辽宁省沈阳市第一二六中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末综合测试试题【含解析】

这是一份辽宁省沈阳市第一二六中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末综合测试试题【含解析】，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知P1等内容，欢迎下载使用。

考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ）
A．与的最简公分母是6xB．与最简公分母是3a2b3c
C．与的最简公分母是D．与的最简公分母是m2－n2
2．9的算术平方根是( )
A．3B．9C．±3D．±9
3．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列方程中，不论m取何值，一定有实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在中，，的中垂线交、于点、，的周长是8，，则的周长是（ ）
A．10B．11C．12D．13
7．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣x+5图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．无法确定
8．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
9．假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案
A．5种B．4种C．3种D．2种
10．如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOB等于( )
A．120°B．125°C．130°D．135°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为______．
12．如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，当∠B＝25°时，则∠BAC的度数是_____．
13．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2018个等腰直角三角形的斜边长是___________．
14．一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ________．
15．已知均为实数，若，则__________ ．
16．化简的结果为________.
17．计算：23×20.2＋77×20.2=______．
18．如图，在中，是边上一点，且在的垂直平分线上，若，，则 _________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）2，其中ab=﹣．
20．（6分）如图，点、都在线段上，且，，，与相交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
21．（6分）已知A、B两点在直线的同侧，试在上找两点C和D（CD的长度为定值），使得AC+CD+DB最短（保留作图痕迹，不要求写画法）．
22．（8分）列方程（组）解应用题：
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？
23．（8分）如图，△ABC在直角坐标系中．
（1）若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
24．（8分）某农场急需氨肥8 t，在该农场南北方向分别有A，B两家化肥公司，A公司有氨肥3 t，每吨售价750元；B公司有氨肥7 t，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b(单位：元/千米)与运输质量a(单位：t)的关系如图所示．
(1)根据图象求出b关于a的函数表达式(写出自变量的取值范围)．
(2)若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m(km)，设农场从A公司购买x(t)氨肥，购买8 t氨肥的总费用为y元(总费用＝购买铵肥的费用＋运输费用)，求出y关于x的函数表达式(m为常数)，并向农场建议总费用最低的购买方案．
25．（10分）某服装点用6000购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利润=售价−进价)，这两种服装的进价，标价如表所示．
(1)求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元?
26．（10分）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？
小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是 ．
（2）拓展应用：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】A. 与的最简公分母是6x ，故正确；
B. 与最简公分母是3a2b3c，故正确；
C. 与的最简公分母是 ，故不正确；
D. 与的最简公分母是m2－n2，故正确；
故选C.
