贵州省贵阳市2023-2024学年高三下学期适应性考试 (二)数学试题（解析版）

这是一份贵州省贵阳市2023-2024学年高三下学期适应性考试 (二)数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了 记等比数列的前项和为，则，046B， 在钝角中，，，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

2024年5月
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将姓名､报名号用钢笔填写在答题卡相应位置上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.请保持答题卡平整，不能折叠考试结束后，监考老师将试题卷､答题卡一并收回.
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合满足，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集的含义即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得，解得.
故选：A.
2. 已知向量，若，则实数（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.
【详解】，，
由，则有，
解得.
故选：D.
3. 抛物线上一点与焦点间的距离是10，则到轴的距离是（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】借助抛物线定义计算即可得.
【详解】抛物线的准线为，
由抛物线定义可得，故，
则，即到轴的距离为.
故选：B.
4. 方程在内根的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先根据两角和差的正弦公式进行化简，整体替换得到方程的根；
【详解】由题意，，
即，可得或，
解得或
又因为，所以，
故选：D.
5. 记等比数列的前项和为，则（ ）
A. 121B. 63C. 40D. 31
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列的下标和性质求得，进而利用等比数列的通项公式求得，再利用等比数列的求和公式即可得解.
【详解】根据题意，设等比数列的公比为，
若，则有，得，
又由，则，解得，
故，
则.
故选：A.
6. 某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为.现从仓库中任抽取1个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是（ ）
A. 0.046B. 0.90C. 0.952D. 0.954
【答案】D
【解析】
【分析】借助全概率公式计算即可得.
【详解】设事件为抽中第一批，事件为抽中合格品，
则
.
故选：D.
7. 在钝角中，，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理、两角差的正弦公式和正切函数的性质求解即可.
【详解】由正弦定理得，
所以，
因为钝角中，，
当为锐角时，，得，则，
所以，则，所以；
当为钝角时，，得，则，
所以，则，所以；
综上：．
故选：C.
8. 当时，恒成立，则整数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先说明时不等式对恒成立，再说明时不等式对不成立，即可说明整数的最大值为.
【详解】若，则对任意，由，知，故原不等式对x>1恒成立；
若，则由，知，故原不等式对不成立.
所以整数的最大值为.
故选：C.
二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设是三个不同的平面，是两条不同的直线，在命题“，，且__________．则”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命题，则可以填入的条件有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出相应图形，再由线面平行、面面平行的性质和线线平行判定判断求解．
【详解】解：A．如图：，，，，
，利用面面平行的性质可知：，故A正确，符合题意；
B．，，，，如下图：
或与是异面直线，故B错误，不符合题意；
C．，，，，如下图：
因为，，，
，故正确，符合题意；
D．，，，，如下图：
，
，
，
，故D正确，符合题意．
故选：ACD．
10. 设首项为1的数列前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等比数列B. 数列的前项和
C. 数列的通项公式为D. 数列为等比数列
【答案】AB
【解析】
【分析】由条件找到，结合等比数列定义即可得A、B；由的通项公式可求得的通项公式，即可得C、D.
【详解】对A、B：，，
又，数列是首项公比都为的等比数列，
故，即，故A、B正确；
对C、D： 当，，
当，，，故C错误.
，，
所以数列不是等比数列，故D错误.
故选：AB
11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ）
A. 双曲线的离心率
B. 为定值
C. AB的最小值为3
D. 若直线与双曲线的渐近线交于、两点，点为的中点，（为坐标原点）的斜率为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用点到直线距离求出，可求出离心率，判断A，利用点到线距离结合在双曲线上证明为定值判断B，联立方程组解出交点坐标求出的距离的最小值判断C，对D选项，设、，则，由，两式相加和两式相减化简可得，，从而得到，可判断D.
【详解】双曲线的渐近线方程为，圆与渐近线相切，则，即，所以，则，故A正确；
由A选项可得双曲线的两条渐近线方程为，设为双曲线上任意一点，则，所以点到两渐近线的距离，，所以为定值，故B正确；
过与渐近线垂直的方程分别与渐近线组成方程组求出交点坐标，，解得交点，同理得，因为为双曲线右支上的动点，所以，则，故C错误；
对D选项，设、，则，又、在双曲线的两条渐近线上，则，两式相减可得，即，两式相加可得，即，又，，所以，故D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中，所有项的系数和为__________．
【答案】32
【解析】
【分析】代入可求出所有项的系数和．
【详解】解：令，得，
所以所有项系数和为32．
故答案为：32．
13. 函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合函数的对称性可得函数的周期性，再由奇函数的性质可得，即可得解.
【详解】由为奇函数，为偶函数，
则有，，
故，
即，
即有，
故函数周期为，故，
由，则有，即，
故.
故答案为：.
14. 在一个棱长为的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近便得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，做出面积相减，即可得到结果.
【详解】如图：

