辽宁省盘锦市大洼区2023-2024学年八年级数学第一学期期末学业质量监测试题【含解析】

这是一份辽宁省盘锦市大洼区2023-2024学年八年级数学第一学期期末学业质量监测试题【含解析】，共22页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，2 的平方根是等内容，欢迎下载使用。

考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若DE＝15cm，BE＝8cm，则BC的长为（ ）
A．15cmB．17cmC．30cmD．32cm
2．下列图形中对称轴只有两条的是( )
A．B．C．D．
3．下列函数中，随值增大而增大的是：①；②；③；④；⑤；⑥（ ）
A．①②③B．③④⑤C．②④⑤D．①③⑤
4．2 的平方根是 （ ）
A．2B．-2C．D．
5．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为16时，输出的的值是( )
A．B．8C．2D．
6．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（ ）．
A．B．
C．D．
7．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为
A．5B．7C．5或7D．6
8．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC 的垂直平分线交AB于E，垂足为D，如果 ED＝5，则EC的长为（ ）
A．5B．8C．9D．10
9．如图是人字型金属屋架的示意图，该屋架由BC、AC、BA、AD四段金属材料焊接而成，其中A、B、C、D四点均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，假设焊接所需的四段金属材料已截好，并已标出BC段的中点D，那么，如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，而又为了准确快速地焊接，他应该首先选取的两段金属材料及焊接点是（ ）
A．AB和AD，点AB．AB和AC，点B
C．AC和BC, 点CD．AD和BC，点D
10．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．18C．20D．16或20
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．因式分解：x2﹣49=________．
12．根据某商场2018年四个季度的营业额绘制成如图所示的扇形统计图，其中二季度的营业额为1000万元，则该商场全年的营业额为_____万元．
13．分解因式____________．
14．在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D在直线BC上，且CD=AC，连接AD，则∠ADC的度数为_____．
15．已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是_________．
16．将二次根式化为最简二次根式____________．
17．如图，在中，，，，，的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则；
18．在中是分式的有_____个．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．
求证：AD∥BC．
20．（6分）如图，在中，，，于，于，交于.
（1）求证：；
（2）如图1，连结，问是否为的平分线？请说明理由.
（3）如图2，为的中点，连结交于，用等式表示与的数量关系？并给出证明.
21．（6分）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等个小长方形.然后按图②的方式拼成一个正方形.
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法① ；
方法② ；
（3）观察图②，写出，，这三个代数式之间的等量关系： ；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值？
22．（8分）已知，．
（1）若，作，点在内．
①如图1，延长交于点，若，，则的度数为 ；
②如图2，垂直平分，点在上，，求的值；
（2）如图3，若，点在边上，，点在边上，连接，，，求的度数．
23．（8分）把下列各式因式分解：
（1）
（2）；
24．（8分）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为________；
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
25．（10分）如图是规格为的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点的坐标为；
（2）在第二象限内的格点上找一点，使点与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，画出，则点的坐标是 ，的周长是 （结果保留根号）；
（3）作出关于轴对称的.
26．（10分）如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：
（1）DE的长；
（2）求阴影部分△GED的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】先利用角平分线的性质得到DC=15，再根据勾股定理计算出BD，然后计算CD+BD即可．
【详解】解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝15，
在Rt△BDE中，BD＝＝17，
∴BC＝CD+BD＝15+17＝32（cm）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2、C
【分析】根据对称轴的定义，分别找出四个选项的中的图形的对称轴条数，即可得到答案.
【详解】圆有无数条对称轴，故A不是答案；
等边三角形有三条对称轴，故B不是答案；
长方形有两条对称轴，故C是答案；
等腰梯形只有一条对称轴，故D不是答案.
故C为答案.
【点睛】
本题主要考查了对称轴的基本概念（如果沿着某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么这条直线就叫做这个图形的对称轴），熟记对称轴的概念是解题的关键.
3、D
【分析】根据一次函数的性质对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：一次函数y=kx+b，当k>0时，y随x值增大而增大，
①，k=8>0，满足；
②，k=-5<0，不满足；
③，k=>0，满足；
④，k=<0，不满足；
⑤，k=9>0，满足；
⑥，k=-10<0，不满足；
故选D.
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数k的关系是解答此题的关键．
4、D
【分析】根据平方根的定义：如果一个数的平方等于,这个数就叫做的平方根,即可得解.
【详解】由题意，得
故选：D.
【点睛】
此题主要考查对平方根的理解，熟练掌握，即可解题.
