吉林省2023_2024学年高二数学上学期期末考试含解析

这是一份吉林省2023_2024学年高二数学上学期期末考试含解析，共24页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔等内容，欢迎下载使用。
本试卷共5页.考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．答题时请按要求用笔．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数列，，，，的一个通项公式为（）
A. B. C. D.
2. 直线l一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）
A. B.
C. 或D. 与的位置关系不能判断
3. 已知圆过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（）
A. B.
C. D.
4. 如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（）（结果精确到0.01）
A. 4.96B. 5.06C. 4.26D. 3.68
5. 函数在点处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
6. 设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 已知公差的等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. 是中的最大值D. 是中的最小值
8. 已知双曲线：，和分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点的直线交的右支于，两点.若存在直线使得点为的重心，则的离心率为（）
A. B. C. 2D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知数列是公比为等比数列，且成等差数列，则（）
A. B. C. D. 1
10. 已知圆：，直线：（），则（）
A. 直线l恒过定点
B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C. 直线与圆有两个交点
D. 圆与圆恰有三条公切线
11. 已知数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则下列结论正确的是（）
A. B. 数列是等差数列
C. D.
12. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（）
A. 的周长为B. 的面积的最大值为2
C. 若，则的最小值为D. 的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线是圆的一条对称轴，则_________．
14. 已知函数，则的导数_______.
15. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为____．
16. 定义：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和（，），令（），若数列的变号数为2，则实数的取值范围是___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知动点与两个定点，的距离的比是2.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线过点，且被曲线截得弦长为，求直线的方程.
18. 设数列的前n项和为，且.
（1）求数列通项公式；
（2）若数列满足，求数列前2n项和.
19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点，，．
（1）求与所成角的大小；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20. 己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．
21. 我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠．从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设第年绿洲面积为万平方千米．
（1）求第年绿洲面积（单位：万平方千米）与上一年绿洲面积（单位：万平方千米）之间的数量关系（）；
（2）求数列的通项公式；
（3）至少经过年，绿洲面积可超过，求的值．（参考数据：）
22. 已知，为的两个顶点，为的重心，边AC，AB上的两条中线长度之和为．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点，轴于点，直线DN与EM交于点．求证：点在一条定直线上，并求此定直线方程．吉林省普通高中G6教考联盟2023-2024学年上学期期末考试
高二年级数学
本试卷共5页.考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．答题时请按要求用笔．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数列，，，，的一个通项公式为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用观察法即可得解.
【详解】观察数列，，，，
可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为，
所以该数列的一个通项公式为.
故选：A.
2. 直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）
A. B.
C. 或D. 与的位置关系不能判断
【答案】C
【解析】
【分析】由直线的方向向量和平面的法向量的位置关系与直线和平面的位置关系即可得解.
【详解】由题意直线l的一个方向向量与平面的一个法向量的数量积为，
所以或.
故选：C.
3. 已知圆过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意点在圆上面，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解.
【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足，
这表了点在圆上面，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为，
所以该切线方程为，化为一般式得.
故选：B.
4. 如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（）（结果精确到0.01）
A. 4.96B. 5.06C. 4.26D. 3.68
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案.
【详解】如图，设抛物线方程为，抛物线经过点，
所以，解得，所以抛物线顶点到焦点的距离为，
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为米.
故选：A.
5. 函数在点处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为，所以，故，
由导数的几何意义知，函数在点处的切线方程为，即.
故选：B.
6. 设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.
【详解】当时，方程变为，其倾斜角为，
当时，由直线方程可得斜率，且，
，即，又，，
综上所述，倾斜角的范围是.
故选：C.
7. 已知公差的等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. 是中的最大值D. 是中的最小值
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，由下标和性质以及等差数列求和公式得B正确；对公差与0的大小关系讨论可得ACD错误.
【详解】由题意，即，
所以，故B正确；
当时，可得，此时，是中的最小值，
当时，可得，此时，是中的最大值，故ACD错误.
故选：B.
8. 已知双曲线：，和分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点的直线交的右支于，两点.若存在直线使得点为的重心，则的离心率为（）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形重心公式得到线段中点，根据建立等式计算即可得到.
【详解】依题意，，，，
设，，则的中点，
因为点为的重心，则，，
所以中点，
因为，，
两式作差得：，化简得，即，
因为，又因为，，，四点共线，所以.
故，解得，故.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则（）
A. B. C. D. 1
【答案】AD
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式结合等差中项列方程求解.
【详解】由题意，，由等比数列通项公式可得，
由于等比数列每一项都不是，故，
即，解得或.
故选：AD
10. 已知圆：，直线：（），则（）
A. 直线l恒过定点
B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C. 直线与圆有两个交点
D. 圆与圆恰有三条公切线
【答案】ACD
【解析】
【分析】A，将直线变形，即可得到直线过的定点；B，结合点到直线的距离公式，可得到结果；C，由定点在圆内，即可判断；D，利用圆心距与两圆半径之间的关系即可判断.
