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暑假自学课七年级数学上册人教版第15讲 特殊一元一次方程的解法技巧学案（解析版）
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这是一份暑假自学课七年级数学上册人教版第15讲 特殊一元一次方程的解法技巧学案（解析版），共21页。
·模块一 分母化整
·模块二 利用倒数关系去括号
·模块三 整体思想的应用
·模块四 先约分，再去分母
·模块五 先合并再解方程
·模块六 先拆分再合并
·模块七 分组通分
·模块八 课后作业
模块一
分母化整
【例1】解方程4x−1.50.5−0.5x−−x0.1+2.
【答案】x=-137
【详解】试题分析：将方程变形为40x−155−50x−82=12－10x+2，然后通过去分母，移项合并，x前面系数化为1解出x即可．
试题解析：40x−155−50x−82=12－10x+2，
8x－3－(25x－4)＝12－10x＋2，
8x－3－25x＋4＝12－10x＋2，
-7x＝13，
x＝ -137．
点睛：一元一次方程分母出现小数时，可以先将分母化为整数然后再求解．
【例2】解方程： 1.5x0.6−1.5−x2=0.5
【答案】x=512．
【分析】原方程整理后去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可求解．
【详解】解：1.5x0.6−1.5−x2=0.5
原方程整理得5x2−3−2x4=12，
去分母得 10x−(3−2x)=2，
去括号得 10x−3+2x=2，
移项得 10x+2x=2+3，
合并同类项得 12x=5，
系数化1得x=512．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【例3】解方程: x0.7−0.17−＝1；
【答案】x＝1417
【分析】先把小数都处理成整数，再按解一元一次方程的步骤计算即可．
【详解】解：原方程可化为：10x7－17−20x3＝1，
去分母，可得：30x－7（17－20x）＝21，
去括号，可得：30x－119＋140x＝21，
移项，可得：30x＋140x＝21＋119，
合并同类项，可得：170x＝140，
系数化为1，可得：x＝1417．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，一般解方程步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1．
【变式1】解方程：x−30.2−x+20.5=32．
【答案】x=416
【分析】利用解一元一次方程的步骤解答即可．
【详解】解：去分母得：25x−15−22x+4=3，
去括号得：10x−30−4x−8=3，
移项得：10x−4x=3+30+8，
合并同类项得：6x=41，
系数化为1得：x=416．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【变式2】解方程： 0.3x−0.40.2+2=0.5x−0.20.3．
【答案】x=4
【分析】利用分数的基本性质，先将含有的小数化为整数，再按步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可．
【详解】解：原方程可化为：
3x−42+2=5x−23，
去分母，得：33x−4+12=25x−2，
去括号，得：9x−12+12=10x−4，
移项，得：9x−10x=−4，
合并同类项，得：−x=−4，
系数化为1，得：x=4.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式3】解方程： x−10.3−x+20.5=1.2
【答案】x=6.4
【分析】将方程变形后，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
【详解】解：x−10.3−x+20.5=1.2，
原方程可变形为10x−103−10x+205=1.2，
去分母，得5(10x−10)−3(10x+20)=18，
去括号，得50x−50−30x−60=18，
移项，得50x−30x=18+50+60，
合并同类项，得20x=128，
系数化为1，得x=6.4；
【点睛】此题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
模块二
利用倒数关系去括号
【例1】解方程：2x−73=23321−3x2+1
【答案】x=2
【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：2x−73=23321−3x2+1
去分母得：22x−7=32−3x+6，
去括号得：4x−14=6−9x+6，
移项得：4x+9x=6+6+14，
合并得：13x=26，
解得：x=2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
【例2】解方程：3x+22−1=54452x−14−2x+15．
【答案】−928
【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【详解】
3x+22−1=54452x−14−2x+15
3x+22−1=2x−14−2x+15，
10（3x+2）−20=5（2x−1）−4（2x+1），
30x+20−20=10x−5−8x−4，
30x−10x+8x=−5−4−20+20，
28x=−9，
x=−928．
【点睛】此题考查了一元一次方程，解题的关键是熟悉一元一次方程的解题步骤．
【变式1】解方程：9510943x−23x−12=56x
【答案】x=−2
【分析】先去括号，然后根据解一元一次方程的步骤解方程即可求解．
【详解】解：9510943x−23x−12=56x
243x−23x−12=56x，
解：243x−23x+12=56x，
∴223x+12=56x，
23x+12=512x ，
去分母，8x+6=5x，
移项，8x−5x=−6，
合并同类项，3x=−6，
化系数为1，x=−2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
模块三
整体思想的应用
【例1】解方程：(x−4)−(x−4)−12=3−(x−4)+23
【答案】x=6.2
【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可．
【详解】解：(x−4)−(x−4)−12=3−(x−4)+23