2、A
【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，由此即可求出9的算术平方根．
【详解】∵12=9，
∴9的算术平方根是1．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定义．
3、B
【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数逐一判断即可得出答案．
【详解】A. 是有理数，不符合题意；
B. 是无理数，符合题意；
C. 是有理数，不符合题意；
D. 是有理数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查无理数，掌握无理数的概念及常见的类型是解题的关键．
4、A
【解析】分式有意义的条件是分母不为1．
【详解】A. ，无论x取何值，分式都有意义，故该选项符合题意；
B. 当时，分式有意义，故不符合题意；
C.当 时，分式有意义，故不符合题意；
D. 当时，分式有意义，故不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题考查的是分式有意义的条件：分母不为1时，掌握分式有意义的条件是解题的关键.
5、B
【分析】分别计算△，再根据△与0的关系来确定方程有无实数根．
【详解】解：A，，，当时，方程无实数根，故选项错误；
B，，，不论m取何值，方程一定有实数根，故选项正确；
C，，，当时，方程无实数根，故选项错误；
D，，，当时，方程无实数根，故选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题考查根的判别式，解题的关键是注意分三种情况进行讨论．
6、C
【分析】根据DE是AB的中垂线，可得AE=BE，再根据的周长可得BC+AC的值，最后计算的周长即可．
【详解】解：∵DE是AB的中垂线，，
∴AB=2AD=4，AE=BE，
又∵的周长是8，
即BC+BE+CE=8
∴BC+AE+CE=BC+AC=8，
∴的周长= BC+AC+AB=8+4=12，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的概念及性质是解题的关键．
7、C
【分析】根据k＝﹣ ＜0，可得y随x的增大而减小，即可得出y1与y1的大小关系．
【详解】∵一次函数y＝﹣x+5中，k＝﹣ ＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＜x1，
∴y1＞y1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数的增减性问题，掌握一次函数增减性的性质以及判断方法是解题的关键．
8、C
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
9、C
【解析】试题分析：设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间，则根据题意得，3x+2y=17，
∵2y是偶数，17是奇数，∴3x只能是奇数，即x必须是奇数．
当x=1时，y=7，
当x=3时，y=4，
当x=5时，y=1，
当x＞5时，y＜1．
∴她们有3种租住方案：第一种是：1间住3人的，7间住2人的，第二种是：3间住3人的，4间住2人的，第三种是：5间住3人的，1间住2人的．
故选C．
10、B
【解析】在△AOC和△BOD中
，
∴△AOC≌△BOD（SSS），
∴∠C＝∠D，
又∵∠D＝30°，
∴∠C＝30°，
又∵在△AOC中，∠A=95°，
∴∠AOC=(180-95-30) °=55°,
又∵∠AOC+∠AOB＝180°（邻补角互补），
∴∠AOB＝(180－55）°＝125 °.
故选B.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，求出∠BAD=∠B=30°，求出∠CAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD即可．
【详解】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵∠B=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，
又∵∠C=90°
∴∠CAB=90°-∠B=90°-30°=10°，
∴∠DAC=∠CAB-∠BAD=10°-30°=30°，
∴在Rt△ACD中，AD=2CD=1，
∴BD=AD=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
12、105°
【分析】由在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠B＝25°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ADC的度数，接着求得∠C的度数，然后根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
【详解】解：∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝25°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝25°+25°＝50°，
∵AD＝AC，
∴∠C＝∠ADC＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣25°﹣50°＝105°，
故答案为105°．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
13、（）2018
【解析】首先根据△ABC是腰长为1的等腰直角三形，求出△ABC的斜边长是，然后根据以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，求出第2个等腰直角三角形的斜边长是多少；再根据以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，求出第3个等腰直角三角形的斜边长是多少，推出第2017个等腰直角三角形的斜边长是多少即可．
【详解】解：∵△ABC是腰长为1的等腰直角三形，
∴△ABC的斜边长是,
第2个等腰直角三角形的斜边长是：×=（）2，
第3个等腰直角三角形的斜边长是：（）2×=（）3，
…，
∴第2012个等腰直角三角形的斜边长是（）2018.
故答案为（）2018.
【点睛】
本题考查勾股定理和等腰三角形的特征和应用，解题关键是要熟练掌握勾股定理，注意观察总结出规律．
14、m＜1
【解析】解：∵y随x增大而减小，
∴k＜0，
∴2m-6＜0，
∴m＜1．
15、1
【分析】首先利用二次根式和平方的非负性建立方程求出，然后对所求代数式利用完全平方公式进行变形为 ，再整体代入即可．
【详解】∵


∴原式=
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查二次根式与平方的非负性，整体代入法，完全平方公式，掌握二次根式与平方的非负性，整体代入法是解题的关键．
16、
【分析】首先把分子、分母分解因式，然后约分即可．
【详解】解：==
【点睛】
本题主要考查了分式的化简，正确进行因式分解是解题的关键．
17、1
【分析】先把20.2提取出来，再把其它的数相加，然后再进行计算即可．
【详解】根据题意得：
=1．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是找出公因式，再进行提取，是一道基础题．
18、33
【分析】根据等腰三角形的性质，可得，由三角形内角和定理，求得，再由垂直平分线的性质，结合外角性质，可求得即得．
【详解】，由三角形内角和，
，
在的垂直平分线上，
，利用三角形外角性质，
，
故答案为：33.
