2023-2024学年辽宁省盘锦市大洼区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省盘锦市大洼区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. 2a2+a3=3a5B. a3÷a=aC. (−m2)3=−m6D. (−2ab)2=4ab2
3.在下列长度的四根木棒中，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( )
A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 14cm
4.在平面直角坐标系中，点P(−2,1)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (−2,−1)B. (2,1)C. (2,−1)D. (−2,1)
5.如图，已知△ABC≌△BDE，∠ABC=∠ACB=70°，则∠ABE的度数为( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
6.某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在( )
A. B.
C. D.
7.如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线剪开后排成如图②所示的长方形，通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为( )
A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. a(a−b)=a2−ab
C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. (a+b)2=a2+2ab+b2
8.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”.下列分式中，是“和谐分式”的是( )
A. x−11−xB. 1x2+y2C. a+ba2+b2D. a−ba2+2ab+b2
9.节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水吨．( )
A. 4maB. 4ama+4C. 4ma(a+4)D. am+3ma(a+4)
10.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨同“蝶”)，如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP.若∠ADQ=25°，则∠DCP的度数为( )
A. 20°B. 21°C. 24°D. 25°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(π−3)0−2−2= ．
12.分解因式：a3−4a2b+4ab2=______．
13.如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1= ______．
14.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为D，E，AD=1.9cm，DE=2.2cm，则BE= ______cm．
15.如图，在长方形ABCD中，AB=DC=3cm，BC=AD=2cm，现有一动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿长方形的边A→B→C→D→A运动，到达点A时停止；点Q在边DC上，DQ=BC，连接AQ.设点P的运动时间为t s，则当t= ______s时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△ADQ全等.(不考虑两个三角形重合的情况)
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(4x+1)(x−2)−(2x−3)2；
(2)解方程：xx−2−1=2x2−4．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：x−3x2−1÷x−3x2+2x+1−(1x−1+1)，请你从−218.(本小题9分)
(1)萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图(1)所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定.这种设计所运用的数学原理是______；
(2)图(2)是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm，则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由．
19.(本小题8分)
2023年8月世界机器人“开放创新，聚享未来”大会在北京召开，某工厂为促进智能化发展，引进了A，B两种型号的机器人搬运货品，已知每个A型机器人比每个B型机器人每小时多搬运30kg，每个A型机器人搬运1200kg所用的时间与每个B型机器人搬运900kg所用的时间相等.求A，B两种机器人每个每小时分别搬运多少kg货品？
20.(本小题8分)
背景材料：
如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角.”其作图方法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC=OD，连接CD，以CD为边作等边△CDE，则OE就是∠AOB的平分线．
操作运用：
小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可.如图2，在△AOB中，∠B=90°，∠A=30°，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA，OB于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧交于点E，连接OE并延长，交AB于点M，若AB=6，求BM的长．
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(1,3)，点B(3,0)，点C(6,2)．
(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
(2)试判断△A1B1C1的形状，并说明理由．
22.(本小题10分)
小宇在研究“三线合一”这个结论时，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？他画出图形分析后，找到了两种解决问题的方法，请任选其中一种，帮助他完成证明．
温馨提示：只选一种方法证明即可，如两种方法都选用的，只按方法一的证明给分．
23.(本小题12分)
在等边△ABC中，AB=4，点D是边BC上的点(不与点B，C重合)，连接AD．
【初步感知】如图①，点E是边AC上的点，连接BE交AD于点P，若∠APE=60°，求证：AD=BE；
【深入探究】如图②，CF是△ABC的外角∠ACG的角平分线，若∠ADF=60°，求证：AD=DF；