5、D
【分析】根据数值转换器的运算法则解答即可．
【详解】解：当输入是16时，取算术平方根是4，4是有理数，再次输入，4的算术平方根是2，2是有理数，再次输入，2的算术平方根是，是无理数，所以输出是．
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根的有关计算，属于常考题型，弄懂数值转换器的运算法则、熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．
6、B
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2018=504×4+2即可找出点A2018的坐标．
【详解】解：当x=1时，y=2，
∴点A1的坐标为（1，2）；
当y=-x=2时，x=-2，
∴点A2的坐标为（-2，2）；
同理可得：A3（-2，-4），A4（4，-4），A5（4，8），A6（-8，8），A7（-8，-16），A8（16，-16），A9（16，32），…，
∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），
A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）．
∵2018=504×4+2，
∴点A2018的坐标为（-2504×2+1，2504×2+1），即（-21009，21009）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
7、B
【分析】因为已知长度为3和1两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：
【详解】①当3为底时，其它两边都为1，
∵1+1＜3，∴不能构成三角形，故舍去．
当3为腰时，其它两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为1．
故选B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，以及三边关系，分类讨论是关键.
8、D
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE,故可得出∠B=∠DCE,再由直角三角形的性质即可得出结论.
【详解】∵在△ABC中,∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，ED=5，
∴BE=CE，
∠B=∠DCE=30°，
在Rt△CDE中，
∵∠DCE=30°，ED=5,
∴CE=2DE=10.
故答案选D.
【点睛】
本题考查垂直平分线和直角三角形的性质，熟练掌握两者性质是解决本题的关键.
9、D
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推知△ABD≌△ACD，则∠ADB=∠ADC=90°．
【详解】解：根据题意知，∵在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
根据焊接工身边的工具，显然是AD和BC焊接点D．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用．巧妙地借助两个三角形全等，寻找角与角间是数量关系．
10、C
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【详解】①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8-4<8<8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=1．
故选C
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况分析师解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（x﹣7）（x+7）
【分析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式．根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）
【详解】解：可以直接用平方差分解为：﹣49=（x﹣7）（x+7）．
故答案为：（x﹣7）（x+7）
12、1
【分析】用二季度的营业额÷二季度所占的百分比即可得到结论．
【详解】由扇形图可以看出二季度所占的百分比为，
所以该商场全年的营业额为万元，
答：该商场全年的营业额为 1万元.故答案为1．
【点睛】
本题考查扇形统计图，正确的理解扇形统计图中的信息是解题的关键．
13、
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
14、50°或40°
【分析】利用等腰三角形的性质，等边对等角即可得.
【详解】解：①当点D在CB的延长线上时，
∵AB=AC，∠BAC=20°，
∴∠ABC=∠ACB=80°．
∵CA=CD，∠ACB=80°，
∴∠ADC=∠CAD=50°，
②当点D在BC的延长线上时，
∵AB=AC，∠BAC=20°，
∴∠ABC=∠ACB=80°．
∵CA=CD，∠ACB=80°，∠ACB=∠D+∠CAD，
∴，
∴∠BDA的度数为50°或40°．
故答案为：50°或40°．
【点睛】
掌握等腰三角形的性质为本题的关键.
15、－1
【详解】∵关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，
∴x=-y③，
把③代入②得：-y+2y=-1，
解得y=-1，所以x=1，
把x=1，y=-1代入①得2-3=k，
即k=-1.
故答案为-1
16、5．
【分析】首先将50分解为25×2，进而开平方得出即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，正确开平方是解题关键．
17、
【解析】过E作EG∥AB，交AC于G，易得AG=EG，EF=CF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF=3：4：5，故设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，根据AC=10，可得3k+5k+4k=10，即k=，进而得出EF=4k=．
【详解】过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠CAE=∠AEG，
∴AG=EG，
同理可得，EF=CF，
∵AB∥GE，BC∥EF，
∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，
∴△ABC∽△GEF，
∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴EG：EF：GF=AB：BC：AC=3：4：5，
设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，
∵AC=10，
∴3k+5k+4k=10，
∴k=，
∴EF=4k=．
故答案是：．
【点睛】
考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及构造等腰三角形．
18、1
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：分母中有未知数的有：，共有1个．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
三、解答题(共66分)
19、证明见解析
【解析】试题分析：由角平分线的定义可知：∠EAD=∠EAC，再由三角形的外角的性质可得∠EAD=∠B，然后利用平行线的判定定理可证明出结论.
试题解析：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠EAC．
又∵∠B=∠C，∠EAC=∠B+∠C，
∴∠B=∠EAC．
∴∠EAD=∠B．
所以AD∥BC．
考点：1.平行线的性质；（2）角平分线的定义；（3）三角形的外角性质.