去分母得：6x−4−3x−5=18−2x−2 ，
去括号得：6x−24−3x+15=18−2x+4，
移项合并得：5x=31，
解得：x=6.2．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的方法与步骤”是解本题的关键．
【变式1】解方程：45(x+7)=1−65(x+7)．
【答案】x=-132
【详解】解：45(x+7)=1−65(x+7)．
45(x+7)+65(x+7)=1，
2(x+7)=1
x+7=12
∴原方程的解为x=−132．
【点睛】本题主要考查解方程，掌握解方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键．
模块四
先约分，再去分母
【例1】解方程：3y−14−1=4y+146．
【答案】43
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤解方程即可求解．
【详解】解：3y−14−1=4y+146
3y−14−1=2y+73
去分母得 33y−1−12=42y+7，
去括号得 9y−3−12=8y+28，
移项得 9y−8y=28+3+12，
合并同类项得 y=43．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题关键．
【例2】解方程：x−4x+26=2−2x−44．
【答案】x=4
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可．
【详解】解：x−4x+26=2−2x−44
x−2x+13=2−x−22
去分母，得：6x−22x+1=12−3x−2，
去括号，得：6x−4x−2=12−3x+6，
移项，合并，得：5x=20，
系数化1，得：x=4．
【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
【变式1】解方程：x−1−4x3=33x+2112
【答案】先去分母、去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1，即可得到答案；
【详解】解：
x−1−4x3=33x+2112
x−1−4x3=11x+74
去分母，得：12x−4(1−4x)=3(11x+7)
去括号、移项，得：12x+16x−33x=21+4
合并同类项，得：−5x=25
系数化为1，得：x=−5；
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法进行解题．
【变式2】解方程：2x−28=4x−612−3．
【答案】x=39
【分析】先去分母，再去括号，然后移项，最后合并同类项后，系数化为1，得出答案．
【详解】2x−28=4x−612−3
解：2x−28=4x−612−3
x−14=2x−36−3
3x−1=22x−3−36
3x−3=4x−6−36
3x−4x=−6−36+3
−x=−39
x=39．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是关键．
模块五
先合并再解方程
【例1】解方程：5x12−13=−7x12+53．
【答案】x=2
【详解】解：5x12−13=−7x12+53．，
方程整理得：5x12+7x12=53+13，
解得x=2．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的方法与步骤”是解本题的关键．
【变式1】解方程: y4−2314=5y4+514．
【答案】y=−2
【详解】y4−2314=5y4+514
y4−5y4=514+2314，
−y=2，
y=−2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
模块六
先拆分，再合并
【例1】解方程：1−2y3−4y=1−y+26
【答案】y=−227
【分析】先去分母，再去括号，再移项，再合并同类项，最后系数化1即可．
【详解】解：1−2y3−4y=1−y+26
2−4y−24y=6−y+2
2−28y=4−y
−27y=2
y=−227．
【点睛】本题考查解一元一次方程，能够数量掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．
【例2】解方程：2x−13−3x+16=1．
【答案】x=9
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤即可解答．
【详解】解：去分母，可得：2(2x−1)−(3x+1)=6，
去括号，可得：4x−2−3x−1=6，
移项，可得：4x−3x=6+2+1，
合并同类项，可得：x=9．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解答本题的关键．
【例3】解方程: 7x−13−5x+12=2−3x+24．
【答案】x=4
【分析】（1）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，按步骤计算即可；
【详解】解：7x−13−5x+12=2−3x+24，
去分母得：4(7x−1)−6(5x+1)=24−3(3x+2)
去括号得：28x−4−30x−6=24−9x−6
移项得：28x−30x+9x=24−6+4+6
合并同类项得：7x=28
系数化为1得， x=4
【变式1】解方程：x−12−2x−36=6−x3．
【答案】x=4
【分析】方程去分母，去括号后，将x系数化为1，即可求出解
【详解】解：x−12−2x−36=6−x3
去分母得，3(x−1)−(2x−3)=2(6−x)
去括号得，3x−3−2x+3=12−2x
移项、合并同类项，得3x=12．
系数化为1，得x=4．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解.
【变式2】解方程：y−y−12=2−y+35；
【答案】y=97
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：y−y−12=2−y+35
去分母得：10y−5y−1=20−2y+3，
去括号得：10y−5y+5=20−2y−6，
移项得：10y−5y+2y=20−6−5，
合并同类项得：7y=9，
系数化为1度：y=97．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式3】解方程:2−x4−1=x−3x+56
【答案】x=49
【分析】先去分母，再取括号，然后移项，接着合并同类项，最后系数化为1，即可得出答案.