【拓展运用】如图②，当△DCF的周长取最小值时，求BD的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据轴对称概念可知，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称，据此分析解答．
此题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.2a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
B.a3÷a=a2，故本选项不符合题意；
C.(−m2)3=−m6，故本选项符合题意；
D.(−2ab)2=4a2b2，故本选项不符合题意．
故选：C．
选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据同底数幂的除法法则判断即可；选项C、D根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的相关运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：设第三边的长为x cm，
则9−5∴四根木棒中，长度为5cm的木棒，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，
故选：C．
根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：点P(−2,1)关于x轴对称的点的坐标是(−2,−1)，
故选：A．
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠ABC=∠ACB=70
∴∠A=180°−70°−70°=40°，
∵△ABC≌△BDE，
∴∠DBE=∠A=40°，
∴∠ABE=∠ABC−∠DBE=70°−40°=30°．
故选：B．
先根据三角形内角和计算出∠A=40°，再根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠A=40°，然后计算∠ABC−∠DBE即可．
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．
6.【答案】B
【解析】解：连接AB，使A，B两小区到送奶站的距离相等，所以此点在AB的垂直平分线上．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
连接AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点在AB的垂直平分线上．
此题主要考查了作线段的垂直平分线，以及作对称点，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
7.【答案】A
【解析】解：阴影部分的面积=a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：A．
根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2−b2=(a+b)(a−b)．
此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
8.【答案】D
【解析】解：A、x−1x+1是最简分式，但分子分母均不能因式分解，故此分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；
B、1x2+y2是最简分式，但分子分母均不能因式分解，故此分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；
C、a+ba2+b2是最简分式，但分子分母均不能因式分解，故此分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；
D、a−ba2+2ab+b2是最简分式，且分母可以因式分解是“和谐分式”，故此选项符合题意；
故选：D．
根据“和谐分式”的概念进行判断．
本题属于新定义题目，考查最简分式，分式的约分，掌握利用平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)进行因式分解是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
ma−ma+4
=m(a+4)−maa(a+4)
=ma+4m−maa(a+4)
=4ma(a+4)，
故选：C．
首先求得原来每天的用水量为ma吨，现在每天的用水量为ma+4吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可．
此题考查列代数式，掌握基本的数量关系：水的总量÷天数=每一天的用水量是解决问题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ=25°，
∴∠PDQ=∠ADQ=25°，AD=DP，
∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形，
∴∠CDB=∠ADB=45°，CD=AD，
∴∠CDP=∠CDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ=140°，
∵AD=DP，CD=AD，
∴CD=DP，即△DCP是等腰三角形，
∴∠DCP=12(180°−∠CDP)=20°．
故选：A．
由点P与点A关于直线DQ对称求出∠PDQ，再由△ABD和△CBD求出∠CDB和∠ADB，进而计算出∠CDP，最后利用三角形内角和即可求解．
本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质，找出对应边和对应角是解题的关键．
11.【答案】34
【解析】解：原式=1−14=34，
故答案为：34．
【分析】此题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，关键是掌握计算公式．
根据负整数指数幂：a−p=1ap(a≠0,p为正整数)，零指数幂：a0=1(a≠0)进行计算即可．
12.【答案】a(a−2b)2
【解析】解：原式=a(a2−4ab+4b2)=a(a−2b)2．
故答案是：a(a−2b)2．
首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.【答案】45°
【解析】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴每一个外角为360°÷8=45°．
故答案为：45°．
由多边形的外角和定理直接可求出结论．
本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键．
14.【答案】4.1
【解析】解：∵BE⊥CD，AD⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，且BC=AC，∠BEC=∠CDA=90°，
∴△ACD≌△BCE(AAS)，
∴CE=AD=1.9，
CD=BE，
∴BE=CD=DE+CE=2.2+1.9=4.1(cm)，
故答案为：4.1．
