】（Ⅰ）因为a1，a2＋1，a3-2成等差数列，所以a1＋a3-2＝2a2＋2
设等比数列{an}的公比为q，则解得a1＝1，q＝3
即{an}为首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n-1
因为 所以2Sn＝3n-1＝3an-1
（Ⅱ）
由得 解得5≤n≤7
所以数列{Tn}中有3项落入区间[310，321]
19．【解析】（Ⅰ）证明：设AC与BD的交点为O，连接PO，
因为PB＝PD，所以BD⊥PO 因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC
因为PO∩AC＝O，PO，AC平面PAC，所以BD⊥平面PAC

（Ⅱ）因为BD⊥平面PAC，PA平面PAC，所以PA⊥BD
又因为PA⊥CD，CD∩BD＝D，CD，BD平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD
取BC的中点E，分别以AE，AB，PA为x，y，z轴建立空间坐标系如图
设PA＝a，则CD＝AC＝2a，，所以，
设平面PCD的一个法向量为，则
由得，令，得
由因为BD⊥平面PAC，
所以为平面PAC的一个法向量，且
设二面角A-PC-D的平面角为θ，则
由图可知θ为锐角，所以

20．（1）根据表格信息列出2×2列联表如下

甲队胜
甲队负
合计
主场
32
8
40
客场
28
12
40
合计
60
20
80

所以不能在犯错误概率不超过0.100的前提下认为“主客场”与“比赛胜负”之间有关．
（2）依题意得甲队每局比赛获胜的概率估计值为
X的所有可能取值为3，4，5



所以X的分布列为
X
3
4
5
P



“甲队获得这轮比赛胜利”的概率为
21．【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），因为f′（x）＝（x-a）lnx
当a＝0时，f′（e）＝e，，切线方程为
令x＝0，解，令y＝0，解得所以
（2）若要存在x0≥1使得f（x0）＜0，则只需f（x）在[1，＋∞）上的最小值小于0即可
当a≤1时，f′（x）＞0在（1，＋∞）恒成立，函数f（x）在x＝1处取得最小值，所以
，解得
当a＞1时，函数f（x）在[1，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增，
则当x＝a时取得极小值也是最小值，
由解得
综上可得：a的取值范围是
22．【解析】（1）依题意得
解得a＝4，，c＝2
所以椭圆C：
（2）解法一：因为直线PA、PB的倾斜角互补，
所以设直线PA、PB的方程为y-3＝k（x-2），y-3＝-k（x-2）
所以A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程消元得：（3＋4k2）x2-8k（2k-3）x＋4（4k2-12k-3）＝0
所以，所以，
所以
同理得，
设M（x，y），则，
所以，所以点M在直线上
所以当PN∥OM时，△MNP的面积为定值．
此时PN的直线方程为，即
因为消元得：x2-6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2（舍去）．
所以椭圆C上存在不同于P的定点N（4，0），使得△MNP的面积为定值
（2）解法二：
设直线PA、PB的斜率为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2）
因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以k1＋k2＝0
设直线AB的方程为y＝kx＋b．
联立方程消元得：（3＋4k2）x2＋8kbx＋4b2-48＝0
所以，，
所以
所以2kx1x2＋（b-2k-3）（x1＋x2）-4（b-3）＝0
所以
所以4k2-8k＋3＋2kb-b＝0，所以（2k-1）（2k-3）＋b（2k-1）＝0
所以（2k-1）（2k-3＋b）＝0所以或2k＝3-b（舍去）
直线OM的斜率．所以点M在直线上
所以当PN∥OM时，△MNP的面积为定值．
此时PN的直线方程为，即
因为消元得：x2-6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2（舍去）．
所以椭圆C上存在不同于P的定点N（4，0），使得△MNP的面积为定值