【详解】解：去分母，得：32−x−12=12x−23x+5
去括号，得：6−3x−12=12x−6x−10
移项，得：−3x−12x+6x=−10−6+12
合并同类项，得：−9x=−4
系数化为1，得：x=49
【点睛】本题考查的是解一元一次方程，比较简单，需要熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法.
模块七
分组通分
【例1】解方程：x+37−x+25=x+16−x+44．
【答案】x=−36211
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得5(x+3)−7(x+2)35=2(x+1)−3(x+4)12．
化简，得−2x+135=−x−1012．
解得x=−36211．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
【变式1】解方程：x−34+2x+33=x+56−x−45．
【答案】x=8357
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得3(x−3)+4(2x+3)12=5(x+5)−6(x−4)30．
化简，得11x+312=−x+4930．
解得x=8357．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
模块八
课后作业
1．解方程：x−x−12=2−x−35
【答案】x=3
【分析】根据一元一次方程的解法可进行求解．
【详解】解：去分母得：10x−5x−1=20−2x−3，
去括号得：10x−5x+5=20−2x+6，
移项、合并同类项得：7x=21，
系数化为1得：x=3．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
2．解方程：x+33−3x−43=4．
【答案】x=−52
【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去分母得：x+3−3x−4=12，
去括号得：x+3−3x+4=12，
移项得：x−3x=12−3−4，
合并同类项得：−2x=5，
解得：x=−52．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
3．解方程：
(1)5x−1−21−x=3+2x
(2)x+34−2x−43=2
【答案】(1)x=2
(2)x=15
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】（1）解：5x−1−21−x=3+2x
5x−5−2+2x=3+2x
5x+2x−2x=3+5+2
5x=10
x=2．
（2）解：x+34−2x−43=2
3x+3−42x−4=24
3x+9−8x+16=24
3x−8x=24−9−16
−5x=−1
x=15．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
4．解方程：12x−12(x−1)=23(x−1)．
【答案】x=115
【分析】先去小括号、再去中括号，然后再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解：12x−12(x−1)=23(x−1)
原方程可化为12x−12x+12=23(x−1)．
去中括号，得12x−14x+14=2x3−23
移项，得12x−14x−2x3=−23−14
合并同类项，得：−512x=−1112
系数化为1，得：x=115．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握多重括号的化简是解答本题的关键．
5．解方程：x2+x6+x12+x20=1．
【答案】x=54
【分析】x2=x−x2,x6=x2−x3,x12=x3−x4,x20=x4−x5，把方程的左边每一项拆项分解后再合并，进行简算即可．
【详解】解：拆项，得x−x2+x2−x3+x3−x4+x4−x5=1；
整理得：x−x5=1，
解得：x=54．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是根据方程的特点，利用拆项法解一元一次方程，是解题的关键．
6．解方程：243x−(23x−12)=34x．
【答案】−127
【分析】先去小括号、再去中括号，然后再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解： 243x−(23x−12)=34x
去小括号，得243x−23x+12=34x
去中括号，得43x+1=34x
移项，合并同类项，得712x=−1
系数化为1，得x=−127．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握去多重括号的方法是解答本题的关键．
7．解方程：1314(13x−1)−6+2=0．
【答案】x=3
【分析】方程去括号后，将x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：1314(13x−1)−6+2=0
去中括号，得，112(13x−1)−2+2=0
去小括号，得，136x−112=0
移项，得，136x=112
系数化为1，得x=3．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
8．解方程：x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
【答案】x=10605
【分析】先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可．
【详解】x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
裂项，得
x3−x4+x4−x5+x5−x6+x6−x7=2020
化简，得
x3−x7=2020
通分，得
421x=2020
系数化为1，得
x=10605
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
9．解方程：
(1)3(y−7)−5(4−y)=15
(2)x+20.4−2x−10.2=−0.5
【答案】(1)y=7
(2)x=75
【分析】（1）去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案；
（2）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案；
【详解】（1）解：去括号得，
3y−21−20+5y=15，
移项得，
3y+5y=15+21+20，
合并同类项可得，