【点睛】
考查了等腰三角形的性质，三角形内角和的定理，以及垂直平分线的性质和外角性质，通过关系式找到等角进行代换是解题关键，注意把几何图形的性质内容要熟记．
三、解答题(共66分)
19、1
【解析】试题分析：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式的第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，第三项先计算乘方运算，再计算除法运算，合并得到最简结果，最后把ab的值代入化简后的式子计算即可求出值．
试题解析：解：原式=4﹣a2+a2﹣1ab+3ab=4﹣2ab，
当ab=﹣时，
原式=4+1=1．
考点：整式的混合运算—化简求值．．
20、（1）见解析；（2）7
【分析】（1）根据“SSS”证明△ACE≌△BDF即可；
（2）根据全等三角形对应角相等得到∠ACE=∠BDF，根据等角对等边得到DG=CG，然后根据线段的和差即可得出结论．
【详解】∵，
∴，
∴．
在与中，
∵，
∴；
（2）由（1）得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．证明△ACE≌△BDF是解答本题的关键．
21、作图见解析．
【解析】先作出点B关于I的对称点B′，A点向右平移到E（平移的长度为定值a），再连接EB′，与l交于D，再作AC∥EB′，与l交于C，即可确定点D、C．
【详解】解：作图如下：
22、笔记本电脑和台式电脑的单价分别为1元和2400元．
【解析】分析：设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，根据购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，列出方程求解即可.
详解：设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，
根据题意得，
解得x=2400，
经检验x=2400是原方程的解，
当x=2400时，1.5x=1．
答：笔记本电脑和台式电脑的单价分别为1元和2400元．
点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23、 (1)A1(－3,0)，B1(2,3)，C1(－1,4)，图略 (2)S△ABC＝1
【分析】（1）根据平移的性质，结合已知点A，B，C的坐标，即可写出A1、B1、C1的坐标，（2）根据点的坐标的表示法即可写出各个顶点的坐标，根据S△ABC＝S长方形ADEF﹣S△ABD﹣S△EBC﹣S△ACF，即可求得三角形的面积．
【详解】（1）如图所示．根据题意得：A1、B1、C1的坐标分别是：A1（﹣3，0），B1（2，3），C1（﹣1，4）；
（2）S△ABC＝S长方形ADEF﹣S△ABD﹣S△EBC﹣S△ACF
＝4×53×53×12×4
＝204
＝1．
【点睛】
本题考查了点的坐标的表示，以及图形的面积的计算，不规则图形的面积等于规则图形的面积的和或差．
24、（1）b＝；（2）当m＞时，到A公司买3 t，到B公司买5 t费用最低；当m＝时，到A公司或B公司买费用一样；当m＜时，到A公司买1 t，到B公司买7 t，费用最低．
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法分别求出当0≤a≤4和当a＞4时，b关于a的函数解析式；
（2）由于1≤x≤3，则到A公司的运输费用满足b=3a，到B公司的运输费用满足b=5a﹣8，利用总费用=购买铵肥费用+运输费用得到y=750x+3mx+（8﹣x）×700+[5（8﹣x）﹣8]•2m，然后进行整理，再利用一次函数的性质确定费用最低的购买方案．
试题解析：（1）当0≤a≤4时，设b=ka，把（4，12）代入得4k=12，解得k=3，所以b=3a；
当a＞4，设，把（4，12），（8，32）代入得：，解得：，所以；
∴；
（2）∵1≤x≤3，∴y=750x+3mx+（8﹣x）×700+[5（8﹣x）﹣8]•2m，∴，当m＞时，到A公司买3吨，到B公司买5吨，费用最低；当m＜时，到A公司买1吨，到B公司买7吨，费用最低．
考点：1．一次函数的应用；2．应用题；3．分段函数；4．最值问题；5．分类讨论；6．综合题．
25、（1）A种服装购进50件，B种服装购进30件；（2）2440元
【分析】（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由总价=单价×数量，利润=售价-进价建立方程组求出其解即可；
（2）分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润-打折后A种服装的利润-打折后B中服装的利润，求出其解即可．
【详解】解：（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得
，
解得：，
答：A种服装购进50件，B种服装购进30件；
（2）由题意，得：
3800-50（100×0.8-60）-30（160×0.7-100）
=3800-1000-360
=2440（元）．
答：服装店比按标价售出少收入2440元．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
26、（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；证明见解析．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；
（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．
【详解】（1）EF＝BE+DF，
理由如下：
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，如图2，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
类型
价格
A型
B型
进价(元/件)
60
100
标价(元/件)
100
160