数学（新高考通用01）-2025届新高三开学摸底考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．6
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）【详解】（1）由题意，则，
因为，所以，（1分）
因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面，（2分）
因为平面，所以，（3分）
且平面，所以平面，（4分）
又平面，所以平面平面；（5分）
（2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，

则，（7分，建系、设点各一分）
所以，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，（9分）
设平面的法向量，
则，令，得，（11分）
设平面与平面的夹角为，则，（12分）
所以平面与平面夹角的正弦值为．（13分）
16．（15分）【详解】（1）易知，所以根据正态分布区间公式有，（3分）
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为，
则，（4分，不写不扣分）
所以：；（6分）
（2）因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
，
，（8分）
所以，（10分）
则，（12分）
由公式可知，（14分）
即.（15分）
17．（15分）【详解】（1）设，则，因为的重心，
故有：，（2分）
解得，代入，化简得，（4分）
又，故，所以的轨迹方程为.（5分）
（2）因为的垂心，故有，
又，所以，（7分）
故设直线的方程为，
与联立消去得：，（8分）
由得，（9分）
设，则，（10分）
由，得，所以，（12分）
所以，
所以，化简得，（13分）
解得（舍去）或（满足），（14分）
故直线的方程为.（15分）
18．（17分）【详解】（1）由题意得，，则，（1分）
由，解得．（2分）
显然，
若，则当时，单调递增，当时，单调递减；（3分）
若，则当时，单调递减，当时，单调递增．（4分）
综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减；
当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增．（5分）
（2）（i）由，得，
设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减，（6分）
又，当时，，且当时，，（8分）
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是．（9分）
（ii）不妨设，则，且．（10分）
设，，
则，（11分）
所以在区间内单调递增，
又，
所以，即．（13分）
又，所以，（14分）
又在区间内单调递减．
所以，即，（16分）
又，所以，得证．（17分）
19．（17分）【详解】（1）存在，理由如下：
由已知得，，，（1分）
（2分）
即 （3分）
对，当正整数时，存在，使得成立，
即数列为“阶可分拆数列”；（4分）
（2），
当时，，（5分）
当时，，（6分）
（i）若数列为“阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立，
当时，，即，解得，（7分）
当时，，即，（8分）
因，所以，又，（9分）
故方程无解.
综上所述，符合条件的实数a的值为. （10分）
（ii）证明：，
当时，，
，（11分）
，（12分）
由（i）知，所以，
①，
②，（13分）
由①-②可得
（14分）
，（15分）
，
，（16分）
，
当且时， 成立.（17分）
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
C
B
A
A
B
C
9
10
11
BCD
ACD
AC