8y=56
系数化为1得，
y=7；
（2）解：去分母可得，
10(x+2)−20(2x−1)=−2，
去括号得，
10x+20−40x+20=−2，
移项得，
10x−40x=−2−20−20，
合并同类项得，
−30x=−42，
系数化为1得，
x=75．
【点睛】本题考查解一元一次方程：有分母先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1，解题的关键是注意符号选取．
10．解方程
(1)2y−5=1−6y
(2)3x+12−2=3x−110−2x+35
(3)x−x+22=3−x+14
【答案】(1)y=34
(2)x=12
(3)x=5
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【详解】（1）2y−5=1−6y，
2y+6y=1+5，
8y=6，
y=34；
（2）3x+12−2=3x−110−2x+35，
5(3x+1)−20=3x−1−2(2x+3)，
15x+5−20=3x−1−4x−6，
15x−3x+4x=−1−6−5+20，
16x=8，
x=12；
（3）x−x+22=3−x+14，
4x−2(x+2)=12−(x+1)，
4x−2x−4=12−x−1，
4x−2x+x=12−1+4，
3x=15，
x=5．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
11．解方程
(1)x−74−5x+83=1；
(2)x−40.2−2.5=x−30.05．
【答案】(1)x=−6517
(2)x=52
【分析】（1）先去分母，去括号，然后移项合并，系数化为1，即可得到答案；
（2）先把方程进行整理，然后去分母，去括号，然后移项合并，系数化为1，即可得到答案；
【详解】（1）去分母，得3(x−7)−4(5x+8)=12，
去括号，得3x−21−20x−32=12，
移项，得3x−20x=12+21+32，
合并同类项，得−17x=65，
系数化成1，得x=−6517；
（2）原方程化为：10x−402−52=100x−3005，
即5x−20−52=20x−60，
去分母，得10x−40−5=40x−120，
移项，得10x−40x=−120+40+5，
合并同类项，得−30x=−75，
系数化成1，得x=52．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解方程的方法和步骤进行解题．
12．解方程或比例．
(1)5:x−1=320:18%；
(2)0.7x++0.2x−
【答案】(1)x=7；
(2)x=0.1
【分析】（1）5:x−1=320:18%，依据比例的基本性质，先写成320x−1=5×0.18的形式，根据等式的性质1和2，两边同时×203，再同时＋1即可．
（2）0.7x++0.2x−，等式左边的部分，依据分数的基本性质，将小数化成整数，然后根据等式的形式1和2，两边同时×6，去分母，再将能合并的合并起来，解方程即可．
【详解】（1）5:x−1=320:18%
解：320x−1=5×0.18
320x−1=910
320x−1×203=910×203
x−1=6
x−1+1=6+1
x=7
（2）0.7x++0.2x−
解：0.7x+0.05×1000.02×100+0.2x−0.17×1000.03×100=1
70x+52+20x−173=1
70x+52+20x−173×6=1×6
210x+15+40x−34=6
250x−19=6
250x−19+19=6+19
250x=25
250x÷250=25÷250
x=0.1．
【点睛】本题主要考查解比例以及解方程，掌握解比例与方程的方法是解题的关键．
13．解方程：
(1)4−2x+4=2x−1；
(2)0.3x−0.40.2+2=0.5x−0.20.3
【答案】(1)x=−12
(2)x=4
【分析】（1）按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可求解；
（2）先利用分数的基本性质把两个分母化为整数，再按照解含分母的一元一次方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解： 4−2x+4=2x−1，
去括号得：4−2x−8=2x−2，
移项得：2x+2x=4−8+2，
合并同类项得：4x=−2，
系数化为1得：x=−12；
（2）解：分母化为整数得：3x−42+2=5x−23，
去分母得：33x−4+12=25x−2，
去括号得：9x−12+12=10x−4，
即：9x=10x−4，
移项、合并同类项得：x=4．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，按照解方程的步骤进行，当有分母时，注意去分母．
14．解方程：
（1）12x+8=8x−4 ；
（2）23x+3=34x−2 ；
（3）x−2=x−12−x+23 ；
（4）2x+10.25−x−20.5=2 ．
【答案】（1）x=-3；（2）x=60；（3）x=1；（4）x=-1．
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化1，可解.
（2）去分母，移项，合并同类项，系数化1可解.
(3)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1可解.
(4)先把分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1可解
【详解】解：（1） 12x+8=8x−4
12x−8x=−4−8
4x=-12
x=-3
（2）23x+3=34x−2
8x+36=9x-24
-x=-60
x=60
3）x−2=x−12−x+23
6x-12=3（x-1）-2(x+2)
6x-12=3x-3-2x-4
5x=5
x=1
（4）2x+10.25−x−20.5=2
8x+41−2x−41=2,
8x+4-2x+4=2
6x=2-4-4
6x=-6
x=-1
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟记解一元一次方程的步骤；
注意：类似（3）的题，去分母的时候，每一个数都要乘以最小公倍数且有分数线的一定要加括号；类似（4）的题，把分母化为整数和去分母是不一样的，只需要本身分子分母乘以一个数.
15．解方程
（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）
（2）x+155=1−x−73．
【答案】（1）x=27;(2)x=58
【详解】试题分析：根据一元一次方程的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可求解方程.