20、（1）证明见解析；（2）是的平分线，理由见解析；（3），证明过程见解析．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可求出，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）如图1（见解析），过点D分别作，由题（1）两个三角形全等可得，再根据三角形全等的判定定理与性质，最后根据角平分线的判定即可得出结论；
（3）如图2（见解析），连接BR，先根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质可得，从而可求得，再根据勾股定理可得，最后根据等腰三角形的性质、等量代换即可得出答案．
【详解】（1）
是等腰直角三角形，且
（等腰三角形的三线合一性）
在等腰中，
在和中，
；
（2）是的平分线，理由如下：
如图1，过点D分别作，则
由（1）已证：
，即
在和中，
是的平分线；
（3），证明过程如下：
如图2，连接BR
由（1）已证：是等腰直角三角形，
为底边的中点
（等腰三角形的三线合一性）
是AB的垂直平分线
则在中，
故．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、角平分线的判定等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．
21、（1）m﹣n；（2）（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（4）1．
【分析】（1）平均分成后，每个小长方形的长为m，宽为n．由图可知阴影正方形的边长=小长方形的长-宽；
（2）第一种方法为：大正方形面积-4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积；
（3）根据（2）中表示的结果可求解；
（4）利用(a-b)2=(a+b)2-4ab可求解．
【详解】解：（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；
故答案为：m﹣n；
（2）图②中阴影部分的面积：(m﹣n)2；
图②中阴影部分的面积：(m+n)2﹣4mn；
故答案为：(m﹣n)2；(m+n)2﹣4mn；
（3）根据图②，可得(m+n)2，(m﹣n)2，mn这三个代数式之间的等量关系为：
(m﹣n)2＝(m+n)2﹣4mn；
（4）∵a﹣b＝6，ab＝5，
∴(a+b)2＝(a﹣b)2+4ab＝62+4×5＝36+20＝1．
【点睛】
本题考查了完全平方那个公式的几何背景，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系.
22、（1）①15°；②；（2）
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质，连接，得，，所对的直角边是斜边的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性质计算可得；
②构造“一线三垂直”模型，证明三角形，利用面积比等于等高的三角形的底边的比，结合已知条件即可解得．
（2）构造等边，通过证明，等边代换，得出等腰三角形，代入角度计算即得．
【详解】（1）①连接ＡＥ，在，因为，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
②过Ｃ作交ＤＦ延长线于Ｇ，连接ＡＥ
ＡＤ垂直平分ＢＥ，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）以AB向下构造等边，连接DK，
延长AD，BK交于点T，
，，
，
，
，，
等边中，，，
，，
在和中，
，
等边三角形三线合一可知，BD是边AK的垂直平分线，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
考查了等腰直角三角形的性质，外角的性质，等腰三角形的判定和性质，构造等边三角形的方法证明全等，全等三角形的性质应用很关键，熟记几何图形的性质和判定是解决图形问题的重要方法依据．
23、 (1) (2)
【分析】（1）根据题意先提取公因式c，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）由题意先化简合并同类项，进而利用完全平方差公式进行因式分解即可.
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】
本题考查因式分解，熟练掌握利用提取公因式法和公式法分解因式是解题的关键.
24、 (1)(m＋2n)(2m＋n)（2）42cm
【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；
（2）求出m+n的值，然后根据图象由正方形的性质和长方形的性质即可得出结论；
【详解】（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
故答案为（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得：2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=1．
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn=49，
∴m+n＝7，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为6m+6n=6(m+n)=6×7=42cm．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）（-1，1），；（3）见解析
【分析】（1）把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的平面直角坐标系；
（2）作线段AB的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C即可，利用格点三角形分别求出三边的长度，即可求出△ABC的周长；
（3）分别找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即可．
【详解】（1）把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的平面直角坐标系，如图；
（2）作线段AB的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C，点C的坐标为（-1，1），
，
AC=BC=，
则△ABC的周长为：；
（3）分别找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接，如图所示.
【点睛】
本题是对坐标系和轴对称的综合考查，熟练掌握轴对称，垂直平分线性质和勾股定理是解决本题的关键.
26、（1）1；（2）
【解析】（1）设DE=EG=x，则AE=8﹣x．在Rt△AEG中，由勾股定理得：AG2+EG2=AE2，解方程可求出DE的长；
（2）过G点作GM⊥AD于M，根据三角形面积不变性，得到AG×GE=AE×GM，求出GM的长，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：（1）设DE=EG=x，则AE=8﹣x．
在Rt△AEG中，AG2+EG2=AE2，
∴16+x2=（8﹣x）2，解得x=1，
∴DE=1．
（2）过G点作GM⊥AD于M，
则•AG×GE=•AE×GM，AG=AB=4，AE=CF=5，GE=DE=1，
∴GM=，
∴S△GED=GM×DE=．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．