证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的性质得到CE=AD=5，BE=CD，结合图形计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15.【答案】1或2或7
【解析】解：当t=1s时，AP=1cm，则BP=2cm，如图1，
在△AQD和△CPB中，
AD=BC∠D=∠BDQ=BP，
∴△AQD≌△CPB(SAS)；
当t=2时，AP=2cm，如图2，
∴AP=DQ，
在△AQD和△DPA中，
AP=DQ∠ADQ=∠DAPAD=AD，
∴△AQD≌△DPA(SAS)；
当t=7时，AB+BC+CP=7cm，如图3，
∴CP=2cm，
∴DQ=CP，
在△AQD和△BPC中，
AD=BC∠D=∠CDQ=CP，
∴△AQD≌△BPC(SAS)；
故答案为：1或2或7．
运用全等三角形的判定定理即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形性质，动点问题等，运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
16.【答案】解：(1)原式=4x2−8x+x−2−(4x2−12x+9)
=4x2−8x+x−2−4x2+12x−9
=5x−11；
(2)去分母得：x(x+2)−x2+4=2，
解答：x=−1，
检验：把x=−1代入得：(x+2)(x−2)≠0，
∴分式方程的解为x=−1．
【解析】(1)原式利用多项式乘多项式法则，完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17.【答案】解：原式=x−3(x+1)(x−1)⋅(x+1)2x−3−xx−1
=x+1x−1−xx−1
=1x−1，
∵x+1≠0，x−1≠0，x−3≠0，
∴x≠±1，x≠3，
∵−2∴当x=2时，原式=1．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的化简运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
18.【答案】三角形具有稳定性．
【解析】解：(1)由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性．
(2)CB=38cm．
理由如下：∵O是AB和CD的中点，
∴AO=BO，CO=DO，
在△AOD和△BOC中，
AO=BO∠AOD=∠BOCDO=CO，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
又∵AD=38cm，
∴BC=AD=38cm．
(1)根据三角形的稳定性进行解答即可；
(2)证明△AOD≌△BOC(SAS)，得BC=AD，结合已知条件则可知BC的长度
本题考查了三角形的稳定性，三角形全等的性质与判定，证明△AOD≌△BOC是解题的关键．
19.【答案】解：设A种机器人每小时搬运x kg货品，则B种机器人每小时搬运(x−30)kg货品，
根据题意得：1200x=900x−30，
解得：x=120，
经检验，x=120是所列方程的解，且符合题意，
∴x−30=120−30=90．
答：A种机器人每小时搬运120kg货品，B型机器人每小时搬运90kg货品．
【解析】设A种机器人每小时搬运x kg货品，则B种机器人每小时搬运(x−30)kg货品，根据每个A型机器人搬运1200kg所用的时间与每个B型机器人搬运900kg所用的时间相等．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】解：∵△AOB中，∠B=90°，∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
由作图得：OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠BOM=12∠AOB=30°=∠A，
∴AM=OM=2BM，
∵AM+BM=AB=6，
∴BM=13AB=2．
【解析】根据角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)△A1B1C1为等腰直角三角形．
理由：由勾股定理得，A1B1= 22+32= 13，B1C1= 22+32= 13，A1C1= 12+52= 26，
∴A1B1=B1C1，A1B12+B1C12=A1C12，
∴∠A1B1C1=90°，
∴△A1B1C1为等腰直角三角形．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得结论．
本题考查作图−轴对称变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
22.【答案】证明：如图，作DF⊥AB，DE⊥AC，

∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
DF=DEBD=CD，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
【解析】作DF⊥AB，DE⊥AC，根据三角形的角平分线性质，可得DF=DE，根据“HL”定理，易证Rt△BDE≌Rt△CDF，即可证得．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23.【答案】【初步感知】
证明：∵∠APE=60°，
∴∠BAD+∠ABP=60°，
∵等边△ABC，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
即∠EBC+∠ABP=60°，
∴∠BAD=∠EBC，
在△ABD和△BCE中，
∠BAD=∠EBC,AB=BC∠ABC=∠C，
∴△ABD≌△BCE(ASA)，
∴AD=BE；
【深入探究】
证明：在BA上取BM=BD，连DM，

∵∠B=60°，
∴△BMD是等边三角形，
∴∠BMD=60°，
∴∠AMD=120°，
∵∠ADF+∠FDC=∠B+∠MAD，
∵∠ADF=60°，
∴∠FDC=∠MAD，
∵BA=BC，又BM=BD，
∴AM=DC，
∵CF平分∠ACG，
∴∠ACF=60°，
∴∠DCF=120°，
在△AMD和△DCF中，
∠MAD=∠FDCAM=DC∠AMD=∠DCF，
∴△AMD≌△DCF(ASA)，
∴AD=DF；
【拓展运用】
解：由(2)知△AMD≌△DCF，
∴DF=AD，CF=MD=BD，
∵△DCF周长=DC+CF+DF=DC+BD+AD=BC+AD=4+AD，
∴当AD最小时，△DCF的周长最小，
故AD⊥BC时，AD最小，
如图：

由三线合一得BD=12BC=2．
【解析】【初步感知】利用三角形外角∠BAD=∠EBC，再△ABD≌△BCE即可；
【深入探究】构造等边△BMD，再△AMD≌△DCF即可；
【拓展运用】利用(2)中△AMD≌△DCF得△DCF周长=4+AD，故AD⊥BC时，AD最小，再用三线合一得BD=12BC=2．
本题考查了等边三角形的性质，学会构造全等三角形，同时利用垂线段最短是解题关键．已知：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，且点D是BC的中点.求证：AB=AC．
方法一
证明：如图2，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F．
方法二
证明：如图3，延长AD到点E，使AD=DE，连接CE．