试题解析：（1）去括号得：4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10，
移项合并得：2x=54，
解得：x=27；
（2）去分母得：3x+45=15﹣5x+35，
移项合并得：8x=5，
解得：x=58．
·模块一 分母化整
·模块二 利用倒数关系去括号
·模块三 整体思想的应用
·模块四 先约分，再去分母
·模块五 先合并再解方程
·模块六 先拆分再合并
·模块七 分组通分
·模块八 课后作业
模块一
分母化整
【例1】解方程4x−1.50.5−0.5x−−x0.1+2.
【答案】x=-137
【详解】试题分析：将方程变形为40x−155−50x−82=12－10x+2，然后通过去分母，移项合并，x前面系数化为1解出x即可．
试题解析：40x−155−50x−82=12－10x+2，
8x－3－(25x－4)＝12－10x＋2，
8x－3－25x＋4＝12－10x＋2，
-7x＝13，
x＝ -137．
点睛：一元一次方程分母出现小数时，可以先将分母化为整数然后再求解．
【例2】解方程： 1.5x0.6−1.5−x2=0.5
【答案】x=512．
【分析】原方程整理后去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可求解．
【详解】解：1.5x0.6−1.5−x2=0.5
原方程整理得5x2−3−2x4=12，
去分母得 10x−(3−2x)=2，
去括号得 10x−3+2x=2，
移项得 10x+2x=2+3，
合并同类项得 12x=5，
系数化1得x=512．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【例3】解方程: x0.7−0.17−＝1；
【答案】x＝1417
【分析】先把小数都处理成整数，再按解一元一次方程的步骤计算即可．
【详解】解：原方程可化为：10x7－17−20x3＝1，
去分母，可得：30x－7（17－20x）＝21，
去括号，可得：30x－119＋140x＝21，
移项，可得：30x＋140x＝21＋119，
合并同类项，可得：170x＝140，
系数化为1，可得：x＝1417．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，一般解方程步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1．
【变式1】解方程：x−30.2−x+20.5=32．
【答案】x=416
【分析】利用解一元一次方程的步骤解答即可．
【详解】解：去分母得：25x−15−22x+4=3，
去括号得：10x−30−4x−8=3，
移项得：10x−4x=3+30+8，
合并同类项得：6x=41，
系数化为1得：x=416．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【变式2】解方程： 0.3x−0.40.2+2=0.5x−0.20.3．
【答案】x=4
【分析】利用分数的基本性质，先将含有的小数化为整数，再按步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可．
【详解】解：原方程可化为：
3x−42+2=5x−23，
去分母，得：33x−4+12=25x−2，
去括号，得：9x−12+12=10x−4，
移项，得：9x−10x=−4，
合并同类项，得：−x=−4，
系数化为1，得：x=4.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式3】解方程： x−10.3−x+20.5=1.2
【答案】x=6.4
【分析】将方程变形后，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
【详解】解：x−10.3−x+20.5=1.2，
原方程可变形为10x−103−10x+205=1.2，
去分母，得5(10x−10)−3(10x+20)=18，
去括号，得50x−50−30x−60=18，
移项，得50x−30x=18+50+60，
合并同类项，得20x=128，
系数化为1，得x=6.4；
【点睛】此题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
模块二
利用倒数关系去括号
【例1】解方程：2x−73=23321−3x2+1
【答案】x=2
【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：2x−73=23321−3x2+1
去分母得：22x−7=32−3x+6，
去括号得：4x−14=6−9x+6，
移项得：4x+9x=6+6+14，
合并得：13x=26，
解得：x=2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
【例2】解方程：3x+22−1=54452x−14−2x+15．
【答案】−928
【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【详解】
3x+22−1=54452x−14−2x+15
3x+22−1=2x−14−2x+15，
10（3x+2）−20=5（2x−1）−4（2x+1），
30x+20−20=10x−5−8x−4，
30x−10x+8x=−5−4−20+20，
28x=−9，
x=−928．
【点睛】此题考查了一元一次方程，解题的关键是熟悉一元一次方程的解题步骤．
【变式1】解方程：9510943x−23x−12=56x
【答案】x=−2
【分析】先去括号，然后根据解一元一次方程的步骤解方程即可求解．
【详解】解：9510943x−23x−12=56x
243x−23x−12=56x，
解：243x−23x+12=56x，
∴223x+12=56x，
23x+12=512x ，
去分母，8x+6=5x，
移项，8x−5x=−6，
合并同类项，3x=−6，
化系数为1，x=−2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
模块三
整体思想的应用
【例1】解方程：(x−4)−(x−4)−12=3−(x−4)+23
【答案】x=6.2
【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可．
【详解】解：(x−4)−(x−4)−12=3−(x−4)+23
去分母得：6x−4−3x−5=18−2x−2 ，
去括号得：6x−24−3x+15=18−2x+4，