【详解】对于A，直线，所以，
令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，当时，直线为：，
则圆心到直线的距离为，，
所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B错误；
对于C，因为直线过定点，所以，
所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点，故C正确；
对于D，由圆方程可得，，
所以圆心为，半径为，
此时两圆圆心距为，
所以两圆的位置关系为外切，则两圆恰有三条公切线，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则下列结论正确的是（）
A. B. 数列是等差数列
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由B选项提示，用等差数列验证B正确，进一步可得数列的通项公式验证A错误，由数列定义，可用裂项相消法求它的前项和，进而验证CD.
【详解】由题意得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确；
由以上可知，所以，从而，故A错误；
而，
所以，故C对D错.
故选：BC.
12. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（）
A. 的周长为B. 的面积的最大值为2
C. 若，则的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，由定义可得；选项B，，数形结合当点到的距离最大，即高最大时面积最大；选项C，设点表达，利用椭圆方程消元求函数最值即可；选项D，利用的斜率意义，转化为直线与椭圆有公共点求斜率范围，从而求得最小值.
【详解】选项A，由椭圆方程可知，，
所以的周长，故A正确；
选项B，因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，
所以，
所以的面积，
当，即时，
即点位于短轴端点时，的面积最大，最大为2，故B正确；
选项C，由，点，且，
因为，
当时，取最小值，且最小值为，故C错误；
选项D，的几何意义为与点两点连线的斜率，设为，
由得，
，
解得，
如图，当直线与椭圆C相切时，，
所以的最小值为.故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线是圆的一条对称轴，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为直线过圆心，从而得解.
【详解】圆的圆心坐标为，
因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在此直线上，
所以，解得.
故答案为：.
14. 已知函数，则的导数_______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用导数运算法则求导即可.
【详解】因为
.
故答案为：.
15. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为____．
【答案】3＋
【解析】
【分析】过M作MN垂直于抛物线的准线l，由抛物线的定义得到MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，然后由A、M、N三点共线时求解.
【详解】如图所示，
过M作MN垂直于抛物线的准线l，垂足为N．易知F(1，0)，
因为△MAF的周长为|AF|＋|MF|＋|AM|，
|AF|＝，|MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，
所以当A、M、N三点共线时，△MAF的周长最小，
最小值为2＋1＋．
故答案为：3＋
16. 定义：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和（，），令（），若数列的变号数为2，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据，求出的通项公式，即可得到的通项公式，再列出前几项，得到，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：依题意当时，，
，
当时，
，
，，，，，且时，，
，
要使数列的变号数为，则，解得或，即．
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知动点与两个定点，的距离的比是2.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆；
（2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程.
【小问1详解】
设点，
动点与两个定点，的距离的比是，
，即，
则，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为；
【小问2详解】
由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线被曲线截得的弦长为，
圆心到直线的距离，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
化简得，解得或，
此时直线的方程为或.
综上，直线的方程是或.
18. 设数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求得.
（2）根据分组求和法求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，
当时，，
当时，，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，也符合.
所以.
【小问2详解】
由（1）得，所以
.
19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点，，．
（1）求与所成角的大小；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出、，利用可得答案；
（2）求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
，又底面，、底面，，，
故以为坐标原点，，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，所以，
所以，即与所成角的大小为；
【小问2详解】
由（1）知，，．
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，
所以是平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
20. 己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出、的值，即可得出双曲线的方程；
（2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，根据题意得出，求出的取值范围，列出韦达定理，利用三角形的面积公式以及韦达定理求出的值，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：由题意可得，可得，
因此，双曲线的方程为.
【小问2详解】
解：若直线与轴重合，则直线与双曲线没有交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
则，
，解得，合乎题意，
所以，直线的方程为或.
21. 我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠．从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设第年绿洲面积为万平方千米．
（1）求第年绿洲面积（单位：万平方千米）与上一年绿洲面积（单位：万平方千米）之间的数量关系（）；
（2）求数列的通项公式；
（3）至少经过年，绿洲面积可超过，求的值．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意，列出第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系，即可得到答案；
（2）利用递推数列，构造新数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可；
（3）由题意，列出不等关系，然后利用指数与对数的运算性质求解即可.
【小问1详解】
由题意得，
【小问2详解】
由（1）知，，可变形：，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故.
【小问3详解】
由（2）知，，
令，即，所以，
因为，
则，所以，
因为，所以至少经过年，绿洲面积可超过.
22. 已知，为的两个顶点，为的重心，边AC，AB上的两条中线长度之和为．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点，轴于点，直线DN与EM交于点．求证：点在一条定直线上，并求此定直线方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角形重心的性质，结合椭圆的定义即可得解；
（2）联立直线与椭圆方程得到，，再求出直线DN与EM方程，得到Q点坐标，即可得证
【小问1详解】
因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为.
【小问2详解】
依题意，设直线DE方程为，
联立，得，
易知，
设，，则，，
因为轴，轴，所以，，
所以直线DN：，直线EM：，
联立解得
，
从而点Q在定直线上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.