2025年高考数学一轮复习-第五章-第四节-三角函数的图象与性质-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第五章-第四节-三角函数的图象与性质-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．函数f (x)＝6sin x4cs x4－2的最小正周期和最小值分别是( )
A．π和－5 B．π和－3
C．4π和－5 D．4π和－3
2．函数f (x)＝cs 2x−π6的一个单调递减区间为( )
A．−5π12，π12 B．−11π12，−5π12
C．−π6，π3 D．π3，5π6
3．函数f (x)＝cs x－cs 2x，则该函数为( )
A．奇函数，且函数的最大值为2
B．偶函数，且函数的最大值为2
C．奇函数，且函数的最大值为98
D．偶函数，且函数的最大值为98
4．若tan 2＝a，tan 3＝b，tan 5＝c，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
5．记函数f (x)＝sin ωx+π4＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若2π3＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点3π2，2中心对称，则f π2＝( )
A．1 B．32
C．52 D．3
6．(2023·广东潮州二模)若函数f (x)＝sin 2x+π6在区间[－t，t]上是单调递增函数，则实数t的取值范围为( )
A．π6，π2 B．0，π3
C．π6，π3 D．0，π6
二、多项选择题
7．若函数f (x)＝cs x+π3，则下列结论正确的是( )
A．f (x)的一个周期是2π
B．f (x)的图象关于直线x＝8π3对称
C．f (x)的一个零点为π6
D．f (x)在π2，π上单调递减
8．已知函数f (x)＝sinx1+csx，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)在(0，π)上单调递增
C．f (x)的图象的对称中心为点(kπ，0)(k∈Z)
D．f (x)在(π，2π)上单调递减
三、填空题
9．已知函数f (x)＝2cs (3x＋φ)的图象关于点4π3，0对称，那么|φ|的最小值为________．
10．(2024·安徽阜阳模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)具有下列三个性质：①图象关于直线x＝π3对称；②在区间0，π3上单调递减；③最小正周期为π，则满足条件的一个函数f (x)＝________．
四、解答题
11．已知函数f (x)＝3cs x sin x＋sin2x.
(1)求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f (x)在区间−2π3，π6上的最大值和最小值．
12．已知函数f (x)＝2cs2ωx＋sin2ωx(ω>0)，x1，x2是f (x)的两个相邻极值点，且满足|x1－x2|＝π.
(1)求函数f (x)图象的对称轴方程；
(2)若f (α)＝13，求sin 2α.
13．已知函数f (x)＝4sin ωx+π3(ω>0)在π6，π上单调递减．
(1)求ω的最大值；
(2)若f (x)的图象关于点3π2，0中心对称，且f (x)在−9π20，m上的值域为[－2，4]，求m的取值范围．
参考答案
1．C [f (x)＝6sin x4cs x4－2＝3sin x2－2，则f (x)的最小正周期T＝2π12＝4π，
当sin x2＝－1时，函数取得最小值为－5.故选C.]
2．B [令2x－π6∈[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，则x∈π12+kπ，7π12+kπ，k∈Z，
当k＝－1时，x∈−11π12，−5π12，k∈Z.故选B.]
3．D [由题意，f (－x)＝cs (－x)－cs (－2x)＝cs x－cs 2x＝f (x)，所以该函数为偶函数．
又f (x)＝cs x－cs 2x＝－2cs2x＋csx＋1
＝－2csx−142＋98，
所以当cs x＝14时，f (x)取最大值98.故选D.]
4．D [因为tan 5＝tan (5－π)，π2＜5－π＜2＜3＜π，且函数y＝tan x在区间π2，π上单调递增，
所以tan (5－π)＜tan 2＜tan 3，
所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b.]
5．A [由函数的最小正周期T满足2π3＜T＜π，得2π3＜2πω＜π，解得2＜ω＜3，
又因为函数图象关于点3π2，2对称，所以3π2ω＋π4＝kπ，k∈Z，且b＝2，
所以ω＝－16+23k，k∈Z，所以ω＝52，f (x)＝sin 52x+π4＋2，
所以f π2＝sin 5π4+π4＋2＝1.