移项合并得：5x=31，
解得：x=6.2．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的方法与步骤”是解本题的关键．
【变式1】解方程：45(x+7)=1−65(x+7)．
【答案】x=-132
【详解】解：45(x+7)=1−65(x+7)．
45(x+7)+65(x+7)=1，
2(x+7)=1
x+7=12
∴原方程的解为x=−132．
【点睛】本题主要考查解方程，掌握解方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键．
模块四
先约分，再去分母
【例1】解方程：3y−14−1=4y+146．
【答案】43
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤解方程即可求解．
【详解】解：3y−14−1=4y+146
3y−14−1=2y+73
去分母得 33y−1−12=42y+7，
去括号得 9y−3−12=8y+28，
移项得 9y−8y=28+3+12，
合并同类项得 y=43．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题关键．
【例2】解方程：x−4x+26=2−2x−44．
【答案】x=4
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可．
【详解】解：x−4x+26=2−2x−44
x−2x+13=2−x−22
去分母，得：6x−22x+1=12−3x−2，
去括号，得：6x−4x−2=12−3x+6，
移项，合并，得：5x=20，
系数化1，得：x=4．
【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
【变式1】解方程：x−1−4x3=33x+2112
【答案】先去分母、去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1，即可得到答案；
【详解】解：
x−1−4x3=33x+2112
x−1−4x3=11x+74
去分母，得：12x−4(1−4x)=3(11x+7)
去括号、移项，得：12x+16x−33x=21+4
合并同类项，得：−5x=25
系数化为1，得：x=−5；
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法进行解题．
【变式2】解方程：2x−28=4x−612−3．
【答案】x=39
【分析】先去分母，再去括号，然后移项，最后合并同类项后，系数化为1，得出答案．
【详解】2x−28=4x−612−3
解：2x−28=4x−612−3
x−14=2x−36−3
3x−1=22x−3−36
3x−3=4x−6−36
3x−4x=−6−36+3
−x=−39
x=39．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是关键．
模块五
先合并再解方程
【例1】解方程：5x12−13=−7x12+53．
【答案】x=2
【详解】解：5x12−13=−7x12+53．，
方程整理得：5x12+7x12=53+13，
解得x=2．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的方法与步骤”是解本题的关键．
【变式1】解方程: y4−2314=5y4+514．
【答案】y=−2
【详解】y4−2314=5y4+514
y4−5y4=514+2314，
−y=2，
y=−2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
模块六
先拆分，再合并
【例1】解方程：1−2y3−4y=1−y+26
【答案】y=−227
【分析】先去分母，再去括号，再移项，再合并同类项，最后系数化1即可．
【详解】解：1−2y3−4y=1−y+26
2−4y−24y=6−y+2
2−28y=4−y
−27y=2
y=−227．
【点睛】本题考查解一元一次方程，能够数量掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．
【例2】解方程：2x−13−3x+16=1．
【答案】x=9
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤即可解答．
【详解】解：去分母，可得：2(2x−1)−(3x+1)=6，
去括号，可得：4x−2−3x−1=6，
移项，可得：4x−3x=6+2+1，
合并同类项，可得：x=9．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解答本题的关键．
【例3】解方程: 7x−13−5x+12=2−3x+24．
【答案】x=4
【分析】（1）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，按步骤计算即可；
【详解】解：7x−13−5x+12=2−3x+24，
去分母得：4(7x−1)−6(5x+1)=24−3(3x+2)
去括号得：28x−4−30x−6=24−9x−6
移项得：28x−30x+9x=24−6+4+6
合并同类项得：7x=28
系数化为1得， x=4
【变式1】解方程：x−12−2x−36=6−x3．
【答案】x=4
【分析】方程去分母，去括号后，将x系数化为1，即可求出解
【详解】解：x−12−2x−36=6−x3
去分母得，3(x−1)−(2x−3)=2(6−x)
去括号得，3x−3−2x+3=12−2x
移项、合并同类项，得3x=12．
系数化为1，得x=4．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解.
【变式2】解方程：y−y−12=2−y+35；
【答案】y=97
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：y−y−12=2−y+35
去分母得：10y−5y−1=20−2y+3，
去括号得：10y−5y+5=20−2y−6，
移项得：10y−5y+2y=20−6−5，
合并同类项得：7y=9，
系数化为1度：y=97．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式3】解方程:2−x4−1=x−3x+56
【答案】x=49
【分析】先去分母，再取括号，然后移项，接着合并同类项，最后系数化为1，即可得出答案.