考虑小球O即在正四面体的一个角上时，做平面平面，为平面的中心，则.
因为可得，所以,.
由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近便得切点的轨迹仍为正三角形，

因为，平分，所以，.
因为正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，
小球与一个面不能接触到的部分的面积为：
.
所以几何体的四个面永远不可能接触到容器的内壁的面积是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是小球与正四面体的一个面相切时的情况，小球在面上最靠近便得切点的轨迹仍为正三角形，进而求面积即可.
四､解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）讨论的单调性：
（2）当时，直线是否为曲线的一条切线？试说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）借助导数求导后分类讨论即可得；
（2）借助导数的几何意义计算即可得.
【小问1详解】
，
当时，恒成立，故在上单调递减；
当时，令，可得，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
直线是曲线的一条切线，理由如下：
当时，，，
设切点，则有，
若直线是曲线的一条切线，则有，解得，
此时有，即直线是曲线的一条切线.
16. 由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.

（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，且
【解析】
【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，即可得线面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性质定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量可用未知数表示出直线与平面所成的角的正弦值，计算即可得解.
【小问1详解】
连接、，由分别为的中点，则，
又平面，平面，故平面，
正四棱台中，且，
则四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面，
又，且平面，平面，
故平面平面，又平面，故平面；
【小问2详解】
正四棱台中，上下底面中心的连线底面，
底面为正方形，故，
故可以为原点，、、为轴，建立空间直角坐标系，
由，侧面与底面所成角为，
则，
则，，，
假设在线段上存在点满足题设，则，
设，则，
，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，令，则，，即，
因为直线与平面所成的角的正弦值为，
故，
解得或（舍），故，
故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，
此时线段的长为.

17. 某工生产某电子产品配件，关键接线环节需要焊接，焊接是否成功将直接导致产品“合格”与“不合格”，工厂经过大量后期出广检测发现“不合格”产品和“合格”产品的某性能指标有明显差异，统计得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值k，将该指标大于k的产品判定为“不合格”，小于或等于k的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏检率时，求临界值和错检率；
（2）设函数，当时，求的解析式．
【答案】（1），错检率；
（2）
【解析】
【分析】（1）由求出临界值的值，进而求出错检率；
（2）分和两种情况讨论，结合频率分布直方图求出．
【小问1详解】
依题可知，第一个图形中第一个小矩形面积为，
所以，
所以，解得临界值，
于是错检率；
【小问2详解】
当时，，，
所以，
当时，，，
所以，
故．
18. 已知椭圆的一个焦点是.直线与直线关于直线对称，且相交于椭圆的上顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的值；
（3）设直线分别与椭圆另交于两点，证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由焦点和顶点坐标计算即可求出椭圆标准方程；
（2）已知直线与直线关于直线对称，设对称点，利用对称关系列方程组求的值；
（3）通过联立方程组求出两点坐标，求直线的方程，根据方程确定所过定点.
【小问1详解】
直线与轴相交于点，则椭圆的上顶点为0,1，
设椭圆的标准方程为，则，
又半焦距，得，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
设点Bx,y是上任意异于的一点，
点是关于直线的对称点，
所以由得，
由得，
联立①、②，解得，
代入直线得．
又由点，直线上可得，故，
所以，由得，
故的值为1；
【小问3详解】
设Px1,y1，Qx2,y2．
联立直线与椭圆：，得，
所以，
同理，，
又由（2）：，所以也可表示为，
所以直线的方程为，
化简得，
所以对任意的，总会过点．
故直线过定点．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质：
（1）
（2）（当时，为纯虚数）
（3）
（4）
（5）.
（6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商.
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
（1）设.求证：是实数；
（2）已知，求的值；
（3）设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明；
（2）设，则，由已知，，列等式即可求解；
（3）设复数设的三角形式，利用三角函数值域即可求解.
【小问1详解】
设，
，，，
是实数；
【小问2详解】
设，则，
，，
，①
又，
②，
联立①②，解得，
；
【小问3详解】
，设，
则，
，，
.