故选A.]
6．D [令2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，
解得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，
所以函数f (x)的单调递增区间为kπ−π3，kπ+π6，k∈Z，
又因为f (x)在区间[－t，t]上是单调递增函数，
则[－t，t]是kπ−π3，kπ+π6，k∈Z的一个子区间，当k＝0时，即−π3，π6，
若[－t，t]是−π3，π6的子集，则t∈0，π6.故选D.]
7．ABC [显然A正确；令x＝8π3，则f (x)＝cs 8π3+π3＝cs 3π＝－1，为最小值，故B正确；令x＝π6，则f (x)＝cs π6+π3＝0，故C正确；令2kπ≤x＋π3≤π＋2kπ，k∈Z，得－π3＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，k∈Z，可知f (x)在π2，2π3上单调递减，在2π3，π上单调递增，故D错误．]
8．ABC [f (x)＝sinx1+csx＝2sinx2csx22cs2x2＝tanx2，
∴f (x)的最小正周期为π12＝2π，故A正确；
当x∈(0，π)时，x2∈0，π2，∴f (x)在(0，π)上单调递增，故B正确；
由x2＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ(k∈Z)，
∴f (x)的图象的对称中心为点(kπ，0)(k∈Z)，故C正确；
当x∈(π，2π)时，x2∈π2，π，∴f (x)在(π，2π)上单调递增，故D错误．故选ABC.]
9．π2 [∵f (x)＝2cs (3x＋φ)的图象关于点4π3，0对称，∴3×4π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ－7π2，k∈Z，令k＝3或4，可得|φ|的最小值为π2.]
10．sin2x+5π6(答案不唯一) [由③可得ω＝2，由①可得2×π3＋φ＝π2＋kπ⇒φ＝－π6＋kπ(k∈Z)，
再由②可知x∈0，π3时，2x－π6＋kπ∈−π6+kπ，π2+kπ(k∈Z)，
则−π6+kπ，π2+kπ⊆π2+mπ，3π2+mπ(k，m∈Z)，故k为奇数时符合条件，不妨令k＝1，则φ＝5π6，取A＝1，此时f (x)＝sin 2x+5π6.]
11．解：(1)f (x)＝3csx sin x＋sin2x＝32sin2x－12cs 2x＋12＝sin 2x−π6+12，
∴函数f (x)的最小正周期为2π2＝π，
令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，则－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，
∴函数f (x)的单调递增区间为−π6+kπ，π3+kπ，k∈Z.
(2)∵x∈−2π3，π6，∴2x－π6∈−3π2，π6，
则sin 2x−π6∈[－1，1]，∴f (x)∈−12，32，
∴函数f (x)在区间−2π3，π6上的最大值为32，最小值为－12.
12．解：(1)f (x)＝2cs2ωx＋sin2ωx＝cs 2ωx＋sin 2ωx＋1＝2sin 2ωx+π4＋1，
由|x1－x2|＝π可得最小正周期T＝2|x1－x2|＝2π，
所以ω＝12，故f (x)＝2sin x+π4＋1，
令x＋π4＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝π4＋kπ，k∈Z，
故f (x)的对称轴方程为x＝π4＋kπ，k∈Z.
(2)由f (α)＝13，得2sin α+π4＋1＝13，
则sin α+π4＝－23，
由cs 2α+π2＝1－2sin2α+π4＝1－2×−232＝59，
所以cs2α+π2＝－sin 2α＝59，所以sin 2α＝－59.
13．解：(1)由条件知x∈π6，π，则ωx＋π3∈π6ω+π3，πω+π3，
由正弦函数的性质可知π6ω+π3≥π2+2kπ，πω+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
∴ω∈1+12k，76+2k，k∈Z.
又∵π－π6＝5π6≤T2＝πω，∴0