【详解】解：去分母，得：32−x−12=12x−23x+5
去括号，得：6−3x−12=12x−6x−10
移项，得：−3x−12x+6x=−10−6+12
合并同类项，得：−9x=−4
系数化为1，得：x=49
【点睛】本题考查的是解一元一次方程，比较简单，需要熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法.
模块七
分组通分
【例1】解方程：x+37−x+25=x+16−x+44．
【答案】x=−36211
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得5(x+3)−7(x+2)35=2(x+1)−3(x+4)12．
化简，得−2x+135=−x−1012．
解得x=−36211．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
【变式1】解方程：x−34+2x+33=x+56−x−45．
【答案】x=8357
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】解：方程两边分别通分后相加，得3(x−3)+4(2x+3)12=5(x+5)−6(x−4)30．
化简，得11x+312=−x+4930．
解得x=8357．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
模块八
课后作业
1．解方程：x−x−12=2−x−35
【答案】x=3
【分析】根据一元一次方程的解法可进行求解．
【详解】解：去分母得：10x−5x−1=20−2x−3，
去括号得：10x−5x+5=20−2x+6，
移项、合并同类项得：7x=21，
系数化为1得：x=3．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
2．解方程：x+33−3x−43=4．
【答案】x=−52
【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去分母得：x+3−3x−4=12，
去括号得：x+3−3x+4=12，
移项得：x−3x=12−3−4，
合并同类项得：−2x=5，
解得：x=−52．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
3．解方程：
(1)5x−1−21−x=3+2x
(2)x+34−2x−43=2
【答案】(1)x=2
(2)x=15
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】（1）解：5x−1−21−x=3+2x
5x−5−2+2x=3+2x
5x+2x−2x=3+5+2
5x=10
x=2．
（2）解：x+34−2x−43=2
3x+3−42x−4=24
3x+9−8x+16=24
3x−8x=24−9−16
−5x=−1
x=15．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
4．解方程：12x−12(x−1)=23(x−1)．
【答案】x=115
【分析】先去小括号、再去中括号，然后再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解：12x−12(x−1)=23(x−1)
原方程可化为12x−12x+12=23(x−1)．
去中括号，得12x−14x+14=2x3−23
移项，得12x−14x−2x3=−23−14
合并同类项，得：−512x=−1112
系数化为1，得：x=115．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握多重括号的化简是解答本题的关键．
5．解方程：x2+x6+x12+x20=1．
【答案】x=54
【分析】x2=x−x2,x6=x2−x3,x12=x3−x4,x20=x4−x5，把方程的左边每一项拆项分解后再合并，进行简算即可．
【详解】解：拆项，得x−x2+x2−x3+x3−x4+x4−x5=1；
整理得：x−x5=1，
解得：x=54．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是根据方程的特点，利用拆项法解一元一次方程，是解题的关键．
6．解方程：243x−(23x−12)=34x．
【答案】−127
【分析】先去小括号、再去中括号，然后再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解： 243x−(23x−12)=34x
去小括号，得243x−23x+12=34x
去中括号，得43x+1=34x
移项，合并同类项，得712x=−1
系数化为1，得x=−127．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握去多重括号的方法是解答本题的关键．
7．解方程：1314(13x−1)−6+2=0．
【答案】x=3
【分析】方程去括号后，将x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：1314(13x−1)−6+2=0
去中括号，得，112(13x−1)−2+2=0
去小括号，得，136x−112=0
移项，得，136x=112
系数化为1，得x=3．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
8．解方程：x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
【答案】x=10605
【分析】先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可．
【详解】x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
裂项，得
x3−x4+x4−x5+x5−x6+x6−x7=2020
化简，得
x3−x7=2020
通分，得
421x=2020
系数化为1，得
x=10605
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
9．解方程：
(1)3(y−7)−5(4−y)=15
(2)x+20.4−2x−10.2=−0.5
【答案】(1)y=7
(2)x=75
【分析】（1）去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案；
（2）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案；
【详解】（1）解：去括号得，
3y−21−20+5y=15，
移项得，
3y+5y=15+21+20，
合并同类项可得，
8y=56
系数化为1得，
y=7；
（2）解：去分母可得，
10(x+2)−20(2x−1)=−2，
去括号得，
10x+20−40x+20=−2，
移项得，
