新高考数学二轮复习培优专题训练专题09 利用导数研究函数的性质（2份打包，原卷版+解析版）

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1、（2023年全国甲卷数学（文））曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】设曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B．eC． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】依题可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即a的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
3、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）．若函数 SKIPIF 1 < 0 既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 既有极大值也有极小值，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个变号零点，而 SKIPIF 1 < 0 ，
因此方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等的正根 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
4、（2023年全国乙卷数学（文））．函数 SKIPIF 1 < 0 存在3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 要存在3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 要存在极大值和极小值，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 要存在3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
5、（2023年全国乙卷数学（理））设 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则a的取值范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由函数的解析式可得 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
结合题意可得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6、【2022年新高考2卷】曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】
【解析】 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；
7、【2022年新高考1卷】已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
故选：AC.
8、（2023年全国乙卷数学（文））6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程．
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由函数的解析式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
满足题意时 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，原问题等价于 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意;
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，满足题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意.
综上可知：实数 SKIPIF 1 < 0 得取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
题组一、函数图像的切线问题
1-1、（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数a＝（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 且x不为0，得 SKIPIF 1 < 0
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
1-2、（2023·江苏南京·校考一模）若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据导数的几何意义可推导得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入可得结果.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
1-3、（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先求导，再由导数的几何意义和点斜式即可求解
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以所求切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
1-4、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）若直线 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在某点处的切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】2
【分析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由点在两线上及切线斜率建立方程组解得参数.
【详解】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2.
1-5、（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有公共切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设公切线与曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 上的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 上的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
∴正实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题组二、利用导数研究函数的最值、极值与零点问题
2-1、（2022·江苏苏州·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均有极值
B． SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值
C． SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有一个零点
D． SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点
【答案】BC
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无极值，A错，B对．
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个零点．
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个零点．
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或0， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个零点．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个零点，C对，D错．
故选：BC
2-2、（2022·江苏海门·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A．(0， SKIPIF 1 < 0 )B．[0， SKIPIF 1 < 0 )C．[0， SKIPIF 1 < 0 ]D．(0， SKIPIF 1 < 0 )
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，即方程 SKIPIF 1 < 0 有三个根，
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
当 SKIPIF 1 < 0 趋近于负无穷时， SKIPIF 1 < 0 趋近于正无穷； SKIPIF 1 < 0 趋近于正无穷时， SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，满足题意.
故选：A.
2-3、（2023·山西运城·统考三模）（多选题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直
B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C． SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：BC
2-4、（2023·山西晋中·统考三模）设 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】只需比较 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：A.
2-5、（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ，其导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确；
故选：C.
题组三、利用导数研究函数性质的综合性问题
3-1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，其中k≠0，则（ ）
A．若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点Q(b，a)在g(x)的图象上
B．当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于 SKIPIF 1 < 0
D．当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点
【答案】ACD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的反函数，它们的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，A正确；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的切线的切点是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是增函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ，即在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由对勾函数知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是减函数， SKIPIF 1 < 0 也是减函数，它们互为反函数，作出它们的图象，如图，易知它们有一个交点在直线 SKIPIF 1 < 0 上，在右侧， SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 轴上方，而 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处穿过 SKIPIF 1 < 0 轴过渡到 SKIPIF 1 < 0 轴下方，之间它们有一个交点，根据对称性，在左上方，靠近 SKIPIF 1 < 0 处也有一个交点，因此函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的图象有3个交点，所以 SKIPIF 1 < 0 有3个零点，D正确．
故选：ACD．
3-2、（2023·浙江温州·统考三模）（多选题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是其图象上四个不重合的点，直线 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线，则（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值有可能小于零
C．对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率恒大于直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率
D．若 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】AD
【详解】设 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，图象关于原点对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，A正确；
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极大值，
由单调性可知， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
同上，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，则有 SKIPIF 1 < 0
整理得 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：AD
3-3、（2023·江苏南京·校考一模）（多选题）定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，极大值为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 有两个零点
C．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再逐项分析即可判断作答.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
于是得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
显然 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有1个零点，而 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 无零点，因此，函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上只有1个零点，B不正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
因此，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
因函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD.
1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）设a为实数，函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在原点处的切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用导数加法法则，可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合偶函数概念可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据曲线在某点处的导数几何意义，可得结果.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在原点处的切线方程
为 SKIPIF 1 < 0
故选：A.
2、（2023·山东聊城·统考三模）若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故切线的斜率为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
又由于切点 SKIPIF 1 < 0 在切线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是增函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是减函数.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为：1.
故选：B.
3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为自然常数），则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 变形，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，根据单调性可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）（多选题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个极大值点
B． SKIPIF 1 < 0
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率小于零
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个极大值点， SKIPIF 1 < 0 ，A、B正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率大于零，C错误；
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，但无法确定函数值的正负，D错误；
故选：AB.
5、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 是奇函数
B．任意 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 的图象是中心对称图形
C．若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为奇函数，从而即可判断；
对于B，设函数的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ,根据 SKIPIF 1 < 0 ，求出对称中心即可判断；
对于C，求导，由题意和韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，，再由重要不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断；
对于D，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，由 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可.
【详解】解：对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为奇函数，故正确；
对于B，设函数的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 单调，则有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，选项D正确.
故选：ABD.