10x−40x=−2−20−20，
合并同类项得，
−30x=−42，
系数化为1得，
x=75．
【点睛】本题考查解一元一次方程：有分母先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1，解题的关键是注意符号选取．
10．解方程
(1)2y−5=1−6y
(2)3x+12−2=3x−110−2x+35
(3)x−x+22=3−x+14
【答案】(1)y=34
(2)x=12
(3)x=5
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【详解】（1）2y−5=1−6y，
2y+6y=1+5，
8y=6，
y=34；
（2）3x+12−2=3x−110−2x+35，
5(3x+1)−20=3x−1−2(2x+3)，
15x+5−20=3x−1−4x−6，
15x−3x+4x=−1−6−5+20，
16x=8，
x=12；
（3）x−x+22=3−x+14，
4x−2(x+2)=12−(x+1)，
4x−2x−4=12−x−1，
4x−2x+x=12−1+4，
3x=15，
x=5．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
11．解方程
(1)x−74−5x+83=1；
(2)x−40.2−2.5=x−30.05．
【答案】(1)x=−6517
(2)x=52
【分析】（1）先去分母，去括号，然后移项合并，系数化为1，即可得到答案；
（2）先把方程进行整理，然后去分母，去括号，然后移项合并，系数化为1，即可得到答案；
【详解】（1）去分母，得3(x−7)−4(5x+8)=12，
去括号，得3x−21−20x−32=12，
移项，得3x−20x=12+21+32，
合并同类项，得−17x=65，
系数化成1，得x=−6517；
（2）原方程化为：10x−402−52=100x−3005，
即5x−20−52=20x−60，
去分母，得10x−40−5=40x−120，
移项，得10x−40x=−120+40+5，
合并同类项，得−30x=−75，
系数化成1，得x=52．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解方程的方法和步骤进行解题．
12．解方程或比例．
(1)5:x−1=320:18%；
(2)0.7x++0.2x−
【答案】(1)x=7；
(2)x=0.1
【分析】（1）5:x−1=320:18%，依据比例的基本性质，先写成320x−1=5×0.18的形式，根据等式的性质1和2，两边同时×203，再同时＋1即可．
（2）0.7x++0.2x−，等式左边的部分，依据分数的基本性质，将小数化成整数，然后根据等式的形式1和2，两边同时×6，去分母，再将能合并的合并起来，解方程即可．
【详解】（1）5:x−1=320:18%
解：320x−1=5×0.18
320x−1=910
320x−1×203=910×203
x−1=6
x−1+1=6+1
x=7
（2）0.7x++0.2x−
解：0.7x+0.05×1000.02×100+0.2x−0.17×1000.03×100=1
70x+52+20x−173=1
70x+52+20x−173×6=1×6
210x+15+40x−34=6
250x−19=6
250x−19+19=6+19
250x=25
250x÷250=25÷250
x=0.1．
【点睛】本题主要考查解比例以及解方程，掌握解比例与方程的方法是解题的关键．
13．解方程：
(1)4−2x+4=2x−1；
(2)0.3x−0.40.2+2=0.5x−0.20.3
【答案】(1)x=−12
(2)x=4
【分析】（1）按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可求解；
（2）先利用分数的基本性质把两个分母化为整数，再按照解含分母的一元一次方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解： 4−2x+4=2x−1，
去括号得：4−2x−8=2x−2，
移项得：2x+2x=4−8+2，
合并同类项得：4x=−2，
系数化为1得：x=−12；
（2）解：分母化为整数得：3x−42+2=5x−23，
去分母得：33x−4+12=25x−2，
去括号得：9x−12+12=10x−4，
即：9x=10x−4，
移项、合并同类项得：x=4．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，按照解方程的步骤进行，当有分母时，注意去分母．
14．解方程：
（1）12x+8=8x−4 ；
（2）23x+3=34x−2 ；
（3）x−2=x−12−x+23 ；
（4）2x+10.25−x−20.5=2 ．
【答案】（1）x=-3；（2）x=60；（3）x=1；（4）x=-1．
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化1，可解.
（2）去分母，移项，合并同类项，系数化1可解.
(3)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1可解.
(4)先把分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1可解
【详解】解：（1） 12x+8=8x−4
12x−8x=−4−8
4x=-12
x=-3
（2）23x+3=34x−2
8x+36=9x-24
-x=-60
x=60
3）x−2=x−12−x+23
6x-12=3（x-1）-2(x+2)
6x-12=3x-3-2x-4
5x=5
x=1
（4）2x+10.25−x−20.5=2
8x+41−2x−41=2,
8x+4-2x+4=2
6x=2-4-4
6x=-6
x=-1
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟记解一元一次方程的步骤；
注意：类似（3）的题，去分母的时候，每一个数都要乘以最小公倍数且有分数线的一定要加括号；类似（4）的题，把分母化为整数和去分母是不一样的，只需要本身分子分母乘以一个数.
15．解方程
（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）
（2）x+155=1−x−73．
【答案】（1）x=27;(2)x=58
【详解】试题分析：根据一元一次方程的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可求解方程.
试题解析：（1）去括号得：4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10，
移项合并得：2x=54，
解得：x=27；
（2）去分母得：3x+45=15﹣5x+35，
移项合并得：8x=5，
解得：x=58．
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